ls第7章最优风险资产组合

投资学第7章优化风险投资组合学习内容7.1分散化与投资组合风险7.2两种风险资产的投资组合7.3资产在股票、债券与短期国库券之间的配置7.4马科维茨的投资组合选择模型7.5风险聚集、风险分担与长期资产的风险27.1分散化与投资组合风险投资组合的风险来源：来自一般经济状况的风险(系统风险，systematicrisk/nondiversifiablerisk)特别因素风险(非系统风险,uniquerisk/firm-specificrisk/nonsystematicrisk/diversifiablerisk)33分散化与风险股票数量NumberofSecurities标准方差St.Deviation市场风险(系统风险)MarketRisk独特风险(非系统风险)UniqueRisk图7.1PortfolioRiskasaFunctionoftheNumberofStocksinthePortfolio55图7.2投资组合分散化667.2两种风险资产的投资组合两种风险资产组合的期望——风险模型•1、协方差•2、相关性•3、风险资产组合的风险和收益投资组合的风险和收益•组合期望收益率与投资比例的关系•组合标准差与投资比例的关系•最小方差投资组合•投资组合机会集•投资组合有效集7协方差(Covariance)是用来衡量两种资产的收益率同动程度的指标。如果两种资产的收益率趋向于同增或同减，那么它们间的协方差便为正值。反之便为负值。协方差不能直接用来比较两变量间相关性的强弱，但是，相关系数则可以解决上述因难。相关系数记为ρ，协方差除以(σAσB)，实际上是对A、B两种证券各自平均数的离差，分别用各自的标准差进行标准化。其计算公式为：协方差与相关系数BaBABARRCov.，投资学第7章B收益ρ=1ρ=-1B收益A收益A收益B收益ρ=0A收益不同的相关系数103、两种风险资产的投资组合的方差越大越大，组合又：则有：组成和股票基金由长期债券组合设某一风险资产组合P112),(),(2)()()(P222222222210衡量组合风险大小就不再是组合中单个证券的方差，而是证券的方差的函数，而且还是单个资产与组合中其他资产同动程度的函数。同动程度和相关性是有区别的，虽然均可用相关系数ρ来衡量。当相关系数ρ的绝对值|ρ|越接近1时，那么，两资产的相关性就越强；当|ρ|越接近0时，两资产相互独立。而对同动程度而言，当ρ越接近+1两资产的同动程度则越强。当ρ越接近-1时，两资产的同动程度则越弱。同动程度与相关性表7.2通过协方差矩阵计算投资组合方差1212概念练习:利用协方差矩阵计算组合方差3,32,31,333,22,21,223,12,11,113212p=W1212+W2212+2W1W2rp=W1r1+W2r2+W3r3Cov(r1r2)+W3232Cov(r1r3)+2W1W3Cov(r2r3)+2W2W3Three-SecurityPortfolio1415不同相关系数对风险的影响情况一：的风险并未降低时组合结论：即：则有：，若P)(1221516的风险可降至零时组合结论：令即：则有：，若P)(12216不同相关系数对风险的影响情况二：17低的风险可有一定程度降时组合结论：则有：，若PwwEEDDPDE11117不同相关系数对风险的影响情况三：例题7-1投资组合的风险与收益运用表7-1中的数据，可计算出投资组合的期望和方差为：22222222()8131220212200.3144400144pDEpDEDEDEDEppEr18改变股票投资和债券投资的比例，期望收益率随比例变化而线性变化如果WD1，WE0时，此时的投资组合策略是做一股票基金空头，并把得到的资金投入到债券基金。这将降低投资组合的期望收益率。当WD0，WE1时，投资策略是做债券基金的空头，把所有资金投入股票基金。图7-3投资组合期望收益率是股票投资比例的函数19投资组合比例变动，风险怎么变动？20例题7-1投资组合的风险与收益已知wD+wE=1得出标准差的最小值为：221/221/2min[144400144][144400(1)144(1)]00.82,0.1811.45%DEDEDDDDDED时，当股票基金投资的比例从0增加到1时，投资组合的标准差首先应该从债券基金向股票基金分散而下降，但随后上升，因为投资组合中股票基金先是增长，然后全部投资都集中于股票基金。2,122212,1221212,12212,12221212,11221211212,111222121212122,1212222212122022)2(2)42()22(2)1(2)1(12wdwdwdwd22图7-4投资组合标准差是股票投资比例的函数股票基金权重资产组合标准差23预期收益是股权重的函数05101500.511.5股权重E(r)组合标准差是股权重的函数051015202500.511.5股权重组合标准差24投资组合机会集合：显示了由两种相关资产构造的所有投资组合的期望收益与标准差的曲线称为投资组合机会集合，或投资组合可行集。