1.2数列的极限及运算-同济大学高数(第七版)上册

三、收敛数列的性质1.2数列的极限二、数列极限的定义一、概念的引入四、数列的运算法则割圆术：刘徽一、概念的引入设有一圆，首先作内接正六边形，将其面积记为A1；再作内接正十二边形，将其面积记为A2；作内接二十四边形，将其记为A3；依此类推，内接正6×2n-1边形的面积记为AnR1A正十二边形的面积2A正形的面积126nnA,,,,,321nAAAAS当n越大时，An的面积与圆的面积的差别也就越小；当n→∞时，内接正多边形的面积就无线接近于圆，这就是极限的概念.正六边形的面积二、数列极限的定义可表示为,,2,1,)(nnfxn数列是整标函数:在几何上：1x2x3x4xnxxo;2;,2,,8,4,2nn通项为nn21;,21,,81,41,21通项为例如：1、数列的定义.,,,,}{21其中，为数列的通项；：nnxxxx数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取x1，x2，x3，…xn，….1)1(11,1就越来越接近于越来越小，从而越来越大时当nxnnnn两个数的接近程度可用这两个数之差的绝对值来度量！nnxnn11)1(11问题：当n无限增大时，对应的f(n)能否无限接近于某个确定的数值？.})1(1{1时的变化趋势为例，观察它当以数列nnn.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn“无限接近”意味着什么？如何用数学语言刻划它？!11nxn,100111,100,1001nxnn就有时只要给定正数.1,])1[(,0成立就有时只要nxNn,1000111,1000,10001nxnn就有时只要给定正数.10000111,10000,100001nxnn就有时只要给定正数2、数列极限的定义时，使得当若为常数，为一数列，设NnNNaxn,,0}{.}{}{的极限称为数列常数，收敛于，则称数列有nnnxaaxax.)(limnaxaxnnn或记作：，的极限都不是，即不存在极限若数列}{}{nnxRax.}{发散或不收敛则称数列nx推论.}{摆动，要么在一定的跨度内要么趋于时，数列即当nxn.,,,,0limaxaaxNnNNaxnnnn即有时当x2aaa2Nx1Nx.}{),(),(,0项）项（即前的有限之外最多只有而在内，都落在的项，所有下标大于NxaaaaxNNNnnNx2x3x1x收敛数列的几何意义：.][的式子关于的式子，则关于得Nn具体方法：”出发解不等式，从结论“对任意给定的axn,0思考：如何根据极限定义验证数列极限？用定义验证数列极限,关键是如何由任意给定的ε0，寻找N！注：该定义并未提供如何求数列极限，但可以去验证数列的极限！例1.01limnn证明证nnn1101,0由,1n.0n1],1[时，有当NnN.01limnn例2.1,0limqqnn其中证明证,0,)10(0nnqq有，，得时，对上式两边取对数当lnln10qnq.0,]lnln[nqNnqN时，有当取.0limnnq;,0上式恒成立时当Nnq,lnlnqn注:.)(0,1Nnnnn，从而确定所要找的，再解不等式且较为简单、使放大后的式子.2提条件的值时，考虑到这个前并在最后确定必须大于某个正数，有时要限定式子简单，、在放大过程中，为使Nn放大的原则：.naxaxnaxnnn适当放大，使得很不方便，因此通常将的式子关于，要得到有时直接解不等式例3.32312limnnn证明证)31(3)31(2632312,0nnnnn由,1n.32-n31n2,]1[时，有当NnNnnn199932.32312limnnn例4.21521lim22nnnn证明证nnnnnn1042521521,0222由nnnn53451045,5n21-5n-2n1-n,]5[,3max22时，有当取NnN.21521lim22nnnn注意）（3n104510452nnnn三、收敛数列的性质定理1（唯一性）.}{收敛，则其极限必唯一若数列nx证，由定义知：又设设bxaxnnnnlim,lim使得,,,021NNN;1axNnn.2bxNnn，上述二式同时成立，则取NnNNN,,max212)()(bxaxbxxabannnn.ba的任意小性，可知由定理2（有界性）.}{}{必有界收敛，则若数列nnxx.数列有界不一定收敛.})1{(:有界但它却发散例如n证，，由定义，取设1limaxnn,1,axNnNNn则aaaxaaxxnnn1从而.}1,,,max{1MxNnaxxMNN，有，则令.}{}{发散无界，则若数列nnxx.,5,41,3,21,1:}{1)1(无界且发散例如：nn推论2推论1.,0}{MxNnMxnn都有，对有界.,0}{MxNnMxknkn有，无界证明之前函数有界性的概念.0lim,0lim}{nnnnnnyxyx则有界，又有若数列证．时，有当又nnnyNnNNy00,,0,0lim推论3.,0}{MxNnMxnn都有，对有界.0lim,,00nnnnnnyxMyMyxNnNN．时，有当对定理3（保号性）.00）（或时，都有，当整数nnxxNnN证.-,,0limaxNnNNaxnnn时，有当.020;020axaaxann时，当时，当推论)(.00用反证法证明）（或那么aa，那么存在正或且若)0(0,limaaaxnn,2a2a2a2aaxaaxnn，从而，有取,lim00}{axxxxnnnnn），且（或从某项起有若数列子数列的概念.,,,,,,:}{21为原数列的子数列这样得到的一个数列成原数列中的先后次序并保持它们在中，任意抽取无限多项在数列nnxxxx定义,,,,:}{21kknnnnxxxx表示为121,kkknnnnNn且其中：.}{}{的一个子数列为nnxxk.,}{}{knnxkxxnkknnnkkk显然项第中是项，在原数列中的第在子列表示定理4.}{}{}{kaxxaxnnn都收敛于的任一子列收敛于数列证.,,0limaxNnNNaxnnn时，当,NknNKkNKknkk时，必有，当取，.limaxaxkknkn推论.}{}{发散不相等，则数列两个子列都收敛但极限的某一个子列发散或某若数列nnxx此推论常用于证明某个数列是发散的！例如数列})1{(n四、数列极限的运算法则则，若,limlimbyaxnnnn；，；（；（）（)00(limlimlim)3(limlim)lim)2(limlim)lim1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnybbayxyxbayxyxbayxyx注：前两项可推广到有限个收敛数列的情形！.)21(lim222nnnnn求,lim2lim1lim222nnnnnnn.0000无穷多个收敛数列这是错误的.222221lim)21(lim:nnnnnnnn正确做法.21211lim2)1(lim2nnnnnn例5]121sin[lim)1(22nnnnn求)1(lim)2(nnnn求练习P26第1题（5）（6）（8）第3题第5题（3）（4）P27第6题P45第1题（11）（13）第4题作业