函数的极限.ppt

1第四节函数的极限函数的极限函数极限的唯一性函数极限的局部有界性函数极限的局部保号性（定理1、定理2）函数极限与数列极限的关系2函数的自变量的变化过程可分为两种情况：（1）自变量无限接近有限值x,0x;0xx表示为（2）自变量x的绝对值无限增大，x.x表示为在自变量的某个变化过程中，若对应的函数值无限接近于某个确定的常数，那么，这个确定的常数就叫做这一变化过程中函数的极限。函数极限的描述性定义。一、基本理论xyO0xAAA0x0x。Axfxx)(0时，0)(,)2(;211)(,2)1(xfxxxfx时时3的极限时xfxx0.1.lim:00000000xxAxfAxfAxfxxAxfxxxxfxx或，记作有极限时成立，则称当时，恒有，当，存在如果，的某一去心邻域有定义在点设函数极限的ε-δ定义:有否极限无关。时当处有无定义对在,00xxxfxxf注1:小的任何正数都可以。比不是唯一的，但仅依赖于无关，与正数,x注3:.0xxAxfAxf无限接近于表明才能因此是任意无限小的正数，注2:4几何解释：xyO0xAAA0x0x。AxfAAxfxxx,,0,000，即时，使得当Axfxx0limf(x)局部有界。此式表明f(x)在,00xU内既有上界，又有下界，即:5证AxfA即.0,xfA.0的情形同理可证A2.极限的局部保号性定理1:恒有时当对,,,0,0xUxA,Axf,)(lim0的定义由Axfxx,A取正数,0A设6证,0,0xfx在该邻域内的某一去心邻域存在点.0的假设矛盾这与xf.0A故可得下面的结论：令的证明中在定理2,1A,0A设由定理1的某一，则存在点，而且如果00lim0xAAxfxx时，就有，当去心邻域,,00xUxxU2Axf定理1’:.,0用反证法设xf.00:,lim,0000AAAxfxfxfxxx或则并且或的某一去心邻域内如果在定理2:问题：比较定理1、2，注意“＞”和“≥”，为什么？73.左、右极限，函数极限存在的充分必要条件.000xxxxx于的左右两侧都无限趋近从意味着点的左侧从如果只考虑点0xx,0x无限趋近于.00xx记作,0x无限趋近于的右侧从如果只考虑点0xx.00xx记作的左、右极限问题。在这类极限问题分别称为0xxfAB)(xfyxOy0x;)(00Axfxx时，当.)(00Bxfxx时，当!不存在)(lim0xfxx左、右极限：8可表示为：不等式00xx0000,0xxxxxxx即时当0000,0xxxxxxx即时当及左、右极限的ε-δ定义:,,0,000时当xxxAxf恒有:,,0记作左极限有时则称Axfxx.lim0000Axfxfxx左极限：,成立,,0,000时当xxx:.,0记作右极限有时则称Axfxx.lim0000Axfxfxx右极限：Axf恒有,成立注：定理3经常用于判断极限不存在的情况。极限存在的充要条件：AxfxfAxfxx00lim000定理3：94.时函数x)(xf的极限.义大于某一个正数时有定当设xxf恒有时使得当总存在,,0,0XxXAxf:时的极限，记作当就叫做函数则常数xxfA.limxAxfAxfx当或函数极限ε—X定义：,Axf.0来刻划用Axf.0来刻划用XXxx----描述性定义。,时无限增大自变量的绝对值xx时的当就叫做函数则xxfA无限接近函数值xf,AxfA于确定的数值.极限10的定义：当xAxf则成立恒有当,,,0,0AxfXxX.limxAxfAxfx或的定义：当xAxf.limxAxfAxfx或则成立恒有当,,,0,0AxfXxX的几何意义：AxfxlimOXXxyAAA单边极限的定义:11xeyxOy.0yx，的水平渐近线。是xeyy0;1yx，的水平渐近线。是thxyy1.1yx，，若cxfxxxlim的水平渐近线。xfycy是则直线水平渐近线:的图形-11xOythxy12：与两个单边极限的关系时当Axfx,.5AxfxfAxfxxxlimlimlim定理:证（必要性）,)(limAxfx则恒有时使得当总存在,,0,0XxXAxf,Axf即Axfxlim①当,Xx②当,Xx,AxfAxfxlim即（充分性）,)(lim)(limAxfxfxx则,,,0,011成立恒有当AxfXxX,,,022成立恒有当，对于上面的AxfXxX取},,{max21XXX则只要,XxAxf恒有Axfx)(lim136.