1.3-高斯定理

§3.高斯定理习题p731-14、15、16、17、202005.2.北京大学物理学院王稼军编写电力线、通量为什么要研究通量、环流？对象变导致一系列深刻的变化——不仅规律的形式，而且规律的性质发生变化研究范畴对象规律规律的性质牛顿力学质点、刚体、连续体可逆决定论热学大量分子构成的群体不可逆性非决定论引入熵概率论表明研究对象变化，规律性质发生变化，会有相应的数学手段的引入如牛顿研究引力的同时提出了微积分2005.2.北京大学物理学院王稼军编写场是一定空间范围内连续分布的客体温度T温度分布——温度场（标量场）流速v流速分布——流速场（矢量场）电荷产生的场具有什么性质？已知电荷可以根据场强定义和叠加原理求场分布已知场分布也可求得其他带电体在其中的运动物理学家不满足于这些，各种各样的电荷的场分布五花八门，只是表面现象，其本质是什么？期望从不同的角度揭示电场的规律性经过探索通过与流体类比找到用矢量场论来描述电场2005.2.北京大学物理学院王稼军编写流速场有源（或汇）、有旋、两者兼而有之0000?0lvSvLSd环流d通量2005.2.北京大学物理学院王稼军编写类比流线——电力线流量——电通量SdEEdSdSEcos的通量通过d物理意义：穿过dS的电力线的根数电通量与电场强度的关系？定义电力线数密度：单位面积内电力线的根数令其等于该处电场强度的大小人为定义EdSdEEdSdNdSdNE''EdS'2005.2.北京大学物理学院王稼军编写任意曲面规定：取闭合面外法线方向为正，则SESdE任意闭合曲面SESdE0,2;0,2EEdd2005.2.北京大学物理学院王稼军编写高斯定理p22立体角定义内SiSEqSdE01通过任意闭合曲面的电通量Gauss面Gauss面上的场强，是所有电荷产生的场面内电量的代数和，与面外电荷无关）球面度(ˆ'22rdrdSdSr2005.2.北京大学物理学院王稼军编写证明：从特殊到一般点电荷q被任意球面包围设q0，场具有球对称性2041rqE020204141qdSrqdSrqEdSSdESSSSE24r一个点电荷所产生的电场，在以点电荷为中心的任意球面的电通量等于0q2005.2.北京大学物理学院王稼军编写点电荷q被任意曲面包围对整个闭合面S有dqrdqrSqdE020204ˆ4'4Sr00044qdqdqdSSSEE4包围一个点电荷的任意曲面上的电通量等于结果与电力平方反比律分不开0q2rf2005.2.北京大学物理学院王稼军编写闭合曲面不包围点电荷闭合曲面不包围点电荷，dS´与dS所对的立体角dd'则电通量也有EE'对于闭合面S’+S，总通量为0E结论：通过不包围点电荷的闭合曲面的电通量为零2005.2.北京大学物理学院王稼军编写多个点电荷被任意闭合曲面包围设带电体系由n个点电荷组成，其中k个在闭合面内，n-k个在闭合面外由场强叠加原理，通过闭合面的总通量为内SiSnSkSkSSEqSdESdESdESdESdE0111=02005.2.北京大学物理学院王稼军编写讨论：Gauss定理说明闭合面内的电荷决定通过闭合面的电通量,只要S内电荷不为零，则通量不为零——有源正电荷——喷泉形成的流速场——源负电荷——有洞水池中的流速场——汇闭合面外的电荷虽然对通量没有贡献，但并不意味着不影响闭合面上的电场，高斯面上的场强是空间所有带电体所产生的高斯定理是静电场的一条重要的定理，有其重要的理论地位，是静电场基本方程之一，它是由库仑定律导出的，反映了电力平方反比律，如果电力平方反比律不满足，则高斯定理也不成立。2005.2.