湖南大学数值分析课件-绪论

数值计算方法主讲孟纯军湖南大学数学与计量经济学院第1章绪论随着科学技术的飞速发展，科学计算愈来愈显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如：气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。因此，作为科学计算的数学工具数值计算方法已成为各高等院校数学、物理和计算机专业等理工科本科生的专业基础课,也是工科硕士研究生的学位必修课。数值分析或数值计算方法主要是研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和方法.对那些在经典数学中,用解析方法在理论上已作出解的存在,但要求出他的解析解又十分困难,甚至是不可能的这类数学问题,数值解法就显得不可缺少,同时有十分有效.计算机解决科学计算问题时经历的几个过程实际问题——〉数学模型——〉数值计算方法——〉程序设计——〉上机运行求出解实际问题——〉数学模型：由实际问题应用科学知识和数学理论建立数学模型的过程，是应用数学的任务。数值计算方法——〉程序设计——〉计算结果：根据数学模型提出求解的数值计算方法，直到编出程序上机算出解，是计算数学的任务。数值计算方法重点研究：求解的数值方法及与此有关的理论包括：方法的收敛性，稳定性，误差分析，计算时间的最小（也就是计算费用）,占用内存空间少.有的方法在理论上虽不够严格，但通过实际计算，对比分析等手段，被证明是行之有效的方法，也可以采用。因此，数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实验的高度技术性特点，是一门与使用计算机密切结合的实用性很强的数学课程。1.1数学问题的数值解法例示例1..1.1试求函数方程x=cosx在区间内的一个根。解)2,0(()cos,()[0,],2fxxxfx令易知在上是连续函数且(0)()(1)*022ff例1..1.1试求函数方程x=cosx在区间内的一个根。解)2,0(,()0(0,)2fx由零点定理知方程在内至少有一个零点()1sin0,(0,)2fxxx又由.知上述零点唯一.本题用解析法求解较为困难,.若用图解法可大致判定此零点位置cosyxyx作图像**,px两曲线交点的横坐标为所求方程的解*.4x从图中可以看出大致位于附近211122001.1.2.41I(2)1xdxIedxx例计算定积分（）11014arctan|4arctan14arctan0Ix解：（）由牛顿—莱布尼兹公式212,,24()1nhfxSimpsonx数值方法有多种，如选择被积函数的复化公式有1113[(0)4()2()4()(1)]64243.141568627hIfffff221202e,()eNewtonLeibniz-xxIdxfx（）由于的原函数不能用初等函数表达，因此，由公式无法求解，212,,20.746855379nhsimpsonI只可用数值方法求解。仍选择的复化公式进行数值求解有。1.2误差概念和有效数在任何科学计算中其解的精确性总是相对的,而误差则是绝对的.我们从下面这个例子就可以了解误差产生的原因.例:试求摆长为L的单摆运动周期.lT2g在物理学中我们知道单摆周期:glm其中为摆长；为自由落体加速度；是质点的质量。如图所示：由牛顿定律22sindfmgmamldt22sindmlmgdt所以22sin0dgdtl即2,sin,gl当很小时令2220ddt则有12i，解微分方程得，故有221212cossin.sin()ctctcct22lTg因此现在我们来分析单摆周期求解过程的误差情况：01o忽略空气阻力模型误差忽略点处的摩擦力0352sinTaglorsin[...]3!5!截断误差：由展式：0239.8/,gl观察误差：米秒长度04.,,*,/,舍入误差：开方误差的分类模型误差从实际问题建立的数学模型往往都忽略了许多次要的因素,因此产生的误差称为模型误差.观测误差一般数学问题包含若干参数,他们是通过观测得到的,受观测方式、仪器精度以及外部观测条件等多种因素，不可能获得精确值，由此而来产生的误差称为观测误差。截断误差在求解过程中，往往以近似替代，化繁为简，这样产生的误差称为截断误差。舍入误差在计算机上运算时受机器字长的限制，一般必须进行舍入，此时产生的误差称为舍入误差。误差和有效数字*1.2.2,xx定义设为准确数的一个近似数称**()exxx*x为近似数的绝对误差**()()(0)rexexxx*x为近似数的相对误差。*,,x绝对误差是做为衡量的精度高低比较直观但无法衡量精度的好坏。,,而用相对误差也称百分比误差衡量精度的好坏更合理。误差估计由于准确值在一般情况下是未知的，因此绝对误差和相对误差常常是无法计算的，但有可能给出估计。误差界就是用于误差估计的。*r1.2.2,:xx定义设是精确数的一个近似数若有正数和满足**|()|||exxx**|||()|||rrxxexx*rx则称和为近似数的绝对误差界和相对误差界。在实际计算绝对误差和相对误差时，由于准确数x未知，因此常用***)()(xxexer表示)(*xer有效数字*3.14159265......3.1416例如的近似数*()3.14163.14159265...e则在工程上，误差的概念就转化为有效数字。510.0000734......102*3.1416称具有五位有效数字的近似数。*xn若准确到小数点后第位，12121*.