极坐标系(袁志军)分解

二极坐标系2.平面直角坐标系中的点P与坐标(a,b)是_____对应的.P(a,b).xyOab平面直角坐标系是最简单最常用的一种坐标系，但不是唯一的一种坐标系.有时用别的坐标系比较方便.还有什么坐标系呢？1.与角α终边相同的角：β=α+2kπ,k∈Z一一思考：右图是某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：（1）他向东偏北60°方向走120m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ABCDE50m450600120m60m教学楼体育馆实验楼办公楼图书馆请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向东走60米！出发点方向距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想.思考：类比建立平面直角体系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的体系？1、极坐标系的建立：①在平面内取一个定点O，叫做极点.②从极点O点引一条射线OX，叫做极轴.③再选定一个单位长度和角的正方向（通常取逆时针方向）.这样就建立了一个平面极坐标系，简称极坐标系.XO2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度,用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的角,叫做点M的极径,叫做点M的极角,有序数对(,)就叫做M的极坐标，记作M(,).XOM特别规定：当点M为极点时，它的极坐标为____________________(0,),可为任意值.一般地，不作特殊说明时，认为≥0，可取任意实数.例1、如图，写出各点的极坐标：。OxA•B•C•D•E•F•G•A(4,0)B(3,)4C(2,)2D(5,)56E(4.5,)F(6,)43G(7,)53156435324例2、在极坐标系中描下列各点：。Ox156435324545(3,0)(6,)(1,)(5,)E(4,),F2,6233、、、、ABCDA●●BC●●D●E●F3.用点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当的极坐标系,写出各点的极坐标.ABCDE50m450600120m60m解:以点A为极点,AB所在的射线为极轴(单位长度为1m),建立极坐标系.则点A,B,C,D,E的极坐标分别为(0,0),A(O)x(60,0),BπC(120,),3πD(603,),23π(50,).4E①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？④同一点不同的极坐标是否可以写出统一表达式？探究：极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况ππππ(4,),(4,2),(4,4),(4,2)6666练习：在同一个极坐标中描出以下各点：它们所表示的点有什么？[思考]关系ABCD本题点M的极坐标统一表达式：π42kπ+6，极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况(1)给定（,）,在极坐标平面内确定可唯一的一点M(2)给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应原因在于：极角有无数个一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)都可以作为它的极坐标.如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥0.或－π＜θ≤π,3.极坐标与直角坐标的互化•1.极点与直角坐标系的原点重合;•2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;•3.两种坐标系的单位长度相同.互化关系式Oxyθ),(Mxysin,cosyx极坐标化直角坐标：)(tan,0222xxyyx直角坐标化极坐标：当点不在第一象限内时，是否还成立？原理是什么？互化前提互化练习.,,..,)(,)(，求两点间的距离，已知两点的极坐标化成极坐标的直角坐标将点化为直角坐标；的极坐标将点2332213232511MM极坐标系与直角坐标系的异同•相同点：两者都通过一对有序实数对表示平面上的点.•不同点：–(x,y)与两坐标轴的距离有关;而(ρ,θ)与极轴出发的角和极点的距离有关–在直角坐标系内平面点集与有序实数对的集合{(x,y)|x、y∈R}一一对应，而在极坐标系内平面点集与有序实数对的集合{(ρ,θ)|ρ、θ∈R}不是一一对应的（(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)表示同一个点）–若规定ρ0，θ∈[0,2π)，可使极坐标与平面内的点一一对应(极点除外)•建立一个极坐标系需要哪些要素?–极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向•极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？–无数，极角有无数个•一点的极坐标有否统一的表达式？–有，(ρ，2kπ+θ)•极坐标与直角坐标的互化sin,cosyx极坐标化直角坐标：)(tan,0222xxyyx直角坐标化极坐标：课堂小结思考:极坐标系中,点M的坐标为(-10,),则下列各坐标中,不是M点的坐标的是()3课后思考410,3510,3510,3210,3ABCD2.边长为a的正六边形OABCDE在极坐标系中的位置如图所示，求这个正六边形各顶点的极坐标。