北京大学物理学院王稼军编写静电力是有心力，但高斯定理只给出了源和通量的关系，并没有反映静电场是有心力场这一特性，它只反映静电场性质的一个侧面（下一节还要讲另一个定理——环路定理）所以不能说高斯定理与库仑定律完全等价若不添加附加条件（如场的对称性等），无法从高斯定理导出库仑定理电力平方反比律——高斯定理电荷间的作用力是有心力——环路定理2005.2.北京大学物理学院王稼军编写从Gauss定理看电场线的性质电场线疏的地方场强小，密的地方场强大）管内无电荷(0coscos222111SESEE122211coscosSSEEor＝：－电场线起始于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷远2005.2.北京大学物理学院王稼军编写Gauss定理应用列举定理反映了静电场的性质——有源场提供求带电体周围的电场强度的方法P24－p29球对称的电场轴对称的电场无限大带电平面的电场2005.2.北京大学物理学院王稼军编写球对称的电场p24例题6：求均匀带正电球壳内外的场强，设球壳所带电量为Q，半径为R在球坐标下分析：EEEpEr，，~)(球壳电荷均匀分布，围绕任一直径都是旋转不变——场强分布也不变，但旋转时E和E变——只有E＝0和E＝0只有径向分量Er不为零，r相同Er相同——场呈球对称分布2005.2.北京大学物理学院王稼军编写根据场的对称性做高斯面求出通过Gauss面的通量001QqSdERrSiSE内20244rQEErdSEEdSSS0042EErdSEEdSRrSS结论：球壳内E=0；球壳外与点电荷场相同2005.2.北京大学物理学院王稼军编写P26例题7利用例题6的结果，球外一样在球内任意取半径为r的Gauss面注意计算rR时，高斯面内所包围的电量为体电荷34'3rqe)(41)(413020RrRQrRrrQE2005.2.北京大学物理学院王稼军编写轴对称的电场p27例题8求无限长均匀带电棒外的场强分布在柱坐标下分析作平面П1和П2柱体对П1镜像反射变换是不变的——场分布也不变但此变换下Eφ分量反向，只有Eφ＝0柱体对П2镜像反射变换是不变的——场分布也不变但此变换下Ez分量反向，只有Ez＝0剩下唯一不可能等于0的分量只有Er无限长圆柱体具有沿z方向的平移不变性——等r处Er相等——轴对称性2005.2.北京大学物理学院王稼军编写设棒上线电荷密度为+e作高斯面——以细棒为对称轴的圆柱（l长）求出通过Gauss面的通量001lqSdEeSiSE内rlESdESdESdE2侧面下底上底E⊥dSE是常数rEe0212005.2.北京大学物理学院王稼军编写无限大带电平面的电场设带电板的面电荷密度为+e对称性分析在直角坐标下分析对yz平面，镜像反射变换不变,场也不变——Ex=0对zx平面镜像反射变换不变，场也不变——Ey=0只有Ez不为零，无限大平面自身具有平移不变性，Ez与场点的坐标无关2005.2.北京大学物理学院王稼军编写结论：均匀带电的无限大平面板产生的场强大小与场点到平面的距离无关图示c板间场强为何？EΔS001SqSdEeSiSE内SESdESdESdE2侧面下底上底方向如图,20eE2005.2.北京大学物理学院王稼军编写讨论：以上三例电荷分布分别具有球对称性、轴对称性、面对称性，电荷分布的对称性决定了场的对称性。用Gauss定理可以计算具有强对称性场的场强通量要好算注意选取合适的Gauss面Gauss定理可以和场强叠加原理结合起来运用，计算各种球对称性、轴对称性、面对称性的场。上述三个例子的结论可以作为已知结论运用，例如求两块无限大带电平面板的场分布求均匀带电球体内外的场分布求均匀带电的无限长圆柱内外场分布整体不具有对称性，但局部具有对称性的电荷分布的电场，可以分别求出场强再叠加