工程力学(静力学与材料力学)第二篇第12章弯曲变形

单辉祖,材料力学教程1第6章弯曲变形弯曲变形基本方程计算梁位移的方法简单静不定梁分析梁的刚度条件与设计本章主要研究：单辉祖,材料力学教程2§1引言§2梁变形基本方程§3计算梁位移的积分法§4计算梁位移的奇异函数法§5计算梁位移的叠加法§6简单静不定梁§7梁的刚度条件与合理设计单辉祖,材料力学教程3§1引言弯曲变形及其特点挠度与转角单辉祖,材料力学教程4弯曲变形及其特点挠曲轴是一条连续、光滑曲线对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计,因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交挠曲轴变弯后的梁轴，称为挠曲轴研究弯曲变形的目的，进行梁的刚度计算，分析静不定梁，为研究压杆稳定问题提供有关基础单辉祖,材料力学教程5挠度与转角转角－挠度挠度与转角的关系（小变形）xw''ddtan挠度－横截面形心在垂直于梁轴方向的位移)(xww－挠曲轴方程转角－横截面的角位移)(x－转角方程（忽略剪力影响）xwdd（rad）单辉祖,材料力学教程6§2梁变形基本方程挠曲轴微分方程挠曲轴近似微分方程单辉祖,材料力学教程7挠曲轴微分方程EIxMx)()(13/221)(1wwxEIxMww)(13/22EIM1（纯弯）（推广到非纯弯）w－弯矩引起的挠度smaxsp－挠曲轴微分方程单辉祖,材料力学教程8挠曲轴近似微分方程小变形时：12wEIxMxw)(dd22EIxMxw)(dd22EIxMww)(13/22－挠曲轴近似微分方程pmaxss小变形坐标轴w向上应用条件：EIxMxw)(dd22坐标轴w向下时：单辉祖,材料力学教程9§3计算梁位移的积分法挠曲轴微分方程的积分与边界条件积分法求梁位移挠曲轴的绘制例题单辉祖,材料力学教程10挠曲轴微分方程的积分与边界条件EIxMxw)(dd22CxEIxMxwd)(ddDCxxxEIxMwdd)(约束处位移应满足的条件梁段交接处位移应满足的条件－位移边界条件－位移连续条件利用位移边界条件与连续条件确定积分常数单辉祖,材料力学教程11积分法求梁位移A=?EI=常数建立挠曲轴近似微分方程并积分lMFFByAy/exlMxMe)(xEIlMxwe22dd(a)2dd2eCxEIlMxw(b)63eDCxxEIlMw利用边界条件确定积分常数(1)00wx处，在(2)0wlx处，在由条件(1),(2)与式(b)，得EIlMCD60,e计算转角)(36dd22elxEIlMxwEIlMA6(0)e（）单辉祖,材料力学教程12挠曲轴的绘制绘制依据满足基本方程EIxMw)(满足位移边界条件与连续条件绘制方法与步骤画M图由位移边界条件确定挠曲轴的空间位置由M图的正、负、零点或零值区，确定挠曲轴的凹、凸、拐点或直线区，即确定挠曲轴的形状单辉祖,材料力学教程13例题例3-1用积分法求梁的最大挠度，EI为常数解：1.建立挠曲轴近似微分方程并积分lFbFAylFaFBy12112ddxEIlFbxw121112ddCxEIlFbxw1113116DxCxEIlFbw)(dd222222axEIFxEIlFbxw2222222)(22ddCaxEIFxEIlFbxw22232322)(66DxCaxEIFxEIlFbwAC段CB段单辉祖,材料力学教程143.最大挠度分析)(6222111lbxlEIFbxwlEIblFbf39)(3/222（）当ab时0011wx处，在022wlx处，在2121wwaxx处，在处，在21axx位移边界条件：位移连续条件：021DD)(62221lbEIlFbCC2211d/dd/dxwxw2.确定积分常数发生在AC段1113116DxCxEIlFbw22232322)(66DxCaxEIFxEIlFbw0dd11xw单辉祖,材料力学教程15例3-2建立挠曲轴微分方程，写出边界条件，EI为常数2qaFAy23qaFBy121122ddxEIqaxw2222222ddxEIqxw解：1.建立挠曲轴近似微分方程AB段:CB段:2.边界条件与连续条件0011wx处，在011wax处，在2121wwaxx处，在处，在21axx位移边界条件：位移连续条件：2211ddddxwxw单辉祖,材料力学教程16F=qa例3-3绘制挠曲轴的大致形状F=qa单辉祖,材料力学教程17§4计算梁位移的奇异函数法奇异函数弯矩通用方程梁位移通用方程例题单辉祖,材料力学教程18奇异函数当需分段建立M或EI方程时，用积分法求解需要确定许多积分常数，利用奇异函数简化了分析计算)()(axaxax)(0axax)0()(naxxFnnCaxnxaxnn111d定义奇异函数（或麦考利函数）)(00axax单辉祖,材料力学教程19弯矩通用方程用奇异函数建立最后梁段DE的弯矩方程：23201e2lxqlxFlxMxFMAy适用于各梁段。eMxFMAy1-00-0132lxlxlx由于例如对于BC段（l1,l2）单辉祖,材料力学教程20梁位移通用方程23201e2lxqlxFlxMxFMAy23201e2221ddlxqlxFlxMxFEIxwAyClxqlxFlxMxFEIxwAy33221e26221ddDCxlxqlxFlxMxFEIwAy433221e3246261适用于任一梁段,仅包括两个积分常数,由边界条件确定单辉祖,材料力学教程21例题例4-1用奇异函数法计算A，EI为常数解：1.