数列证明题型总结(教师版)附答案

1/18一、解答题：1．在数列{}an中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(Ⅰ)设bn＝an2n－1，证明：数列{}bn是等差数列；(Ⅱ)求数列{}an的前n项的和Sn.【答案】(Ⅰ)因为bn＋1－bn＝an＋12n－an2n－1＝an＋1－2an2n＝2n2n＝1所以数列{bn}为等差数列(Ⅱ)因为bn＝b1＋(n－1)×1＝n所以an＝n·2n－1所以Sn＝1×20＋2×21＋…＋n×2n－12Sn＝1×21＋2×22＋…＋n×2n两式相减得Sn＝(n－1)·2n＋12．在数列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋12n＋1.(Ⅰ)设bn＝2nan，证明：数列{bn}是等差数列；(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn.【答案】(Ⅰ)由an＋1＝12an＋12n＋1，得2n＋1an＋1＝2nan＋1bn＋1＝bn＋1，则{bn}是首项b1＝1，公差为1的等差数列．故bn＝n，an＝n2n.(Ⅱ)Sn＝1×12＋2×122＋3×123＋…＋(n－1)×12n－1＋n×12n12Sn＝1×122＋2×123＋3×124＋…＋(n－1)×12n＋n×12n＋1两式相减，得：12Sn＝12＋122＋123＋…＋12n－n2n＋1＝12（1－12n）1－12－n2n＋1＝1－12n－n2n＋12/18Sn＝2－12n－1－n2n3．数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足4Sn＝(an＋1)2(n∈N*)．(Ⅰ)证明：数列{an}是等差数列，并求出其通项公式an；(Ⅱ)设bn＝an＋2an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】(Ⅰ)n＝1时，4a1＝(a1＋1)2⇒a21－2a1＋1＝0，即a1＝1n≥2时，4an＝4Sn－4Sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2＝a2n－a2n－1＋2an－2an－1⇒a2n－a2n－1－2an－2an－1＝0⇒(an＋an－1)[(an－an－1)－2]＝0∵an0∴an－an－1＝2故数列{an}是首项为a1＝1，公差为d＝2的等差数列，且an＝2n－1(n∈N*)(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn＝an＋2an＝(2n－1)＋22n－1∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1＋21)＋(3＋23)＋…＋[(2n－1)＋22n－1]＝[1＋3＋…＋(2n－1)]＋(21＋23＋…＋22n－1)＝n2＋2（1－22n）1－4＝22n＋13＋n2－23＝22n＋1＋3n2－234．数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝an＋1(n∈N*)．(Ⅰ)证明：数列{an}是等差数列，并求出其通项公式an；(Ⅱ)设bn＝an·2n(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】(Ⅰ)由2Sn＝an＋1(n∈N*)可以得到4Sn＝(an＋1)2(n∈N*)n＝1时，4a1＝(a1＋1)2⇒a21－2a1＋1＝0，即a1＝1n≥2时，4an＝4Sn－4Sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2＝a2n－a2n－1＋2an－2an－1⇒a2n－a2n－1－2an－2an－1＝0⇒(an＋an－1)[(an－an－1)－2]＝0∵an0∴an－an－1＝2故数列{an}是首项为a1＝1，公差为d＝2的等差数列，且an＝2n－1(n∈N*)3/18(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn＝an·2n＝(2n－1)·2n∴Tn＝(1·21)＋(3·22)＋…＋[(2n－3)·2n－1]＋[(2n－1)·2n]则2Tn＝(1·22)＋(3·23)＋…＋[(2n－3)·2n]＋[(2n－1)·2n＋1]两式相减得：－Tn＝(1·21)＋(2·22)＋…＋(2·2n)－[(2n－1)·2n＋1]＝2·2（1－2n）1－2－2－[(2n－1)·2n＋1]＝(3－2n)·2n＋1－6∴Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6(或Tn＝(4n－6)·2n＋6)5．