离散傅立叶变换(DFT)的性质

第五节离散傅立叶变换(DFT)的性质)()()()(2211kXnxDFTkXnxDFT)()()()(2121kbXkaXnbxnaxDFT一、线性1.两序列都是N点时如果则有：)(1nx)(2nx2.和的长度N1和N2不等时，选择为变换长度,短者进行补零达到N点。21,maxNNN这里包括三层意思：(1)先将x(n)进行周期延拓(2)再进行移位(3)最后取主值序列：nRmnxnxNNm)(Nnxnx)(~Nmnxmnx)(~nRmnxnxNNm)(二、序列的圆周移位1.定义一个有限长序列x(n)的圆周移位定义为n)(nx0N-1nNnxnx))(()(~0周期延拓nNnxnx2)2(~0左移2n)()2(nRnxNN0取主值N-1由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把x(n)排列一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于x(n)在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列:。)(~nx2.圆周移位的含义有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。()[()][(())()]mmNNXkDFTxnDFTxnmRn()mkNWXk[(())()][()()]NNNDFTxnmRnDFTxnmRn证：[()]()NDFSxnmRk()()mkNNWXkRk()mkNWXk时域循环(圆周)移位定理2[(())()]()()jnlnlNNNNIDFTXklRkWxnexn[(())()][()()]NNNIDFTXklRkIDFTXklRk证：[()]()NIDFSXklRn()()()nlnlNNNWxnRnWxn频域循环(圆周)移位定理三、共轭对称性1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量]))(())(([21)](~)(~[21)(~]))(())(([21)](~)(~[21)(~****NNoNNenNxnxnxnxnxnNxnxnxnxnx同样，有)(~)(~)(~)(~)(~)(~)(~**nxnxnxnxnxnxnxooeeoe周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反对称分量分别定义为:2.有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量)(]))(())(([21)()(~)()(]))(())(([21)()(~)(**nRnNxnxnRnxnxnRnNxnxnRnxnxNNNNoopNNNNeep由于)()(~)()(~)()](~)(~[)()(~)(nRnxnRnxnRnxnxnRnxnxNoNeNoeN所以)()()(nxnxnxopep这表明长为N的有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量。有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量分别定义为:*1()[()()]2exnxnxn*1()[()()]2exnxnxn(())Nxn*(())NxNn3.共轭对称特性之一)())(()())(()]([)]([)(***kRkNXkRkXnxDFTnxDFTkXNNNN则：，如果：证明：10**)()()]([NnNnkNkRWnxnxDFT10*)(])([NnNnkNkRWnx10*)(])([NnNnkNNnNkRWWnx10*)()(])([NnNnkNNkRWnx)())((*kRkNXNN4.共轭对称特性之二)()]())(([)]([)(**kXnRnxDFTnxDFTkXNN则：，如果：证明：)(])([])([])([)())(()]())(([**10*0)1(*1010**kXWnxWnxWnxWnRnxnRnxDFTNnnkNNnnkNNnnkNNnnkNNNNN可知：)())(()(**kRkXnxNN)()())((**kXnRnxNN5.共轭对称特性之三)()(]))(())(([21)]}({Re[)]([)(*kXkRkNXkXnxDFTnxDFTkXepNNN则：如果：的圆周共轭对称分量。该序列复数序列实部的DFTDFT证明：)()(]))(())(([21)]())(()([21)]}([)]([{21)]}({Re[)]()([21)](Re[****kXkRkNXkXkRkNXkXnxDFTnxDFTnxDFTnxnxnxepNNNNN6.共轭对称特性之四)()(]))(())(([21)]}(Im[{)]([)(*kXkRkNXkXnxjDFTnxDFTkXopNNN则：如果：。的圆周共轭反对称分量该序列的复数序列虚部乘以DFTDFTj证明：)()(]))(())(([21)]())(()([21)]}([)]([{21)]}(Im[{)]()([21)](Im[****kXkRkNXkXkRkNXkXnxDFTnxDFTnxjDFTnxnxnxjopNNNNN7.