第八章分层介质中弹性波的传播

第八章分层介质中弹性波的传播海洋地球科学学院地球探测信息与技术系宋鹏第七章波动方程的积分解波动的起源是波源的振动，波动的传播是由于介质中质点之间的相互作用。对于连续分布的介质，其中任一点的振动将直接引起和它相邻各点的振动，因而波动中任何一点都可以看作新的波源。第七章波动方程的积分解◆质点中波动传播到各点，这些点不论在同一波阵面还是不在同一波阵面，都可以看作新的波源；◆这一系列新的波源产生二次扰动形成球面子波；◆任一时刻，这些球面子波的包络形成新的波阵面。根据惠更斯原理，可从已知波前求出以后各时刻波前的位置。惠更斯原理给出了波传播的空间几何位置，菲涅尔补充了惠更斯原理，给出了波到达位置的物理状态。第七章波动方程的积分解第七章波动方程的积分解惠更斯—菲涅尔原理说明区域之外的震源在区域内点引起的扰动可以看作区域边界曲面S上连续分布的新波源，在不同时刻发出的各个球面子波传播到时刻，在点产生的各个扰动的迭加，具体数学表达由Kirchhoff积分公式给出。QMrtctM0001()111(,,,)([][][])4Sururuxyztudsrnnrcnt第八章分层介质中弹性波的传播地震波在地层中的传播就是弹性波在分层介质中的传播。由于地层介质按物性具有分层结构，通常把实际地层称为层状介质，因此研究弹性波在分层介质中的传播非常重要。震源在各向同性的均匀介质中波前是球面，地震波是球面波，球面波遇到分界面，波前发生改变。但当震源足够远时，即震源与接收点距离比波长大得多时，可近似将球面波视为平面波。同时，当波长远小于分界面曲率半径时，也可将分界面视为平面。这样，可使讨论大大简化，并不影响对许多现象本质的揭示。平面谐波在自由界面上的传播规律自由界面：指地表应力为零的界面，半无限弹性体的界面就是自由界面。由于地球表面大气压相对于地球内部压力来说是十分小的，在讨论中可把大气压忽略不计，于是地球表面可以看作自由界面。◆因为地球介质在短暂力（如爆炸）的作用下，在离开震源稍远的大部分地区可看成弹性体，并且地球半径比地震波波长大得多，所以可将地球看作半无限大弹性介质，同时，可近似将地震波视为平面波。平面谐波在自由界面上的传播规律三点说明：◆任何复杂的波都可看成一系列不同振幅，不同频率及波长谐波的叠加，因此仅讨论一个平面谐波入射到自由界面的情形即可。平面谐波在自由界面上的传播规律◆如果平面波的传播方向与z轴垂直（即在xoy面或平行于xoy的平面内），弹性动力学问题中的场变量都依赖于x和y两维，此时弹性动力学问题为二维问题，这时讨论分层介质波传播问题就是讨论这样二维弹性动力学问题。二维问题的方程在二维问题中，假设位移位及都只与x，y和t有关，即，。(,,)xyt(,,)xyt1、位移分量：由位移矢量公式知：UkyxjxzizykzjyixUxyzxyz)()()(二维问题的方程kyxzjxzyizyxUxyzxyz)()()(yxzwxzyvzyxuxyzxyz二维问题的方程(,,)uxyvyxwwxyt（8-1）因为位移分量仅与x、y、t有关,所以二维问题的位移分量可表示为：其中,(,,)zxyt(,,)yxwxytxyxyzijk平面谐波在自由界面上的传播规律将写成矢量形式：()()()()()Uuivjwkijwkxyyxijijwkxyyxkwk（8-2）ijxy其中：平面谐波在自由界面上的传播规律2、应力分量：将式（8-1）代入几何方程得到各应变分量：22222222222,2,0,xxyyyzzzxuvuxxxyxyxyyxvwyyxyywwzx（8-3）体积应变为：2txyz平面谐波在自由界面上的传播规律将（8-3）代入物理方程中，得到二维问题的各应力分量为：（8-4）2222222222222222()22()2(2)xtxytyztzxyxyyzyzzxzxxxyyxyxyyxwywx其中：22222xy平面谐波在自由界面上的传播规律3、波动方程：将式（8-2）代入Lame方程，得到以位移位表示的方程：222tUUFt拉梅方程（8-5）222222222[(2)][()][()]0wkwkttt显然，和分别是下列方程的解：w平面谐波在自由界面上的传播规律222212222222222101010ctctwwct（8-6）其中为纵波速度，为横波速度。（8-6）式第一个方程为纵波（P波）波动方程，第二个方程为横波（SV波）波动方程，第三个方程为横波（SH波）波动方程。12c2c平面谐波在自由界面上的传播规律4、二维方程中平面运动和非平面运动前述二维问题是指各个量只与有关。平面运动是指位移在平面内变化，即，，，这种情况下即无SH波。可见在平面运动中，只有P波和SV波在平面或其平行面内传播。(,,)xyt(,,)uuxyt(,,)vvxyt0w非平面运动是指位移在空间变化，即，而，显然，可见非平面运动中，只有SH波，即波的传播方向在面或平行面内，但位移方向为z方向。