已知数列{an}，其前n项和为Sn＝32n2＋72n(n∈N*)．(Ⅰ)求a1，a2；(Ⅱ)求数列{an}的通项公式，并证明数列{an}是等差数列；(Ⅲ)如果数列{bn}满足an＝log2bn，请证明数列{bn}是等比数列，并求其前n项和Tn.【答案】(Ⅰ)a1＝S1＝5，a1＋a2＝S2＝32×22＋72×2＝13，解得a2＝8.(Ⅱ)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32[n2－(n－1)2]＋72[n－(n－1)]＝32(2n－1)＋72＝3n＋2.又a1＝5满足an＝3n＋2，∴an＝3n＋2(n∈N*)．∵an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(n≥2，n∈N*)，∴数列{an}是以5为首项，3为公差的等差数列．(Ⅲ)由已知得bn＝2an(n∈N*)，∵bn＋1bn＝2nn＋12an＝2an＋1－an＝23＝8(n∈N*)，4/18又b1＝2a1＝32，∴数列{bn}是以32为首项，8为公比的等比数列．∴Tn＝32（1－8n）1－8＝327(8n－1)．6．已知函数f(x)＝2xx＋2，数列{an}满足：a1＝43，an＋1＝f(an)．(Ⅰ)求证：数列1an为等差数列，并求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)记Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1，求证：Sn83.【答案】证明：(Ⅰ)∵an＋1＝f(an)＝2anan＋2，∴1an＋1＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12，则1an成等差数列，所以1an＝1a1＋(n－1)×12＝34＋(n－1)×12＝2n＋14，则an＝42n＋1.(Ⅱ)∵anan＋1＝42n＋1·42n＋3＝812n＋1－12n＋3，∴Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝813－15＋15－17＋…＋12n＋1－12n＋3＝813－12n＋383.7．已知数列{an}的前三项依次为2，8，24，且{an－2an－1}是等比数列．(Ⅰ)证明an2n是等差数列；(Ⅱ)试求数列{an}的前n项和Sn的公式．【答案】(Ⅰ)∵a2－2a1＝4，a3－2a2＝8，∴{an－2an－1}是以2为公比的等比数列．∴an－2an－1＝4×2n－2＝2n.等式两边同除以2n，得an2n－an－12n－1＝1，∴an2n是等差数列．(Ⅱ)根据(Ⅰ)可知an2n＝a12＋(n－1)×1＝n，∴an＝n·2n.Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，'①2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.'②①－②得：5/18－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝2（1－2n）1－2－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.8．已知数列{an}的各项为正数，前n项和为Sn，且满足：Sn＝12an＋1an(n∈N*)．(Ⅰ)证明：数列{S2n}是等差数列；(Ⅱ)设Tn＝12S21＋122S22＋123S23＋…＋12nS2n，求Tn.【答案】(Ⅰ)证明：当n＝1时，a1＝S1，又Sn＝12an＋1an(n∈N*)，∴S1＝12S1＋1S1，解得S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，∴Sn＝12Sn－Sn－1＋1Sn－Sn－1，即Sn＋Sn－1＝1Sn－Sn－1，化简得S2n－S2n－1＝1，{S2n}是以S21＝1为首项，1为公差的等差数列．(Ⅱ)由(Ⅰ)知S2n＝n，Tn＝12S21＋122S22＋…＋12nS2n，即Tn＝1·12＋2·122＋…＋(n－1)12n－1＋n·12n.'①①×12得12Tn＝1·122＋…＋(n－1)12n＋n·12n＋1.'