共轭对称特性之五、六)]([)](Im[)]([)](Re[nxDFTkXjnxDFTkXopep，同样，可证明：8.X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性)()()()1(kXkXkXopep、)())(()())(()()()2(***kRkNXkRkXkXkXNNepNNepepep、)())(()())(()()()3(***kRkNXkRkXkXkXNNopNNopopop、9.实、虚序列的对称特性当x(n)为实序列时，根据特性之三，则X(k)=Xep(k)又据Xep(k)的对称性：)())(()(*kRkNXkXNNepep当x(n)为纯虚序列时，根据特性之四，则X(k)=Xop(k)又据Xop(k)的对称性：)())(()(*kRkNXkXNNopop)())(()(*kRkNXkXNN)())(()(*kRkNXkXNN()()xnXkRe[()]()epxnXkIm[()]()opjxnXk()Re[()]epxnXk()Im[()]opxnjXk总结：共轭对称性Re[()]()()epxnXkXkIm[()]0()0opjxnXk()Re[()]epxnXk()Im[()]opxnjXk纯虚序列的共轭对称性Re[()]0()0epxnXkIm[()]()()opjxnXkXk()Re[()]epxnXk()Im[()]opxnjXk实数序列的共轭对称性11[()]()DFTxnXk22[()]()DFTxnXk解：利用两序列构成一个复序列12()()()wnxnjxn12()[()][()()]WkDFTwnDFTxnjxn则12[()][()]DFTxnjDFTxn12()()XkjXk例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:1()Re[()]xnwn由得11()[()]{Re[()]}()epXkDFTxnDFTwnWk*1[(())(())]()2NNNWkWNkRk2()Im[()]xnwn由得221()[()]{Im[()]}()opXkDFTxnDFTwnWkj*1[(())(())]()2NNNWkWNkRkj)10()()]([)(10NkWnxnxDFTkXNnnkN)30()(304kWnxnnk)30(432134244k)0(040404)1(14141434241426443214321)2(242424644424)1()3(*例：求序列：x(n)=(n)+2(n-1)+3(n-2)+4(n-3)的4点DFT。)10()()]([)(10NkWnxnxDFTkXNnnkN308)(nnkWnx)70(432138288k)0(080808)233()21(4321)1(382818j)2(684828j)233()21(4321)3(986838243214321)4(1288848)233()21()3()5(*jXX22)2()6(*jXX)233()21()1()7(*例：求序列：x(n)=(n)+2(n-1)+3(n-2)+4(n-3)的8点DFT。四、圆周卷积和1.时域卷积定理设x1(n)和x2(n)均为长度为N的有限长序列，且有：和)()(11kXnxDFT)()(22kXnxDFT)()()(21kXkXkY如果：)()(kYIDFTny则：N)(2nx)()(11021nxnRmnxmxNNmNN)(1nx)()(21012nxnRmnxmxNNmN12()()()()[()]YkXkXkynIDFSYk证：由周期卷积和，若，则1120()()Nmxmxnm1120()()()[()(())]()NNNNmynynRnxmxnmRn1120(())(())NNNmxmxnm1120()(())NNmxmxnm圆周卷积过程：1）补零(当两序列不等长时)2）周期延拓(有限长序列变周期序列)3）翻褶，取主值序列(周期序列的翻褶)4）圆周移位5）相乘相加x(n)n0123456-1-2-3-4213213213……x(n)n0123456-1-2-3-4213213213……nx(-n)0123456-1-2-3-4……213213213x(-n)n0123456-1-2-3-4……213213213例：求下面两序列的6点圆周(循环)卷积。)20(1)()()(251nnnxnRnx102nx2(n)1321）补零补到6点53451023nx1(n)141111023m45)(~1mx67891011-1-2-3-4-5-6………………2)周期延拓N=61023mx1(m)145102mx2(m)132345132132132102m345)(~2mx67891011-1-2-3-4-5-6………………2)周期延拓N=6102m341325)(~2mx13213267891011-1-2-3-4-5-6………………102m341325)(~2mx67891011-1-2-3-4-5-6………………1321321023m41511)(~1mx67891011-1-2-3-4-5-6………………3）翻褶，取主值序列102m132345)()(~62mRmx102m132345)()1(~62mRmxy(0)=1*1+3*1=4y(1)=2*1+1*1=31023m145)()(~61mRmxy(2)=3*1+2*1+1*1=6y(3)=3*1+2*1+1*1=6y(4)=3*1+2*1+1*1=6y(5)=3*1+2*1=54）圆周移位5）相乘相加的长度为的长度为)(1nx)10(11NnN)(2nx)10(22NnNmNmlmnxmxm