数列极限与函数极限之间的关系若)(limxfx存在，必有nnnanflim)(lim存在。)(limlimnfannn反之，若)(limxfx不存在，一定不存在。数列是以正整数集为定义域的函数，即)(nfan因此数列的极限)(limlimnfannn可以看成是函数当自变量取正整数n，并趋于正无穷大时的极限。)(xf（1）（2）无论是数列极限还是函数极限，若存在，必唯一。（3）收敛数列的有界性是整体概念，即若nnalim存在，则对;,,MaMNnn使得而对于函数xfxx0lim存在，则只能推得函数在0x的某个邻域有界，即.,,,,,0000MxfxUxMxU有使得对于及14响，处无定义对极限并无影在因为3xxf证323332932xxxx时，当321x321332902xxx，要使即可，只要23x，取2时，恒有：则当30x成立33292xx3329lim23xxx.3329lim23xxx例1用定义证明二、例题用极限的定义证明函数的极限，关键是找到P31541114xxx时，当4123xxx3212xxx，设21x322xx322xx.18,21时当x证时，等于多少，则当问证明例1,411lim241xxxx.001.04114xx，则有3x3212xxx4114xx0要使，对即可，只要181x，取18,2min:10时，恒有则当x4114xx411lim41xxx118x难找，对不等式适当放大16001.04114xx即,001.0取,00006.0则当,00006.010x有001.04114xx，18001.018,2min注：用定义证明函数极限的步骤③取①,0由不等式,Axf经一系列地放大可得：,0xxCAxf（其中C为常数）②解不等式,0xxC得,0Cxx,C则当00xx时，总有,Axf即Axfxx)(lim0Axfxx)(lim017例3证明：当00x时，.lim0xx0xx证:对于,0由于000001xxxxxxxxx要使,0xx只要,100xxx.00xxx即为保证x有定义，用00020xxxxx来限制。取,,min00xx则当0xx时，.0xx所以.lim0xx0xx1812limxxx证明,2X取恒有则当,Xx.12xx.12limxxx.21的图形的水平渐近线是直线xxyyxyO1,0,2即可只要x,212xxx要使证11212xxx,2x例419注：用定义证明函数极限的步骤③取①,0由不等式,Axf经一系列地放大可得：,xCAxf（其中C为常数）②解不等式,xC得,Cx,CM则当Mx时，总有,Axf即Axfx)(limAxfx)(lim20)00(f)(lim0xfx.0lim0xx例5讨论函数.01sin,0,0,0,)(xxxxxxf0x当时，函数)(xf的极限的情况。因为：xOy1-1x而当从的右边逼近于时，函数值在-1与1之间振荡，即00)00(f不存在。由定理3知：.不存在xfx0lim21为什么？是否存在,lim0xxxxxfx00lim001lim00xxx.0000ff.lim30不存在知：根据定理xxxxxx00lim11lim00xxxfx00lim00解：例6（记录）例7证明xxsinlimx不存在。证设,sin)(xxxf取nxn及,22nyn当n时，,,nnyx而,0sinlim)(limnnxfnnn,22lim22sin22lim)(limnnnyfnnnnxxsinlimx不存在。（记录）22注：极限不存在的几种典型例子①趋于,如：11lim,lim,lim12xxnxxn②振荡，如：11sinlim,sinlim1xxxx③左、右极限不相等，单侧极限不相等，如：.1lim,1lim0000xxxxxx.2arctanlim,2arctanlimxxxx所以，xxx0lim不存在。所以，xxarctanlim不存在。23