建立梁位移通用方程lMFFByAye0ee2lxMxlMM0ee222ddlxMxlMxwEIClxMxlMxwEI22dde2eDCxlxMxlMEIw2e3e226单辉祖,材料力学教程222.确定积分常数0,00wlxwx处，在处，在0,24eDlMC得：EIlMA24e（）ClxMxlMxwEI22dde2eDCxlxMxlMEIw2e3e2263.计算转角24221ddee2elMlxMxlMEIxw单辉祖,材料力学教程23例4-2用奇异函数法计算wA，EI为常数解：FFBy2FFCy022axFaaxFFxwEICaxFaaxFxFwEI2222DCxaxFaaxFxFEIw23322360,3;0,waxwax处在处在1211,121332FaDFaCEIFawwA121103（）单辉祖,材料力学教程24例4-3建立通用挠曲轴微分方程，写出位移边界条件解：22222lxqxqM2222222ddlxqxqxwEI0dd,0:xwwlx处在单辉祖,材料力学教程25§5计算梁位移的叠加法叠加法逐段分析求和法例题单辉祖,材料力学教程26叠加法方法qAFAA分解载荷分别计算位移求位移之和)(8343EIqlEIFl)(33,EIFlwFA)(84,EIqlwqA?Aw当梁上作用几个载荷时，任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和单辉祖,材料力学教程27理论依据)()()(xMxMxMqF)(dd22xMxwEI)()(xwxwwqF故：)(dd22xMxwEIF)(xwwF)(dd22xMxwEIq)(xwwq上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合（小变形,比例极限内）（小变形）叠加法适用条件：小变形，比例极限内单辉祖,材料力学教程28逐段分析求和法分解梁分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位移awB1EIlFaaEIFalw3321EIFaw33221)()(32alEIFa求总位移在分析某梁段的变形在需求位移处引起的位移时，其余梁段视为刚体EIlFaB3单辉祖,材料力学教程29例题例5-1q(x)=q0cos(px/2l)，利用叠加法求wB=?解：)3(6)d(d2xlEIxxxqwBxlxEIxlxqd2πcos6)(320xlxxlxEIqwlBd2)cos(36020pEIlq4340324)(2pp()()单辉祖,材料力学教程30例5-2解：21awwBB1FaBFBB2322236523EIFaEIaFaEIFa?CwFaBFBB,,22222232EIFaEIaFaEIFa23137EIFaw1323EIFaw13132323337EIFaEIFaEIFawC()()()单辉祖,材料力学教程31例5-3图示组合梁，EI=常数，求wB与A2qaFFByAyFBFBB23623223aaEIaFEIaqa48134EIqaqABAaw,165244813333EIqaEIqaEIqa()()解：单辉祖,材料力学教程32例5-4图示刚架，求截面C的铅垂位移21wwCyawwBB1)(332EIFaw)(333t23EIFaGIlFaEIFlCy解：)(taGIFalEIFl33单辉祖,材料力学教程33例5-5求自由端位移d故挠曲轴与外力作用面不重合zyII一般情况下yzddtantanyzII解：sinFFzcosFFyzzyyEIFlEIlF3cos333dyyzzEIFlEIlF3sin333d22zyddd223sincos3yzIθIEFl单辉祖,材料力学教程34§6简单静不定梁静不定度与多余约束简单静不定梁分析方法例题单辉祖,材料力学教程35静不定度与多余约束多余约束凡是多于维持平衡所必须的约束多余反力与多余约束相应的支反力或支反力偶矩静不定度＝未知支反力（力偶）数－有效平衡方程数静不定度＝多余约束数4-3=1度静不定5-3=2度静不定静不定梁支反力（含力偶）数超过平衡方程数的梁单辉祖,材料力学教程36简单静不定梁分析方法选FBy为多余力EIlFEIFlwByB3485330Bw－变形协调条件－物理方程0348533EIlFEIFlBy－补充方程165FFBy1630,/FlMMAA得－平衡方程1度静不定16110,/FFFyAy得算例综合考虑三方面求梁的支反力,EI=常数单辉祖,材料力学教程37判断梁的静不定度用多余力代替多余约束的作用，得受力与原静不定梁相同的静定梁－相当系统计算相当系统在多余约束处的位移，并根据变形协调条件建立补充方程由补充方程确定多余力，由平衡方程求其余支反力通过相当系统计算内力、位移与应力等依据－综合考虑三方面关键－确定多余支反力分析方法与步骤相当系统相当系统注意:相当系统有多种选择单辉祖,材料力学教程38例题例6-1求支反力BAM,AM,AF,AABAM,BM,BF,BBEIlMEIlMEIlblFabBA636)(EIlMEIlMEIlalFabBA366)(00解：1.问题分析2.解静不定00BA,2222lbFaM,lFabMBA3232