(0),mnxaaabbba则|(*)|0.510,nex1|(*)|0.510(*)|||00.000nrexexxa(1)11102mna()510mn*x若的浮点表示为121*0.10(0)ktxaaaa|(*)|0.510,ktex11|(*)|0.510|(*)|||10ktrkexexxa(1)11105102tta绝对误差，相对误差，有效数(浮点数）是度量近似数精度的常用三种。实际计算时最终结果均以有效数给出。同时也就隐含了绝对误差和相对误差界。*2,1.4142,1,5xxmn如*41102x则的绝对误差界*5|()|510rex而相对误差界估计为误差估计***()exxxdx引入微分符号******()lnrxxdxexdxxx**1212,,xxxx设的近似数，则******121212()()exxdxxdxdx**12()()exex******121212()ln()(lnln)rexxdxxdxx****1212lnln()()rrdxdxexex****1112**22()(ln())(lnln)rxxeddxxxx****1212(ln)(ln)()()rrdxdxexex两个数相加（减），和的误差等于两个数的误差之和（减）。（误差稳定）两个数相乘（除），积的相对误差等于两个数的相对误差之和（差）。（相对误差稳定）**********1212121212()()[()()]rrrexxxxexxxxexex****2112()()xexxex******111112****2222()()(()())rrrxxxxeeexexxxxx**********1211222112*2*222()()()()()()rrxxexxxexxexxexxx两个数相乘，积的误差等于第一个数乘以第二个数的相对误差加上第二个数乘以第一个数的相对误差。（误差什么情况下会严重扩大？）两个数相除，商的误差等于分母乘以分子的误差减去分子乘以分母的误差，然后除以分母的平方。（误差什么情况下会严重扩大？）两个数相乘，如果有大因子，积的误差可能严重扩大两个数相除，如果除数很小，商的误差可能会严重扩大12112212121212(**)*(*)*(*)(**)+******rrrexxxexxexexxxxxxxx12112212121212(**)*(*)*(*)(**)-******rrrexxxexxexexxxxxxxx两个相近的异号数相加，和的相对误差可能严重扩大两个相近的同号数相减，差的相对误差可能严重扩大计算函数值产生的误差**(),()yfxxxfx设函数当用近似数代替计算函数值则时，则误差为**()()()()effxfxdfx****()()()()fxxxfxex****()()()()rrxfxefexfx或****()|()|,||,1,1()rrxfxCfxCCCfx若记当时有*()()efex*()()rrefex1,1rCC这表明当时，函数值的误差是可以控制的，或是稳定的。,()rCCfx一般分别称为在绝对意义下和相对意义下的条件数。1()Cfx当称为良态；1()Cfx当称为病态。例题21.2.2()101000fxxx例讨论函数在正根附近的性态。12101,100100xxx解:显然，即正根为100|(100)|21|2011()xfxfx在正根附近是病态的**1199,()(99)200xfxf如：取则**1199.9,()(99.9)20.09xfxf取则也就是自变量发生微小变化，函数值变化极大。计算表明：x*=99.999;y=x*^2+x*-1010；y=-0.2010x*已经有5位有效数字，但y的误差比较大。误差控制的一般原则简化计算步骤，减少运算次数避免两相近的数相减,以免有效数字的大量丢失避免大数吃小数,即两数相加时,防止较小的数加不到较大的数上.避免分母很小(或乘法因子很大),以免产生溢出.选择稳定的数值方法，控制误差的传播.1.3算法的优化算法优劣的标准从截断误差观点看,算法必须是截断误差小,收敛敛速要快。即运算量小,机器用时少.从舍入误差观点看,舍入误差在计算过程中要能控制,即算法的数值要稳定.从实现算法的观点看,算法的逻辑结构不宜太复杂，便于程序编制和上机实现.例题ln2计算的值。Taylor算法一：由展式有231ln(1)...(1)...23nnxxxxxn11111ln21...(1)...23nxn令有lim0ln2nna由级数判别，交错级数且所以收敛。5511||1021012nn若要时，则显然项数大，收敛速度慢。:算法二由于23ln(1)......23nxxxxxn231ln(1)...(1)...23nnxxxxxn2421ln(1)ln(1)ln12(1......)3521nxxxxxxxxn1121013xxnx令则并取得：2024211111ln2(1...())3353213111212111021111(...)3239259211111110132391223919T其截断误差为101.3.3(0,1,...)5nnxIdxnx计算定积分1110555nnnnxxIIdxx解：由于111001|1,2,...nnxxdxnnn稳定算法与病态问题10151,2,...6ln0.182321555nnIInnI得递推公式nInnIn00.1823215590.01705662410.088392216100.01471687620.058039818110.01732471030.