ABCxEDO解：O(0,0)，C(2a,0)5π(,)3Aaπ(,)3Eaπ(3,)6Da11π(3,)6Ba(1)(2)(3)(,)(0,ππ)AAAA点关于极轴对称的点为_________点关于垂直于极轴的直线对称的点为________点关于极点对称的点为对极__坐标平面中任___意一点_____(,)(,π)(,π)π(20,ππ),)6AlAl设点，直线为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点关于极轴、直线、极点的对称Ex（限定点的极坐标变式:在极坐标系中,若等边三角形的两顶点是A(2,),B(2,),那么顶点C的坐标可能是()4π4π53π3π.(4,).(23,π)(23,)444.(23,π).(3,π)ABCD或4、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值.对于点M（，）负极径时的规定：[1]作射线OP，使XOP=[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=OXPMOXP=/4M四、2、负极径的实例在极坐标系中画出点M（－3，/4）的位置[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：ABCDEOX26121112232345四、3、关于负极径的思考“负极径”真是“负”的？根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？？？？四、4、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的上取一点M，使OM=3M画出点（3，/4）和（－3，/4）给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点。M四、5、负极径的实质从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。OXPMOXPM而反向延长也可以看成是旋转，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”。负极径小结：极径变为负，极角增加。练习：写出点的负极径的极坐标（6，）6答：（－6，+π）6或（－6，－+π）611特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥0。因为负极径只在极少数情况用。五、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点M（3，/4）的所有极坐标[1]极径是正的时候：423k，[2]极径是负的时候：)423k，（六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。OXPM(ρ,θ)…一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)、[－ρ,θ+(2k+1)π]都可以作为它的极坐标.如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤π,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是()A.(－ρ,θ)B.(－ρ,－θ)C.(－ρ,θ＋π)D.(－ρ,π－θ)CD题组三1.在极坐标系中，与点(－3,)重合的点是()6A.(3,)B.(－3,－)C.(3,－)D.(－3,－)6665653.在极坐标系中,与点(－8,)关于极点对称的点的一个坐标是()6A.(8,)B.(8,－)C.(－8,)D.(－8,－)656665A[3]一点的极坐标有否统一的表达式？小结[1]建立一个极坐标系需要哪些要素极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极径有正有负；极角有无数个。有。（ρ，2kπ+θ）。Ox156435324A●●BC●●D●E●F若极角取负值，则上例中的A，B，C，D，E，F的极坐标又可以表示为3,2,76,,631,,225,,34,,2,3ABCDEF°Ox•M(,)°Ox例如:M(-2,)5656作射线OP，使＜xOP=•M(-2,)56P在射线OP的反向延长线上取一点M，使|OM|=||当极径0时，点M(,)的位置按如下规则确定：。Ox425654531162332•A•B•C•D•E14,0113,62,251,353,4ABCDE3、点的极坐标的表达式的研究XOM如图：OM的长度为4，4请说出点M的极坐标的表达式？54,,4,,445454,2,4,2,44kkkZ(,)(-,+)(,2k+)(-,+(2k+1))[小结]表示同一点的极坐标.4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应OXPM(ρ,θ)[3]如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π或-π＜θ≤π那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.关于极坐标系的进一步思考•直角坐标系中，横坐标为1的点构成怎样的图形？纵坐标为4的点构成怎样的图形？•极坐标系中，极径为5的点构成怎样的图形？极角为的动点A构成怎样的图形？极角为的动点B构成怎样的图形？334有没有办法让B点的极角为？即改变一下方向？3拓展：负极径的定义•在一般情况下，极径都是取正值，但是在某些必要的情况下，也允许取负值.当时，点的位置可以按以下规则确定：作射线OP，使，在OP的反向延长线上取一点M，使，点M就是坐标为的点.0)(MOM)(xopOMPxABCDEOX26121112232345说出图中当极径取负值时各点的极坐标完成课本12页1~3题关于负极径的深入理解•从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”.•而反向延长也可以看成是旋转π，因此，所谓“负极径”实质是管方向的，这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”.特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥0，因为负极径只在极少数情况用.的