实验一-采样率对信号频谱的影响

1实验一采样率对信号频谱的影响1．实验目的（1）理解采样定理；（2）掌握采样频率确定方法；（3）理解频谱的概念；（4）理解三种频率之间的关系。2．实验原理理想采样过程是连续信号xa(t)与冲激函数串M(t)的乘积的过程kskTttM)()((7-13))()()(ˆtMtxtxaa(7-14)式中Ts为采样间隔。因此，理想采样过程可以看作是脉冲调制过程，调制信号是连续信号xa(t)，载波信号是冲激函数串M(t)。显然)()()()()(ˆsksaksaakTtkTxkTttxtx(7-15)所以，)(ˆtxa实际上是xa(t)在离散时间kTs上的取值的集合，即)(ˆsakTx。对信号采样我们最关心的问题是，信号经过采样后是否会丢失信息，或者说能否不失真地恢复原来的模拟信号。下面从频域出发，根据理想采样信号的频谱)(ˆjXa和原来模拟信号的频谱)(jX之间的关系，来讨论采样不失真的条件kssakjjXTjX)(1)(ˆ(7-16)上式表明，一个连续信号经过理想采样后，其频谱将以采样频率Ωs＝2π／Ts为间隔周期延拓，其频谱的幅度与原模拟信号频谱的幅度相差一个常数因子1／Ts。只要各延拓分量与原频谱分量之间不发生频率上的交叠，则可以完全恢复原来的模拟信号。根据式(7-16)可知，要保证各延拓分量与原频谱分量之间不发生频率上的交叠，则必须满足Ωs≥2Ω。这就是奈奎斯特采样定理：要想连续信号采样后能够不失真地还原原信号，采样频率必须大于或等于被采样信号最高频率的两倍hs2，或者hsff2，或者2hsTT(7-17)即对于最高频率的信号一个周期内至少要采样两点，式中Ωh、fs、Th分别为被采样模拟信号的最高角频率、频率和最小周期。在对正弦信号采样时，采样频率要大于这一最低的采样频率，或小于这一最大的采样间2隔才能不失真地恢复信号。对正弦信号采样时，一般要求在一个周期至少采样3个点，即采样频率hsff3。3．实验内容（1）采样率的确定在本实验中要用到正弦信号、余弦信号和矩形波：正弦信号：sin(20πt)；余弦信号：cos(20πt)；矩形波：频率为50Hz、占空比为1的矩形波（2）计算采样后所得序列的频谱①正弦信号在采样率为15Hz、20Hz和50Hz时采样所得序列的频谱；②余弦信号在采样率为15Hz、20Hz和50Hz时采样所得序列的频谱；③矩形波在采样率为100Hz、400Hz和800Hz时采样所得序列的频谱；（3）分析不同信号在不同采样率下频谱的特点4．实验步骤（1）复习并理解时域采样定理；（2）编写Matlab程序计算不同采样率下信号的频谱；（3）调试程序，排除程序中的错误；（4）分析程序运行结果，检验是否与理论一致。5．实验报告要求（1）阐明实验的目的、原理和内容；（2）打印主要程序并粘贴在实验报告中；（3）打印实验结果并粘贴在实验报告中；（4）针对实验结果加以分析和总结。6．思考题（1）对相同频率的正弦和余弦信号，均采用信号频率2倍的采样率采样时所得序列的频谱有何不同？为什么？（2）50Hz的矩形波的采样率为何不能为100Hz？（3）对矩形波，要完全不失真采样率应为多少？一般采样率为信号频率的多少倍时就可近似认为没有失真？例3-5-1试求信号x(t)＝sin(100πt)用采样率为80Hz、100Hz、101Hz、150Hz时采样所得序列的频谱，要求频率分辨率为0.5Hz。解：频率分辨率为0.5Hz，则频域采样点数分别为160、200、202和300。程序如下：deltf=0.5;%频率分辨率Fs1=80;Fs2=100;Fs3=101;Fs4=150;%采样率N1=Fs1/deltf;N2=Fs2/deltf;N3=Fs3/deltf;N4=Fs4/deltf;%采样点数n1=0:N1-1;n2=0:N2-1;n3=0:N3-1;n4=0:N4-1;%采样点x1=sin(100*pi*n1/Fs1);x2=sin(100*pi*n2/Fs2);%采样3x3=sin(100*pi*n3/Fs3);x4=sin(100*pi*n4/Fs4);%采样y1=fft(x1);y2=fft(x2);y3=fft(x3);y4=fft(x4);%快速傅里叶变换y1=y1.*conj(y1)/N1^2;y2=y2.*conj(y2)/N2^2;%计算功率y3=y3.*conj(y3)/N3^2;y4=y4.*conj(y4)/N4^2;%计算功率subplot(2,2,1);plot((0:49)/Fs1,x1(1:50));xlabel('时间/s');ylabel('幅度');axis([00.6-11.5]);text(0.02,1.2,'采样率为80Hz的时域波形');subplot(2,2,2);plot(n1*Fs1/N1,y1);xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度(功率)');text(10,0.32,'采样率为80Hz的频谱');%下面显示波形的程序省略程序运行结果如图3-15所示，信号实际频率为50Hz，现分析如下：①在采样率为80Hz时，频谱中有两个冲激，分别对应30Hz和50Hz，50Hz的冲激与理论一致，30Hz的冲激为采样率(80Hz)与信号实际频率(50Hz)之差，即30Hz冲激其实是下一周期负频率对应的冲激，表明频谱前后周期之间出现了重叠，即混叠；②采样率为100Hz时，时域波形和频谱幅度均极小，近似为0，时域波形杂乱无章，频谱也无规律可言，原因在于，采样率刚好为频率的2倍，所以采样点刚好落在了幅值为0处，故几乎无信号；③采样率为101Hz时，时域波形幅度由0逐渐递增直至达到1，频谱中有两个冲激，一个对应50Hz，一个对应51Hz(两个冲激距离很近)，从时域来看出现了失真，从频域来看，基本没有混叠；④采样率为150Hz时，时域波形与理论波形变化规律一致，但幅度没达到最大理论值1，频谱中有两个冲激，一个对应50Hz，一个对应100Hz，两者关于中心点N/2对称，根据前面的分析可知，100Hz的冲激其实对应于下一周期的负频率的冲激，由于数字频率一般取－π～π(对应于－N/2～N/2)，故100Hz的冲激没有影响。