有限元基本概念

有限元基本概念简介一、有限元的基本概念•有限元方法的分类•有限元位移法的基本概念依据求解问题的路径不同，有限元方法大致可分为：位移法：以位移为基本未知量力法：应力为基本未知量混合法：部分以位移；部分以应力为基本未知量①将连续的弹性体离散将无限自由度问题简化为有限的自由度问题②选择表示一个单元内连续位移的试函数，并根据插值理论将单元内的位移用节点位移表征，也可以说通过一定的分析，将试函数中的待定参数变为单元节点位移，显然如果求出节点位移就可以得到单元内部各点的位移进而求出单元内各点的应力及应变。③利用李兹法建立基于节点位移试函数下的结构势能并利用泛函求极值的方法，即最小势能原理建立关于节点力与节点位移间的关系。④利用节点力平衡的条件将所有的单元集合成总的港督矩阵，形成代数方程组。实际上就是建立单元刚度矩阵：总刚度矩阵：总节点位移列阵：总节点载荷向量：⑦将求得的节点位移带入前面选择的单元位移函数中，求得单元内各点的位移、应变及应力。⑤根据边界条件进行约束处理⑥求解代数方程组得到节点位移。在有限元中：不同的问题节点位移自由度不同，对应节点力不同，单元的刚度矩阵不同；同样问题位移函数不同，单元刚度矩阵也不相同。•常见的单元类型①一维单元单元的形状是一条直线，每个单元有两个节点（在两端），或者内部设置节点的单元。一般对应杆系结构，或柔索结构。杆系结构：单一拉压杆件、两个方向的弯曲杆件、弯曲及扭转杆件等；柔索结构：考虑轴向拉伸具有较小抗弯及抗扭刚度的结构。②二维单元二维单元的形状及种类有：三角形、矩形及任意四边形。每种形状的单元节点数可以是各边交点形成的节点，也可以在各边中或单元内部增加节点，以便提高计算的精度。三节点六节点七节点可用于：平面问题、薄板弯曲问题等矩形单元任意四边形六节点曲边三角形等参元八节点曲边四边形等参元③三维单元一般用于空间实体问题常见最常见的空间实体单元有：四节点四面体单元、八节点六面体单元同样为了提高精度，可以在每个棱边上或单元内增设节点，成为精度更高的单元。四节点四面体单元八节点长方体单元曲面四面体单元二十节点曲面六面体单元三角形截面四边形截面总结：位移有限元理论求解的基本思路①假设单元的位移函数；将单元内部位移函数用节点位移表示；将单元内形变用节点位移表示；将单元内应力用节点位移表示；③应用李兹法求出单元刚度矩阵②单元内部各物理量用节点位移表示④利用节点力的平衡方程式得总刚度矩阵⑤利用虚功原理将单元内及边界上的分布力等效至节点上。⑥求解•设定单元位移函数时常使用的插值多项式①插值函数使用的原因用多项式在一些点上的已知函数值，插值近似表示该多项的方法，称之为插值函数方法。而常用代数多项式作为近似连续函数，称此多项式为插值多项式。②多项式插值方法的分类分两类：a.只要求插值多项式本身在插值点上取已知的函数值；b.不仅要求插值多项式本身在插值点上取已知的函数值；而且要求插值多项式在插值点上取已知的函数值导数值。拉格朗日插值埃尔米特插值③拉格朗日的插值方法为了避免求解n+1阶线性代数方程组的麻烦，采用以下插值方法：构造一个特殊的插值多项式：其中：为n次多项式显然：此时满足条件：且的线性组合仍然是n次多项式，可见就是要求的为保证条件成立，得：可令：根据上述条件拉格朗日插值多项式拉格朗日插值函数可表示为：④艾尔米特插值拉格朗日插值的缺点：插值函数在基点的导数要通过插值函数的表达式来进行计算，而一阶艾尔米特插值则把基点的导数直接取为插值的条件。