复变函数2-3

上页下页铃结束返回首页1§2.3初等多值函数1、幂函数与根式函数的映射性质2、指数函数与对数函数的映射性质3、一般幂函数与一般指数函数4、具有多个有限支点的情形5、反三角函数和反双曲函数6、小结与思考上页下页铃结束返回首页2定义2.8(单叶函数）设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不同的两点z1及z2都有f(z1)≠f(z2),则称函数f(z)在D内是单叶的.并且称区域D为f(z)的单叶性区域.显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z)就是D到G的一一变换.f(z)=z2不是C上的单叶函数.f(z)=z3是C上的单叶函数上页下页铃结束返回首页31、根式函数定义2.9若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为：nwzi.e.根式函数为幂函数z=wn的反函数.nwz(1)根式函数的多值性.000nzw20||kinnnkkzwzze0,1,1knargzz的主辐角)1(的整数是大于nzwn上页下页铃结束返回首页4(2)分出根式函数的单值解析分支.20kinnnnkkkizwzrere1)多值的原因2arg2=0,1,1kkzkknnn12010nniiwrewre2222niwre2(1)11nnnniwre2kknkiwre上页下页铃结束返回首页52)解决的办法.限制z的辐角的变换，使其辐角的改变量argz2理论上的做法：从原点O起到点∞任意引一条射线将z平面割破，该直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边界的区域，记为G)上，argz2，从而可将其转化为单值函数来研究常用的做法：从原点起沿着负实轴将z平面割破：zxozyG上页下页铃结束返回首页6()2()zkinnnkkwzrze结论：从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数nwz分成如下的n个单值函数：定义域为:22kGkkwk在Gk上解析,且1nknkkzwznznnknnkTk22:值域上页下页铃结束返回首页72、对数函数1.定义:(0),Lnwezzwzwz若则称为对数函数记为:说明：w=Lnz是指数函数ew=z的反函数Lnz一般不能写成lnzLnzez2.计算公式及多值性说明：ivuwrezi,设上页下页铃结束返回首页8=,2()uervkkE=ln(),2()urvkkEArgz实对数Lnln(2)()wzrikkELnln||zziArgz由于Argz的多值性导致w=Lnz是一个具有无穷多值的多值函数规定：为对数函数Lnz的主值于是：Lnln2()wzzkikEzizirzarglnlnlniivuwreezeLnzw上页下页铃结束返回首页9.Ln,,的一个分支称为上式确定一个单值函数对于每一个固定的zk特殊地,.,lnlnLn,0是实变数对数函数的主值时当xzzxz上页下页铃结束返回首页10例4解.)1(Ln,2Ln以及与它们相应的主值求,22ln2Lnik因为ln2.Ln2的主值就是所以)1(Arg1ln)1(Lni因为)()12(为整数kik.1)Ln(i的主值就是所以注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.上页下页铃结束返回首页11例5解.031iez解方程,31iez因为)31(Lniz所以kii2331lnki232ln),2,1,0(k上页下页铃结束返回首页12例6解).3(Ln)3();33(Ln)2();32((1)Ln:ii求下列各式的值)32((1)Lni)32(Arg32lniii.223arctan13ln21ki),2,1,0(k上页下页铃结束返回首页13.6232lnki),2,1,0(k)3(Ln)3()3(Arg3lni.)12(3lnik),2,1,0(k)33(Ln)2(i)33(Arg33lniiiki233arctan32ln上页下页铃结束返回首页142.性质2121LnLn)(Ln)1(zzzz2121LnLnLn)2(zzzz且处处可导和其它各分支处处连续主值支的复平面内包括原点在除去负实轴,,,)()3(.1)ln(,1)(lnkzzzz上页下页铃结束返回首页153.分出w=Lnz的单值解析分支从原点起沿着负实轴将z平面割破,可将对数函数w=Lnz分成如下无穷个单值解析分支：Lnln(2)0,1,2,3,kkwzrikk定义域为:2Im2kBkvzk值域wk在Gk上解析,且1Lnkkwzz:22kGkk上页下页铃结束返回首页163、一般幂函数与一般指数函数1.一般幂函数Ln11=(0,,)zaazweza定义为复常数称为z的一般幂函数2.一般指数函数Ln12=(0,,)zazawea定义为复常数称为z的一般指数函数上页下页铃结束返回首页17对于Lnbbaae.,)2arg(lnLn也是多值的因而是多值的由于bakaiaa,)1(为整数时当bLnabbea)]2arg([lnkaiabeikbaiabe2)arg(ln,lnabe.具有单一的值ba上页下页铃结束返回首页18,0),()2(时为互质的整数与当qqpqpb)]2arg([lnkaiaqpbeaqpikaqpiaqpee2argln,个值具有qab.)1(,,2,1,0时相应的值即取qk上页下页铃结束返回首页19特殊情况:,)()1时正整数当nbna.aaa)(个因子n,)(1)2时分数当nbLn11anneankainkaean2argsin2argcosln1上页下页铃结束返回首页20nkainkaan2argsin2argcos1,na.)1(,,2,1,0nk其中;,bzwza就得到一般的幂函数为一复变数如果.,11nnnnzzwwzzwnnb的反函数及数就分别得到通常的幂函时与当上页下页铃结束返回首页21例7.12的值和求ii解Ln1221e22ike)22sin()22cos(kik.,2,1,0k其中iiieiLnikiie22ke22.,2,1,0k其中上页下页铃结束返回首页22例8.)(1的辐角的主值求ii解)Ln(1)1(iiieiikiie242ln21.,2,1,0k其中)]1(Arg1ln[iiiie2ln2124ike2ln21sin2ln21cos24iekln2.21)(1的辐角的主值为故ii上页下页铃结束返回首页232.幂函数的解析性,)1(的在复平面内是单值解析幂函数nz.)(1nnnzz.,)2(1个分支具有是多值函数幂函数nzn它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,nnzz1zneLn1.111nzn上页下页铃结束返回首页24它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,,)1((3)也是一个多值函数两种情况外与除去幂函数nnbzwb.)(1bbbzz.,是无穷多值的为无理数或负数时当b上页下页铃结束返回首页255、反三角函数和反双曲函数1.反三角函数的定义.cosArc,,coszwzwwz记作的反余弦函数为那么称设,2cosiwiweewz由,0122iwiwzee得,12zzeiw方程的根为两端取对数得).1Ln(cosArc2zziz上页下页铃结束返回首页26同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:),1Ln(Arcsin2ziziz.11Ln2Arctaniziziz2.反双曲函数的定义),1Ln(Arsinh2zzz反双曲正弦),1Ln(oshAr2zzzc反双曲余弦.11Ln21Artanhzzz反双曲正切上页下页铃结束返回首页27例9解).32tan(Arci求函数值)32tan(Arci)32(1)32(1Ln2iiiii53Ln2iikii231arctan52ln2.31arctan212152ln4ki.,2,1,0k其中上页下页铃结束返回首页286、小结与思考复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:1.分成单值解析分支的方法2.负数无对数的结论不再成立