因此，对于正弦信号，采样率低于2fh时将出现频谱混叠。图3-15x(t)＝sin(100πt)不同采样率的时域波形和频谱例3-5-2试求频率为50Hz的矩形波用采样率为400Hz、500Hz、600Hz、1000Hz时采样所得序列的频谱，要求频率分辨率为0.5Hz。解：矩形波是由基频的奇次谐波构成，最高频率为∞，因此无论如何都将产生频谱的混叠。但是随着频率的升高，其幅度衰减很快，因此，只要采样频率达到一定程度，就认为没有失真。在实际处理一些波形时也常采用这一近似。deltf=0.5;%频率分辨率Fs1=400;Fs2=500;Fs3=600;Fs4=1000;%采样率N1=Fs1/deltf;N2=Fs2/deltf;N3=Fs3/deltf;N4=Fs4/deltf;%采样点数4n1=0:N1-1;n2=0:N2-1;n3=0:N3-1;n4=0:N4-1;%采样点x1=square(100*pi*n1/Fs1);x2=square(100*pi*n2/Fs2);%采样x3=square(100*pi*n3/Fs3);x4=square(100*pi*n4/Fs4);%采样y1=fft(x1);y2=fft(x2);y3=fft(x3);y4=fft(x4);%快速傅里叶变换y1=abs(y1);y2=abs(y2);%计算绝对值y3=abs(y3);y4=abs(y4);%计算绝对值figure(1)subplot(2,2,1);stem((0:399)/Fs1,x1(1:400));xlabel('时间/s');ylabel('幅度');axis([00.1-1.51.5]);text(0,1.25,'采样率为400Hz的时域波形');subplot(2,2,2);plot(n1*Fs1/N1,y1);xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度(绝对值)');text(8,550,'采样率为400Hz的频谱');subplot(2,2,3);stem((0:499)/Fs2,x2(1:500));xlabel('时间/s');ylabel('幅度');axis([00.1-1.51.5]);text(0,1.25,'采样率为500Hz的时域波形');subplot(2,2,4);plot(n2*Fs2/N2,y2);xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度(绝对值)');text(8,750,'采样率为500Hz的频谱');figure(2)subplot(2,2,1);stem((0:599)/Fs3,x3(1:600));xlabel('时间/s');ylabel('幅度');axis([00.08-1.51.5]);text(0,1.25,'采样率为600Hz的时域波形');subplot(2,2,2);plot(n3*Fs3/N3,y3);xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度(绝对值)');text(8,750,'采样率为600Hz的频谱');subplot(2,2,3);stem((0:999)/Fs4,x4(1:1000));xlabel('时间/s');ylabel('幅度');axis([00.06-1.51.5]);text(0.02,1.2,'采样率为1000Hz的时域波形');subplot(2,2,4);plot(n4*Fs4/N4,y4);xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度(绝对值)');text(10,1300,'采样率为1000Hz的频谱');现分析如下：①在采样频率为400Hz时，频谱图中出现了比较明显的4个冲激，频率分别对应于50Hz、150Hz、250Hz和350Hz。50Hz为基频，150Hz为3次谐波，250Hz和350Hz对应于下一周期的3次谐波和基频的负频率。显然没有5次谐波及以上的冲激，因为5次谐波频率为250Hz，采样率400Hz小于其2倍，出现了混叠失真；②在采样率为500Hz时，频谱与采样率为400Hz时类似，3次谐波的冲激更加明显，采样率刚好为5次谐波的2倍，但还是没有5次谐波的冲激；③在采样率为600Hz时，与采样率为500Hz时类似，但是在250Hz处出现了冲激(相对幅度较小)，对应于5次谐波；④在采样率为1000Hz时，基频、3次谐波、5次谐波和7次谐波(350Hz)的冲激均很明显，9次谐波(450Hz)并不明显，说明矩形波在7次谐波以上的谐波可以忽略不计了。5图3-16矩形波在不同采样率的时域波形和频谱在实际中有一些典型的采样率，数字电话中的采样率为8KHz，高保真语音采样率为44.1KHz，一般在对语音进行处理时，22.05KHz的采样率和11.025KHz的采样率也经常用到。deltf=0.5;%频率分辨率Fs1=15;Fs2=20;Fs3=50;%采样率N1=Fs1/deltf;N2=Fs2/deltf;N3=Fs3/deltf;%采样点数n1=0:N1-1;n2=0:N2-1;n3=0:N3-1;%采样点x1=sin(20*pi*n1/Fs1);x2=sin(20*pi*n2/Fs2);%采样x3=sin(20*pi*n3/Fs3);%采样y1=fft(x1);y2=fft(x2);y3=fft(x3);%快速傅里叶变换y1=y1.*conj(y1)/N1^2;y2=y2.*conj(y2)/N2^2;y3=y3.*conj(y3)/N3^2;%计算功率subplot(2,2,1);plot((0:49)/Fs1,x1(1:50));xlabel('时间/s');ylabel('幅度');axis([00.6-11.5]);text(0.02,1.2,'采