第八章多元函数微分学习题课

第八章多元函数微分学习题课电子课件2008年4月8日星期二贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建一、主要内容平面点集和区域平面点集和区域多元函数概念多元函数概念多元函数的极限多元函数的极限极限运算极限运算多元函数连续的概念多元函数连续的概念多元连续函数的性质多元连续函数的性质PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建、多元函数的极限说明：（1）定义中的方式是任意的；0PP®（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．存在性——定义，夹逼定理不存在——特殊路径、两种方式求法——运算法则、定义验证、夹逼定理消去致零因子、化成一元极限等2、多元函数的连续性)()(lim00PfPfPP=®PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建、偏导数概念定义、求法偏导数存在与连续的关系高阶偏导数——纯偏导、混合偏导4、全微分概念定义可微的必要条件可微的充分条件利用定义验证不可微PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建、复合函数求导法则),(),,(),,(yxvvyxuuvufz===xvvzxuuzxz¶¶×¶¶+¶¶×¶¶=¶¶yvvzyuuzyz¶¶×¶¶+¶¶×¶¶=¶¶法则22´“分道相加，连线相乘”法则的推广——任意多个中间变量，任意多个自变量如何求二阶偏导数PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建、全微分形式不变性无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、dvvzduuzdz¶¶+¶¶=.7、隐函数的求导法则0),()1(=yxF0),,()2(=zyxFîíì==0),,(0),,()3(zyxGzyxFîíì==0),,,(0),,,()4(vuyxGvuyxFzyzxFFyzFFxz-=¶¶-=¶¶,PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建①公式法②直接法③全微分法8、微分法在几何上的应用(1)空间曲线的切线与法平面(２)曲面的切平面与法线求直线、平面的方程定点（过点）、定向（方向向量、法向量）曲线：参数式，一般式给出曲面：隐式、显式给出求隐函数偏导数的方法PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建、多元函数的极值9、方向导数与梯度定义计算公式（注意使用公式的条件）梯度的概念——向量梯度与方向导数的关系极值、驻点、必要条件充分条件)0(2-ACB求函数),(yxfz=极值的一般步骤：PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建最值条件极值，目标函数、约束条件构造Lagrange函数),,(),,(),,(zyxzyxfzyxFlj+=PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建二、典型例题例1.)(lim2200yxxxyyx+-®®求极限解)0(,sin,cos==rqrqryx令.0)0,0(),(®®r等价于则yxrqqqrcos)cos(sin)(0222-=+-£yxxxyqqqrcos)cos(sin-=,2r£.0)(lim2200=+-®®yxxxyyx故PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建已知),,(ztzyyxfw---=求twzwywxw¶¶+¶¶+¶¶+¶¶解1fxw=¶¶21ffyw+-=¶¶32ffzw--=¶¶3ftw=¶¶twzwywxw¶¶+¶¶+¶¶+¶¶Þ0=例3已知)sin(cbyaxz++=求nmnmyxz¶¶¶+PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建解)cos(cbyaxaxz++=¶¶)2sin(p+++=cbyaxa)22sin(222p×+++=¶¶cbyaxaxzLLL)2sin(p×+++=¶¶mcbyaxaxzmmm)22sin(1pp++++=¶¶¶+mcbyaxbayxzmmmLLL)2)(sin(pnmcbyaxbayxznmnmnm++++=¶¶¶+PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建)(),,(2223yxzyzyzfxyxyfxz¶¶¶¶¶¶¶=求，具有二阶连续偏导数设解)1(213xfxfxyz¢+¢=¶¶,2214fxfx¢+¢=)1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz¢¢+¢¢+¢¢+¢¢=¶¶,222123115fxfxfx¢¢+¢¢+¢¢=,222123115fxfxfx¢¢+¢¢+¢¢=PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建¶¶¶=¶¶¶22)(2214fxfxx¢+¢¶¶=)]([2)]([4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx-¢¢+¢¢+¢+-¢¢+¢¢+¢=.2422114213fyfyxfxfx¢¢-¢¢+¢+¢=PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建),(,sin,0),,(),,,(2dxduzfxyzexzyxfuy求且，具有一阶连续偏导数设¹¶¶===jjj解,dxdzzfdxdyyfxfdxdu¶¶+׶¶+¶¶=,cosxdxdy=显然,dxdz求得的导数两边求对,0),,(2xzexy=j,02321=¢+×¢+×¢dxdzdxdyexyjjj于是可得,),cos2(12sin13jjj¢×+¢¢-=xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux¶¶¢×+¢¢-¶¶+¶¶=jjj故PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建)(zyxezyx++-=++求22222,,yzyxzxz¶¶¶¶¶¶¶解一记)(),,(zyxezyxzyxF++--++=则zyxFFF==)(1zyxe++-+=1-=¶¶=¶¶Þyzxz22222yzyxzxz¶¶=¶¶¶=¶¶Þ0=解二方程两边对x求偏导)1(1)(xzexzzyx¶¶+-=¶¶+++-0]1)[1()(=+¶¶+Þ++-zyxexz例6设PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建=¶¶Þxz由轮换对称性1-=¶¶yz22222yzyxzxz¶¶=¶¶¶=¶¶Þ0=两边取全微分)()(dzdydxedzdydxzyx++-=++++-0)](1[)(=+++Þ++-dzdydxezyx0=++Þdzdydx即dydxdz--=1-=¶¶=¶¶Þyzxz22222yzyxzxz¶¶=¶¶¶=¶¶Þ0=解三PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建设有方程组ïîïíì=+++=+++=+++3333322222cuzyxbuzyxauzyx求dxdy解两边对x求导ïîïíì=¢+¢+¢+=¢+¢+¢+=¢+¢+¢+00012222uuzzyyxuuzzyyxuzy这是一个以uzy¢¢¢,,为未知量的三元一次方程组若系数行列式222111uzyuzyD=（Vandermond行列式）0))()((¹---=zuyuyz例7PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建=¢))()((1zuxuxzD----=))(())((yuyzxuxz-----=在半径为R的圆的一切内接三角形中，求其面积最大者解如图若以x,y,z表示三角形的三边所对的圆心角，则p=++zyx三角形的面积)sinsin(sin212zyxRA++=例8PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建=++zyx下的最大值xyz)2()sinsin(sin),,(pl-+++++=zyxzyxzyxF),,0(pzyxïîïíì=+==+==+=0cos0cos0coslllzFyFxFzyxzyxcoscoscos==Þzyx==Þ32p=2max433RA=Þ记PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建已知),(yxuu=满足方程02222=¶¶+¶¶+¶¶-¶¶yuaxuayuxu试选择参数ba,通过变换yxeyxvyxuba+=),(),(使原方程变形所得新方程中没有v对x,y的一阶偏导数解yxevxvxubaa++¶¶=¶¶)(yxevxvxvxubaaa++¶¶+¶¶=¶¶)2(22222yxevyvyubab++¶¶=¶¶)(yxevyvyvyubabb++¶¶+¶¶=¶¶)2(22222PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建)()2()2(222222=++-+¶¶+-+¶¶++¶¶-¶¶vaayvaxvayvxvbababa令îíì=+-=+0202aaba解得2,2aa=-=ba因0)(22=++-babaa故变换后的方程为02222=¶¶-¶¶yvxvPDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建),,(0000222222模此方向导数等于梯度的具有什么关系时的方向导数，问的向径处沿点在点求cbarzyxMczbyaxu++=解{},,,,20202000000zyxrzyxr++==Q.cos,cos,cos000000rzryrx===gba处的方向导数为在点M\gbacoscoscos0MMMMzuyuxuru¶¶+¶¶+¶¶=¶¶PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建=)(22222220000czbyaxr++=.),,(2202020000zyxzyxu++=处的梯度为在点M\kzujyuixugraduMMMM¶¶+¶¶+¶¶=,222202020kczjbyiax++=PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建=,时当cba==,22222000zyxagraduM++=Q,2)(2202022202022222000000zyxazyxzyxaruM++=++++=¶¶,0MMgraduru=¶¶\.,,,模此方向导数等于梯度的相等时故当cbaPDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建之间的最短距离．与平面求旋转抛物面2222=-++=zyxyxz解.2261,022,),,(22--+==--++=zyxddzyxPyxzzyxP的距离为到平面则上任一点为抛物面设分析:最小．即且使满足，使得本题变为求一点))22(61(22610,,),,(2222--+=--+==-+zyxdzyxdzyxzyx