0uv0(,,)wwxyt平面谐波在自由界面上的传播规律注意：不要把平面波与平面运动二个不同概念混淆，平面波可以是非平面运动，如平面SH波。综上所述，位移分量可分为两组：1），它们与及的分量有关，为平面运动；2），只与和有关，属于非平面运动。,uvz(,,)yxwwxytxyxy平面谐波在自由界面上的传播规律-边界条件及波动方程解的物理意义设一半无限弹性介质，其自由界是一个平面。选直角坐标系如图8-1，自由界面上y=0，半无限介质。现设平面运动的平面P波和平面SV波在面或平行面内传播，沿单位矢量为的方向入射到自由界面。0yxoyn当入射P波，SV波时，质点振动方向（位移方向）也在xoy面或平行面内，，，就是平面运动二维问题，位移位满足（8-6）式第1和第2个方程：0w(,,)uuxyt(,,)vvxyt22221222221,01,0yctyct（8-7）平面谐波在自由界面上的传播规律-边界条件及波动方程解的物理意义在自由界面上，面力为零，故由边界条件（5-12）可知：00|0,|0yyxyy（8-8）平面谐波在自由界面上的传播规律-边界条件及波动方程解的物理意义将(8-4)式代入(8-8)式得:22220222220(2())0(2)0yyyxyxyyx（8-9）此外还要求在无穷远处，即时，弹性波完全消失，有22rxy11(),()rr（8-10）表示时，和是比更高阶的小量。r1r平面谐波在自由界面上的传播规律-边界条件及波动方程解的物理意义在弹性波传播问题的研究中，对弹性波有主要影响的是弹性介质的特性（包括弹性常数、密度）以及边界条件。所以讨论问题时，可不考虑初始条件，仅讨论满足方程和边界条件下的解。设(8-7)解为平面谐波形式:()(,,)()()(,,)()iKxctxytyeiKxctxytye（8-11）平面谐波在自由界面上的传播规律-边界条件及波动方程解的物理意义其中K和c皆为常数（实质上C是沿x方向的速度—视速度），，都只是y的函数，代入(8-7)式得和满足的方程为：()y()y2221222222()()0()()0dyKpydydyKpydy（8-12）其中22221222121,1ccppcc（8-13）由于，故，常微分方程(8-12)解的特性与和有关。12cc12pp1p2p平面谐波在自由界面上的传播规律-边界条件及波动方程解的物理意义当时，和均为实数，(8-12)式一般通解为：12ccc1p2p11221212()()iKpyiKpyiKpyiKpyyAeAeyBeBe（8-14）于是波动方程(8-7)的通解为：1122()()12()()12(,,)(,,)iKxpyctiKxpyctiKxpyctiKxpyctxytAeAexytBeBe（8-15）其中，，和都是任意常数。1A2A1B2B平面谐波在自由界面上的传播规律-边界条件及波动方程解的物理意义将(8-15)代入自由边界(8-9)，整理得:2211122122112212[(1)2]()2()02()(1)()0ppAApBBpAApBB（8-16）其中222111212221122222122222(1)2(2)22(2)(2(1))(2)(1)ppppccccccccp平面谐波在自由界面上的传播规律-边界条件及波动方程解的物理意义于是(8-16)进一步写成：22122122112212(1)()2()02()(1)()0pAApBBpAApBB（8-17）这就是时，平面谐波形式的解中的，和，所应满足的关系。12ccc1A2A1B2B平面谐波在自由界面上的传播规律-边界条件及波动方程解的物理意义下面具体讨论波动方程的解中各项的物理意义：①中各项中含的项：1A平面谐波在自由界面上的传播规律-边界条件及波动方程解的物理意义211222111111()111()11pciKpxytpppiKxpyctAeAe设1212112211111ppclcppcmcp（8-18）又，于是：1211ccp21111()()11piKpnrctiKxpyctAeAe（8-19）平面谐波在自由界面上的传播规律-边界条件及波动方程解的物理意义1c其中，。可见平面谐波是沿正方向，以波速传播的平面P波。由(8-18)知，，对于图8-2中的坐标系，必然指向自由界面，因此是上行P波，也就是入射到自由界面的P波，记为。(,)ppplmn(,)rxy1()1iKxpyctAepn0,0pplmpn1()1iKxpyctAe1()1iKxpyctIAe图8-2P波入射到自由界面平面谐波在自由界面上的传播规律-边界条件及波动方程解的物理意义由于c是在自由界面上波前传播的速度（视速度），即沿着x方向传播的速度，对入射P波，波前为：＝常数时间；在面上观察波前运动规律为：。也就是沿方向以波速传播的平面P波，在自由界面观察到却是沿x方向以速度c传播的平面波。也就是说波速c是波前与自由界面交线（图8-2中N点）沿x轴方程传播的速度，该速度是在自由界面观察的，称c为视速度。由