设函数在n个互不相同点上的取值为：导数取值为：寻找一个插值多项式使它在所有的插值点上均满足：艾尔米特插值构造原理由于插值点上给定共2n个值，因此可以确定2n-1多项式与拉格朗日多项式求解方法一样，可以用函数在n个基点上的值及导数值与2n个多项式线性组合而成。其中：经推导：其中：单元位移的一般表达形式：选定单元的类型和位移函数之后，我们可将单元位移表示为以单元节点位移为插值点的插值函数，并用矩阵表示之。单元中任意点的位移：其中：——形函数——单元节点位移弹性体位移有限元的基本表达关键问题有两个：位移函数的选取、单元刚度矩阵的求解其中：几何矩阵的一般表达形式：根据物理方程——应力与应变的关系：其中：——初应力向量；——材料的弹性矩阵；刚度方程的基本表达形式——推导思路①写出用矩阵形式表达的弹性体单位体积总势能；②写出整个单元的总势能，进而得出整个结构总势能；③根据变分原理，总势能一阶变分=0；得出单元刚度矩阵单元刚度矩阵求解的基本形式体积力面积力直接作用于节点集中力以及作用于单元上的集中力外部载荷向量的分析：一般结构受到的力：分别表示为：为此可采用下式表达力函数：体积应变能一般表达：单元的总势能一般表达：M个单元的总势能：考虑：根据变分原理，一阶变分等于零结构总势能：结构总的力函数可表示为：得到下列线性代数方程组：单元的总刚度矩阵由单元刚度矩阵组成：等效节点力：单元初始应力对应的等效节点力体积力引起的等效节点力面积力引起的等效节点力集中引起的等效节点力上述结构一阶变分=0得到的线性代数方程组又可表示为：其中等效节点力：对于集中作用外力我们可详细的将其分成两种：①直接作用于节点上的外力,可在方程中加入该力②作用于单元内部的外力——此时我们也要求出其相应的等效节点力，该等效力具有单元的意义。值得注意的是：节点力的等效处理过程中：我们使用了形函数，由于形函数是我们假设的近似函数，所以等效的过程是一个近似计算的过程。边界条件的处理边界条件处理的必要性：总刚度矩阵为奇异矩阵，要将边界的条件代入消除奇异性。从位移边界而言一般有几种类型的边界条件：①指定某些节点具有不变的确定性位移；②某些点上的位移=零③某节点为弹性边界——节点的反力与节点位移具有线性或非线性的关系。数学处理上一般采用的数学手段：当某一位移等于零时，如当某一位移为指定位移时，如可采用乘大数方法当某一点弹性支持时，可采用直接修正对应节点所在行的对角线上的刚度系数方法。如在i节点上有弹性约束：对应支座反力与位移的关系为：空间梁单元的节点位移、节点力、位移函数、及刚度矩阵。（1）空间杆单元单元位移：u表征杆件应变的物理量为节点位移个数：每个节点6个位移个数，节点力的个数：每个节点6个节点力。两节点单元共有12个自由度（2）空间梁单元空间梁单元的位移：位移函数的选取：且12个待定参数，利用节点位移进行插值求解表征其变形的几何方程特性的物理量：单元刚度矩阵：不考虑横向剪切影响：（3）平面问题的有限元节点位移与节点力mmjjiimjieuuuuvuoyxmijvmumvjujviui位移函数式中：将三节点i,j,m坐标代入（1）式：将单元内部位移用节点位移表示之—广义坐标系654321100000011000000110000001mmmmjjjjiiiimmjjiiyxyxxxyxyxyxvuvuvu666161eAeA1mjimjimjimjimjimjicccbbbaaacccbbbaaaA000000000000000000211简记为：其中：（3）位移矩阵为三角形i,j,m面积（4）得节点位移与插值函数的乘积之和——形函数矩阵或位移矩阵单元应变(几何矩阵）用弹性理论平面应力问题的几何方程式，可得单元