2-2初等函数

上页下页铃结束返回首页1§2.2初等函数1、指数函数3、双曲函数4、小结与思考2、三角函数上页下页铃结束返回首页21、指数函数1.1指数函数的定义::)(个条件在复平面内满足以下三当函数zf;)((1)在复平面内处处解析zf);()((2)zfzf).Re(,)(,0)Im((3)zxezfzx其中时当)sin(cosexp,yiyezzx记为的指数函数此函数称为复变数上页下页铃结束返回首页3指数函数的定义等价于关系式:)(,2)(expArg,|exp|为任何整数其中kkyzezx.exp来表示可以用指数函数zez)sin(cosyiyeexz.exp,的符号只是代替没有幂的意义注意zez上页下页铃结束返回首页4(cossin)zxiyxeeeyiyexp(cossin)xzeyiy也可表示为1.1指数函数的定义:z将此函数称为复变数的指数函数.定义2.4对于任何复数z=x+iy,规定,(cossin)zxeeyiy注:没有幂的意义是一个符号,代表上页下页铃结束返回首页51.2指数函数的性质z(2)||0,arg()e0Arg()2,Zzxzzeeeyeykkz(3)e)=;zzee在复平面内处处解析,且((1)Im()0,,()xzzxRfze当即时(4).加法定理1212()zzzzeee(5)ez是以2i为基本周期的周期函数6lim,zzee()极限不存在即无意义上页下页铃结束返回首页6(4)证明加法定理1212()zzzzeee证,,222111iyxziyxz设12zzee左端121122(cossin)(cossin)xxeyiyeyiy)]sincoscos[(sin)]sinsincos[(cos2121212121yyyyiyyyyexx)]sin()[cos(212121yyiyyexx12().zze右端上页下页铃结束返回首页7因为：当z沿实轴趋于+∞时ez∞;当z沿实轴趋于-∞时,ez0.6limzze()极限不存在的说明22.zkizkizeeee首先5ze()的周期性的说明,:zzwzwezee其次是的一个周期,则对0,0:11waibwaibzeee特别取1,rg122awebaikki上页下页铃结束返回首页8例1　　的周期求函数.)(5zezf解,2ikez的周期是5)(zezfikze25510ikze　　的周期是故函数.10)(5ikezfz),10(ikzf上页下页铃结束返回首页9例2);Re()3(;)2(;)1(,122zzzieeeiyxz求设解)sin(cosyiyeeexiyxz因为.cos)Re(,yeeeexzxz实部所以其模zie2)1()(2iyxie,)21(2yixe;22xziee2)2(ze2)(iyxe,222xyiyxe;222yxzee补充例1.的实部与虚部试确定zee例2解可能不成立。举例说明等式2121)(zzzzee则设,2/1,21ziz,)1()()(2/12/121ieeizz.2/21ieeizz.)(2121zzzzee上页下页铃结束返回首页102、三角函数2.1三角正弦与余弦函数,sincosyiyeiy因为,sincosyiyeiy将两式相加与相减,得,2cosiyiyeey.2sinieeyiyiy现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.上页下页铃结束返回首页11cos,2izizeez余弦函数为:s2in.izizeeiz正弦函数为定义2.5对任意的复数z,规定z的性质:(1)sinsin,coscos.zxRzxzx当时:是实三角函数(2)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数..sin)(cos,cos)(sinzzzz上页下页铃结束返回首页12(3)sin,cos.zz是奇函数是偶函数.cos)cos(,sin)sin(zzzz遵循通常的三角恒等式，如12121212121222cos()coscossinsin,()sin()sincoscossin,sincos1.zzzzzzazzzzzzzz12121212()()122n=.2siizzizzizizizizeeeeeezizi1122112222.22izizizizizizizizeeeeeeeeii1212sincoscossinzzzz上页下页铃结束返回首页13,时为纯虚数当yiz,cosh2cosyeeyiyy.sinh2sinyiieeyiyycos()coscoshsinsinh,()sin()sincoshcossinh.xyixyixycxyixyixycos()coscossinsin,()sin()sincoscossin.xyixyixyibxyixyixyi特别地：有iyxz上页下页铃结束返回首页14121212121212cos()coscossinsin,()sin()sincoscossin,zzzzzzazzzzzz由如下公式可得：22cos(2)cossin;sin(2)2sincos;()cos()cos,sin()sin;cos(2)cos,sin(2)sin;sin()cos,sin()cos.22zzzzzzczzzzzzzzzzzz上页下页铃结束返回首页15例3.5sin)(的周期求zzf解,sin)2sin(zz因为,5sin)25sin(zz所以525sin)25sin(zz又因为,5sin525sinzz所以.525sin)(的周期是故zzf.cos)2cos(,sin)2sin(zzzz(4)sincos2.zz和都是以为周期的函数上页下页铃结束返回首页16,sin,cos.2yyeeyyiyii当时注：这是与实变函数完全不同的sinz的零点(i.e.sinz=0的根)为z=ncosz的零点(i.e.cosz=0的根)为z=(n+1/2)n=0,1,2,···,n,···2sin00izizizizeezeie21izeznnZ(5)(6)sinz,cosz在复数域内均是无界函数上页下页铃结束返回首页17（6）：在复数域内不能得到例如z=2i时，有1|sin|,1|cos|zz,22sin,122cos2222ieeieei上页下页铃结束返回首页182.2其他复变数三角函数的定义,cossintanzzz正切函数,sincoscotzzz余切函数,cos1seczz正割函数.sin1csczz余割函数上页下页铃结束返回首页19它们在平面上使分母不为零的点处解析，且正切和余切的周期为，正割与余割的周期为zctgzzztgzzzctgztgzcsccsc,secseccsc,sec222正切、余切、正割及余割的性质上页下页铃结束返回首页203.1.双曲函数的定义cosh,2zzeez双曲余弦sinh,2zzeez双曲正弦shtanh.chzzzzzeezzee双曲正切3、双曲函数chcoth.shzzzzzeezzee双曲余切1sechchzz双曲余割1coth.chzz双曲正割3.2.双曲函数的性质.,的定义完全一致函数它与高等数学中的双曲时为实数当xz上页下页铃结束返回首页21实双曲函数的定义cosh,2xxeex双曲余弦sinh,2xxeex双曲正弦shtanh.chxxxxxeexxee双曲正切3、双曲函数chcoth.shxxxxxeexxee双曲余切1sechchxx双曲余割1coth.chxx双曲正割上页下页铃结束返回首页22.cosh,sinh,是偶函数是奇函数容易证明zz它们的导数分别为,cosh)(sinhzz并有如下公式:coshcos,ziz.sincoshcossinh)sinh(,sinsinhcoscosh)cosh(yxiyxyixyxiyxyix它们都是以为周期的周期函数,i2 (cosh𝑧)′=sinh𝑧.sinhsin.ziiz上页下页铃结束返回首页23例4.)1(cos的值求i解2)1cos()1()1(iiiieei211iiee)]1sin1(cos)1sin1(cos[211ieie1sin)(211cos)(2111ieeee.1sinh1sin1cosh1cosi上页下页铃结束返回首页24例5)(2,sin)sin(zz,Zkkz则必有若对任意复数解因而由假设，有,sin)sin(zwz)(2,0)2cos(2sinZkkz故必有上页下页铃结束返回首页254、小结与思考复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:1.指数函数具有周期性)π2(i周期为2.三角正弦与余弦不再具有有界性3.双曲正弦与余弦都是周期函数上页下页铃结束返回首页26思考题实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?上页下页铃结束返回首页27思考题答案两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的,而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式.最大的区别是,实变三角函数中,正余弦函数都是有界函数,但在复变三角函数中,.1cos1sin不再成立与zz放映结束，按Esc退出.