如图7-5。当ρ=-1时，投资组合可行集是线性的，它提供了完全对冲的机会。图7-5投资组合的期望收益是标准差的函数债券基金D股权基金E25重要概念：投资组合机会集、可行集26命题1：完全正相关的两种资产构成的机会集合是一条直线。证明：由资产组合的计算公式可得PEDEDEEDEDEEEDPDDEDEPPEDEPDEDEEDDPEEDDPrErErErErErErErE)()()()()()()()()/()()3)(2()3(1)2()1()()()(由式2627两种资产组合（完全正相关），当权重wD从1减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的机会集合（假定不允许买空卖空）。收益E(rp)风险σpDE两种完全正相关资产的可行集2728两种完全负相关资产的可行集两种资产完全负相关，即ρDE=-1，则有0,)/()3(1)2()1()()()(PEDEDEDEEDDPEEDDP时当2829命题2：完全负相关的两种资产构成的机会集合是两条直线，其截距相同，斜率异号。证明：PEDEDEEDEDEEEDEPDEDEPPPDEEDDPEDEDrErErErErErErErEf)()()()()()()1()()(),(,)/(从而时当2930命题成立。从而时当同理可证，PEDEDEEDEDEPPDDDEEPEDEDrErErErErErEf)()(-)()()()(),(-,)/(3031两种证券完全负相关的图示收益rp风险σpDE3132命题3：不完全相关的两种资产构成的机会集合是一条二次曲线(双曲线)证明：暂略32有效集(EfficientSet)：对理性投资者，满足：1.同样风险水平，选择收益最高组合；2.同样收益水平，选择风险最低组合。同时满足这两个条件的组合的集合就是有效集，或称有效边界。投资组合有效集Two-SecurityPortfolioswithDifferentCorrelations=113%E(r)St.Dev20%=.3=-1=-1资产组合的机会集合最小方差组合%812%34重要概念:有效组合、有效边界(两种风险资产)=1E(r)St.Dev%812%13%20%=.3=-1=-1有效边界有效组合：给定收益水平下最小风险的组合；给定风险水平下最大预期收益的组合。图7-6债务与股权基金的可行集合两条可行的资本配置线A点夏普比0.34B点夏普比0.38E点夏普比达到最大值0.427.3资产在股票、债券与短期国库券之间的配置367.3资产在股票、债券与短期国库券之间的配置最优完整资产组合1、考虑风险厌恶2、无差异曲线与资本配置线的切点3、求出最优资产配置Y最优风险投资组合1、两种风险资产的组合：机会集2、使资本配置线斜率最大的权重377.3资产在股票、债券与短期国库券之间的配置两条可行的资本配置线从无风险利率(5%)连到两种可行的投资组合，第一条可行的资本配置线通过最小方差投资组合A(82%的债券基金，18%的股票基金，EA=8.9%，σA=11.45%)()8.950.3411.45AfAErrA夏普比S该值为最小方差投资组合与短期国库券所得到的资本配置线斜率。现考虑用投资组合B(70%的债券基金，30%的股票基金，EB=9.5%，σB=11.7%)替代投资组合A：()9.550.380.3411.7BfBErrB夏普比S表明投资组合B优于A。让资本配置线向上移动，B点移动至P点，最终使资本配置线斜率与投资可行集相切(斜率一样)，这样得到最高并且可行的夏普比。3839最优风险资产组合P的求解DEEDfEfDDfEEfDEDfEEfDDEDEDEDEEDDPEEDDPPfPP1),(])()([])([])([),(])([])([1)],(2[)()()(..)(2222/1222239例7-2最优风险投资组合40已知()8%,()13%,12%,20%DEDEErEr，如何找出权重wD和wE，以使资本配置线斜率()pfPPErrS最大(最高夏普比)？解：221/2()813,(144400144),1pDEpDEDEDEEr。221/2()813(1)[144400(1)144(1)]00.40,0.6,11%5%()11%14.2%,0.4214.2%pfDDfPPDDDDPPDEDpPPErrwwrS时达到最大，此时解得，这是可行的最优资本配置线的斜率。例7-3最优完整投资组合41一个A=4的投资者，他在投资组合P中的投资头寸为：22()0.110.050.743940.142pfpErryA这表明该投资者将74.39%的资产投资于风险投资组合P，将25.61%的资产投资于短期国库券(无风险投资)，风险组合P中包括40%的债券组合，60%的股票组合，所以债券组合和股票组合在总投资中所占的比重为：0.40.74390.2976,0.60.74390