应变：或：式中：几何矩阵用节点位移表达的单元应变单元应变（用节点位移表示的单元应力）根据虎克定律的矩阵表示式应力矩阵单元刚度矩阵（表示节点位移与节点力关系矩阵）求解单元刚度矩阵的方法：虚功原理eeeKFeTeeFW~~eB~~TeVtdxdy~eeVWe~~基本公式：给节点虚位移：e真实应变：eB即：节点力在虚位移上所作的虚功=虚位移引起单元内部的虚应变能单元上真实的节点位移：真实应力：eDB相应的虚应变：节点力在虚位移上所作的虚功：虚位移引起单元内部的虚应变能eVWe~~TeeFTTeeBDBtdxdyTTeeBDBtdxdy进行比较得：TTeKtBDBdxdytBDBmjismjirbbcccbbcbccbccbbEtKsrsrsrsrsrsrsrsrrs,,,,21212121)1(42式中单元刚度矩阵：eKTeeeeFBDBtdxdyK将[B]、[D]代入上式：iiijimejijjjmmimjmmKKKKKKKKKK分割子矩阵TrssrKKiijjKK、对称、奇异、稀疏矩阵§8-5结构刚度矩阵本节通过单元节点的力的平衡关系来建立结构的平衡式，包括结构刚度矩阵的建立。取出节点i，列出x,y方向力的平衡方程式：(1)(2)(1)(2)immjjmnnii该结构共有两个单元，外力只作用于i节点之上。对于其它节点同样可列出相应的方程式。将这些方程式合并一齐用矩阵表达，形成整个结构的节点力平衡方程。其形式如下：FPiF外力列阵，每一个节点有2行。应包括：直接作用在节点上的外力、支座反力及等效节点力。P各单元因节点发生可能位移而产生的节点力之合。可由各单元刚度矩阵依对号入座方式形成其中：nininnnjnninijiinjnjpPPPKKKKKKKKKKKKKKKK21212121222221111211式中[Kij]为单元刚度阵的子矩阵，上式可简记为：PKnnnn121222[K]—结构总刚度矩阵具有n个节点的结构,总节点力平衡方程式为：注意：总刚度矩阵具有与上章所述相同的性质。对称性、稀疏性、奇异性。行列个数2n§8-6外载荷处理单元中分布力的移置单元上受到的体积力与面积力等效到节点上力的计算（1）单元上体积力的等效计算计算原则虚功原理。当两个力系在同一个可能发生的虚位移上所做的虚功相等时，这两个力系静力等效。设：三角形平面单元受均匀分布力，其合力Q作用于形心处mPjPiP1iTxiyixjyjxmymPPPPPPPePWW131iPQ3ijmQPPPQ外力作用下：给节点i单位的虚位移：有：•单元位移函数及位移函数的选取①单元位移函数坐标系两种坐标系：自然坐标系、广义坐标系自然坐标系：指无因次的，坐标变化范围在±1之间的坐标系。又称面积坐标广义坐标系：一般笛卡尔坐标系、极坐标系柱坐标系。自然坐标系与广义坐标系的关系：可从广义坐标系下的位移推得自然坐标系下的位移。以平面问题为例加以说明：广义坐标系下，二维单元的位移函数可表示为：为了保持几何不变性，选取多项式时要保持其完整性。参照帕斯卡三角形选取多项式。帕斯卡三角形多项式的项数——广义坐标的数目，取决于单元的自由度，一般是相等的。自然坐标下，二维单元的位移函数可直接表示为：节点位移与插值函数的乘积之和。形函数：由于插值函数反映了单元位移的形态所以又被称为形函数。——单元的节点位移向量；——形函数矩阵；n——单元节点个数；•单元位移函数收敛必须满足的三个条件①连续性相邻单元无分离、无重叠②完整性位移函数含有：常位移项及常应变项③几何各向同性单元位移函数不因坐标变化而发生改变也就是保持对坐标的对称性。协调元与完