②①－②得12Tn＝12＋122＋…＋12n－n·12n＋1＝121－12n1－12－n·12n＋1＝1－12n－n·12n＋1＝1－n＋22n＋1，∴Tn＝2－n＋22n.9．数列{an}满足a1＝1，an＋1·1a2n＋4＝1(n∈N*)，记Sn＝a21＋a22＋…＋a2n.(Ⅰ)证明：1a2n是等差数列；6/18(Ⅱ)对任意的n∈N*，如果S2n＋1－Sn≤m30恒成立，求正整数m的最小值．【答案】(Ⅰ)证明：1a2n＋1－1a2n＝4⇒1a2n＝1a21＋(n－1)×4⇒1a2n＝4n－3，即1a2n是等差数列．(Ⅱ)令g(n)＝S2n＋1－Sn＝14n＋1＋14n＋5＋…＋18n＋1.∵g(n＋1)－g(n)0，∴g(n)在n∈N*上单调递减，∴[g(n)]max＝g(1)＝1445.∴1445≤m30恒成立⇒m≥283，又∵m∈N，∴正整数m的最小值为10.10．已知数列{an}是首项a1＝133，公比为133的等比数列，设bn＋15log3an＝t，常数t∈N*.(Ⅰ)求证：{bn}为等差数列；(Ⅱ)设数列{cn}满足cn＝anbn，是否存在正整数k，使ck＋1，ck，ck＋2成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(Ⅰ)证明：an＝3－n3，bn＋1－bn＝－15log3an＋1an＝5，∴{bn}是首项为b1＝t＋5，公差为5的等差数列．(Ⅱ)cn＝(5n＋t)·3－n3，令5n＋t＝x，则cn＝x·－n3，cn＋1＝(x＋5)·3－n＋13，cn＋2＝(x＋10)·3－n＋23，若c2k＝cn＋1cn＋2，则(x·3－n3)2＝(x＋5)·3－n＋13·(x＋10)·3－n＋23，化简得2x2－15x－50＝0，解得x＝10或－52(舍)，进而求得n＝1，t＝5，综上，存在n＝1，t＝5适合题意．11．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n＋1.(Ⅰ)设bn＝an＋1－an＋2，(n∈N*)，证明：数列{bn}是等比数列；(Ⅱ)求数列{an}的通项an.7/18【答案】(Ⅰ)由已知an＋1＝2an＋2n＋1①得an＋2＝2an＋1＋2n＋3②②－①，得an＋2－an＋1＝2an＋1－2an＋2设an＋2－an＋1＋c＝2(an＋1－an＋c)．展开与上式对比，得c＝2因此，有an＋2－an＋1＋2＝2(an＋1－an＋2)由bn＝an＋1－an＋2，得bn＋1＝2bn，由a1＝1，a2＝2a1＋3＝5，得b1＝a2－a1＋2＝6，故数列{bn}是首项为6，公比为2的等比数列(Ⅱ)由(Ⅰ)知，bn＝6×2n－1＝3×2n则an＋1－an＝bn－2＝3×2n－2，所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋(3×21－2)＋(3×22－2)＋…＋(3×2n－1－2)＝1＋3(2＋22＋23＋…＋2n－1)－2(n－1)an＝3×2n－2n－3，当n＝1时，a1＝3×21－2×1－3＝6－5＝1，故a1也满足上式故数列{an}的通项为an＝3×2n－2n－3(n∈N*)．12．在数列{an}中，a1＝16，an＝12an－1＋12×13n(n∈N*且n≥2)．(Ⅰ)证明：{an＋13n}是等比数列；(Ⅱ)求数列{an}的通项公式；(Ⅲ)设Sn为数列{}an的前n项和，求证Sn12.【答案】(Ⅰ)由已知，得an＋1＋13n＋1an＋13n＝（12an＋12·13n＋1）＋13n＋1an＋13n＝12∴an＋13n是等比数列．(Ⅱ)设An＝an＋13n，则A1＝a1＋1＝16＋13＝12，且q＝12则An＝(12)n，8/18∴an＋13n＝12n，可得an＝12n－13n(Ⅲ)Sn＝(121－131)＋(122－132)＋…＋(12n－13n)＝12（1－12n）1－12－13（1－13n）1－13＝12－12n＋12·13n＝12－2·3n－2n2·6n1213．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)．(Ⅰ)证明：数列{an－n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；(Ⅱ)数列{bn}满足：bn＝n2an－2n(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.【答案】(Ⅰ)证法一：由an＋1＝2an－n＋1可得an＋