应用高斯公式计算下列曲面积分

1.应用高斯公式计算下列曲面积分：（1）Sxydxdyzxdzdxyzdydz，其中S是单位球面1222zyx的外侧；（2）Sdxdyzdzdxydydzx222，其中S是立方体azyx,,0表面的外侧；（3）Sdxdyzdzdxydydzx222，其中S是锥面222zyx与平面z=h所围空间区域)0(hz的表面，方向取外侧；（4）Sdxdyzdzdxydydzx333，其中S是单位球面1222zyx的外侧；（5）Szdxdyydzdxxdydz，其中S是单位球面222yxaz的外侧。分析：记住高斯公式dddPQRxyzxyzddddddSPyzQzxRxy，其中S取外侧．解：（1）因为(,,)Pxyzyz，(,,)Qxyzzx，(,,)Rxyzxy，所以ddddddSyzyzzxzxxyxydddVPQRxyzxyz0ddd0Vxyz（2）40320200002223)(2]2)[(2)(2)(2adxaxadyaayxdxdzzyxdydxdxdydzzyxdxdyzdzdxydydzxaaaaaaVS（3）VSdxdydzzyxdxdyzdzdxydydzx)(222，由柱面坐标变换),0,20(,sin,coshzrhrzzryrx知原式40202)sincos(2hrdzzrrdrdhrh（4）512sin3)(104200222333drrdddxdydzzyxdxdyzdzdxydydzxVS（5）：增补平面22210,Szxya使之成为一封闭体，并取下侧为正侧，原式323)111(adxdydzdxdydzVV2．应用高斯公式计算三重积分Vdxdydzzxyzxy)(，其中V由10,0,0zyx与122yx所确定的空间区域。分析：空间区域V如图：12345SSSSSS解：原式2221(2Sxydydzyzdzdxzxdxdy2411]1)1(21)1([21])1()1([21])1()1([2110210210210101021010210222dxxxdxxydyydyxdxzdzxdxydzydyxdxdyzdzdxxydydzyxDDDzxxyyz3．应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：（1）dzyxdyzxdxzyL)()()(222222，其中L为1zyx与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧；（2）zdzdydxyxL32，其中L为yxyz,122所交的椭圆的正向.(3)dzxydyzxdxyzL)()()(,其中L为以),0,0(),0,,0(),0,0,(aCaBaA为顶点的三角形沿ABCA的方向.分析：斯托克斯公式给出了双侧曲面积分与曲面边界的曲线积分的关系，即ddddddSRQPRQPyzzxxyyzzxxydddLPxQyRz其中S的侧与L的方向按右手定则解(1)记L为曲面S:)1,0,0(1yxyxyxz的边界,如图xyz2222xyzaOS1Sxyz111221xyO1S2S3S4S5S由斯托克斯公式知原式Sdxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(2且0)21232()]1(21)1([)()(1021021010dyyydyyyydzzydydydzzyyS同理0)()(SSdxdyyxdzdxxz故原积分=0(2)视L为该椭圆的边界,则原式=dxdyyxdxdyyxdzdxdydzSS22223)30(00由于曲面)1(:22zyyxS上任一点),,(zyx处的发向量)cos,cos,(cosn中的0cos，从而由定义知Sdxdyyx022，因此，原式=0.(3)dzxydyzxdxyzL)()()(22223)212121(22)11()11()11(aaaadxdydzdxdydzdxdydzdxdydzSS4.求下列全微分的原函数:(1)xydzxzdyyzdx;(2)dzxyzdyxzydxyzx)2()2()2(222分析：（1）因为,,PyzQxzRxy，而PQzyx，QRxzy，RPyxz，所以dddyzxxzyxyz在3R内是某一函数(,,)uxyz的全微分xyz1xyzOSxyzxy221yzOxyzxyzaOSABC解：(1)因xydzxzdyyzdxxyzd)(,故原函数为:cxyzzyxu),,((2)分析：因为2222,2,2PxyzQyxzRzxy，而2PQzyx，2QRxzy，2RPyxz，所以222(2)d(2)d(2)dxyzxyxzyzxyz在3R内是某一函数(,,)uxyz的全微分。解法1：任取3000(,,)xyzR，则000(,,)222(,,)(,,)(2)d(2)d(2)dxyzxyzuxyzxyzxyxzyzxyz000222000(2)d(2)d(2)dxyzxyzsyzstxztrxyr3333000000011()2()()2()33xxyzxxyyxzyy33001()2()3zzxyzz3331()23xyzxyzC，其中3330000001()23Cxyzxyz为任意常数．解法2:由于dzxyzdyxzydxyzxxyzzyxd)2()2()2(]2)(31[222333故原函数为Cxyzzyxzyxu2)(31),,(3335.验证下列线积分与路线无关,并计算其值;(1))4,3,2()1,1,1(32dzzdyyxdx;(2)),,(),,(222222111zyxzyxzyxzdzydyxdx,其中),,(),,,(222111zyxzyx在球面2222azyx上.分析：要验证线积分与路线无关，只需要验证被积表达式是某二元函数的全微分，即duPdxQdyRdz或验证,,PQQRPRyxzyzx解：(1)因在内有dzzdyyxdxzyxd32432)413121(,所以所给曲线积分与路线无关,从而原积分1275341331221dzzdyyxdx(2)因在内有222222)(zyxzdzydyxdxzyxd所以,所给曲线积分与路线无关,且212121222222122221212zzyyxxzyxzdzzyxydyzyxxdx原式0122222212212221221212zzzyxyyzyxxxzyx6.证明：由曲面S所包围的立体V的体积V为SdSzyxV)coscoscos(31其中cos,cos,cos为曲面S的外法线方向余弦。分析：cos,coscos,dsdydzdsdzdxdsdxdy再利用高斯公式证明：(coscoscos)()33SSVVxyzdSxdydzydzdxzdxdyxyzdxdydzxyzdxdydzV故原公式成立.7.证明:若S为封闭曲面,l为任何固定方向,则SdSln0),cos(其中n为曲面S的外法线方向.分析：若cos,cos,cos为曲面S的外法线方向余弦，有cos,coscos,dsdydzdsdzdxdsdxdy再利用高斯公式证明：设N和l的方向余弦分别是cos,cos,cos和///cos,cos,cos,则///coscoscoscoscoscos),.cos(ln由一.二型曲面积分之间的关系可得SdSln),cos(dSS)coscoscoscoscoscos(///=.coscoscos///dxdydzdxdydzS由l的方向固定,///cos,cos,cosRQP都是常数,故0zRyQxP,由奥高公式得原式=SRdxdyQdzdxPdydz0)(dxdydzzRyQxPV8.证明公式SVdsnrrdxdydz),cos(21.其中s是包围V的曲面,n是s的外法线方向,),,(,222zyxrzyxr分析：因为),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(znzrynyrxnxrnr而rzzrryyrrxxr),cos(,),cos(,),cos(,则由第一.二型曲面积分的关系及奥高公式可得。证明：dxdydzrdxdydzrzzryyrxxdxdyrzdzdxrydydzrxdsznzynyxnxrdsnrVVSSS12)]()()([)],cos(),cos(),cos([1),cos(外故公式成立.9.若L是平面0coscoscospzyx上的闭曲线,它所包围区域的面积为S,求Lzyxdzdydxcoscoscos其中L依正向进行.分析：利用第一,二型曲面积分之间的关系及斯托克斯公式进行计算。解：因coscos,coscos,coscosxyRzxQyP.故由斯托克斯公式及得sdsdxdydzdxdydzRQPzyxdxdydzdxdydzDDS2)coscos(cos2coscoscos2222原式