导数中涉及指数和对数的模型

高考冲刺重点解析数数学学在历年的导数考题中，常涉及ex,lnx等指、对数形式.在求导运算过程中，出现ex与含x多项式或lnx与含x多项式混杂情形，导致后续讨论的复杂化.笔者经仔细研究近几年全国卷试题，发现此类问题可通过化归变成几种模型，再求解.现整理如下，供参考.g(x)+h(x)ex或g(x)+h(x)e-x化归成f(x)ex或f(x)e-x例1已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点，求a的取值范围.解析由函数有两零点，且显然x=1不为零点得，即f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2=0，则有(x-2)ex(x-1)2=-a.记g(x)=(x-2)ex(x-1)2,x∈()-∞,1⋃()1,+∞，则g′(x)=(x-1)3ex-2(x-1)(x-2)ex(x-1)4=[](x-2)2+1ex(x-1)3.则x∈()1,+∞,g′(x)0,g(x)为增函数；x∈()-∞,1,g′(x)0,g(x)为减函数.且x→1,g(x)→-∞;x→-∞,g(x)→0.由x2,g(x)0作图:y=g(x)与y=-a.Oxy3211234-1-2-3-1-2又直线y=-a与函数y=g(x)有两交点，故-a0，即a0.点评此题的官方标准答案是直接求导进行讨论，讨论过程相当复杂；而本题通过转换函数的形式，化归成f(x)ex型的函数，则变得相当简洁.一般地，由于[]f(x)ex′=()f′(x)+f(x)ex，[]f(x)e-x′=()f′(x)-f(x)e-x，其中f(x)为多项式函数，其导数脱离了多项式与ex,e-x的纠缠，大大简化了计算，涉及此类问题的恒成立、存在性问题与零点问题，转化成此种形式，不失为一种有效方法.h(x)+g(x)lnf(x)化归成lnf(x)+k(x)例2已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).（1）当a=4时，求曲线y=f(x)在()1,f(1)处的切线方程;（2）当x∈()1,+∞时，f(x)0，求a的取值范围.解析（1）略.（2）由f(x)0得，(x+1)lnx-a(x-1)0⇒lnx-a(x-1)x+10,x1.记g(x)=lnx-a(x-1)x+10,x∈()1,+∞，故只需g(x)0.则g′(x)=1x-2a()x+12=x2+2()1-ax+1x()x+12=[]x-()a-12+2a-a2x()x+12,x∈()1,+∞.记h(x)=[]x-()a-12+2a-a2.①当a≤2时，导数中涉及“ex,lnx”的模型◎黄旭东（黄石一中）36高考冲刺重点解析数数学学则a-1≤1,h(x)为增函数.则g′(x)=h(x)x()x+12≥h(1)x()x+12=4-2ax()x+12≥0.故g(x)在(1,+∞)上为增函数，则g(x)g(1)=0.故lnx-a(x-1)x+10成立.②当a2时，g′(x)=x2+2()1-ax+1x()x+12=éëêùûúx-æèöøa-1+a2-2a⋅éëêùûúx-æèöøa-1-a2-2ax()x+12.又a-1-a2-2a=1a-1+a2-2a12-1+0=1,a-1+a2-2a1，则x∈æèöø1,a-1+a2-2a,g′(x)0.则g(x)g(1)=0.这与g(x)g(1)=0恒成立相矛盾.综上所述，a∈(]-∞,2,f(x)0.点评对形如h(x)+g(x)lnf(x)结构的函数（其中h(x),g(x),f(x)为多项式函数），由于求导过程中lnx与多项式函数不能分开，特别是含参数时，问题的讨论将变得十分复杂.而除以g(x)化归成“lnf(x)+k(x)”型后，由()lnf(x)+k(x)′=f′(x)f(x)+k′(x)，则其导数只含多项式函数，大大简化运算!“ex+g(x)lnf(x)”混合型，指对数分离最值化归例3设函数f(x)=aexlnx+bex-1x，曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线为y=e(x-1)+2.（1）求a,b；（2）证明：f(x)1.解析（1）a=1,b=2（过程略）.（2）f(x)=exæèöølnx+2ex1⇔xlnx+2exe-x,x∈()0,+∞.记g(x)=xlnx+2e,x0,则g′(x)=1+lnx,x0.故x∈æèöø0,1e,g′(x)0,g(x)为减函数；x∈æèöø1e,+∞,g′(x)0,g(x)为增函数.故g(x)min=gæèöø1e=1e.又记h(x)=xe-x,x0，则h′(x)=()1-xe-x,x0.故x∈()0,1,h′(x)0,h(x)为增函数;x∈()1,+∞,h′(x)0,h(x)为减函数.则h(x)max=h(1)=1e.∴g(x)≥h(x)，即xlnx+2e≥xe-x.又由于g(x)与h(x)的最值点不在同一点取得，故等号不成立，即xlnx+2exe-x，故f(x)1.点评对于形如ex+g(x)lnf(x)的函数，求导后会出现ex,lnf(x)混合交叉的形式，给我们讨论函数的单调性制造障碍.在求恒成立题目时，可将指、对数分离，化成一边为指数，一边为对数，再利用g(x)≤f(x)恒成立⇔g(x)max≤f(x)min来操作.此种方法对一些结构混杂形的试题效果较好，其本质是放缩确界比较法，由于两边自变量x的一致性，放缩尺度不好控制，故此法只针对混杂形结构的复杂函数，一般函数不要轻易运用.练习练习1.已知函数f(x)＝x2+ax+b，g(x)＝ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y=4x+2.（1）求a，b，c，d的值（2）若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围.2.已知f(x)=a(x-1)lnx+1,a∈R.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若x∈()1,+∞,f(x)x-alnx恒成立，求a的范围.3.求证:x∈()0,+∞时，ex-x-lnxx-120.参考答案参考答案1.（1）a=4，b=2，c=2，d=2（2）k∈[]1,e22.（1）略（2）a∈[)1,+∞3.略37