数学建模关于优化问题的论文

暑期数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了暑期数学建模竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）：A参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：教练组日期：11年8月12日评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：暑期数学建模竞赛编号专用页评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：评阅记录（可供评阅时使用）：评阅人评分备注统一编号：评阅编号：1多因素条件下作物施肥效果分析摘要本文是关于作物施肥数量与结构的优化问题，根据不同目标对施肥量与肥料搭配比例进行调整，达到各目标的最优。首先，基于一元线性回归模型，以一种肥料作为自变量，另外两种肥料固定在第七水平，建立了六个一元回归方程，分别研究某一种肥料变化时，该肥料施肥量与产量的关系。根据散点图趋势，初步选取适当的一元函数，为了使散点图更直观准确，将原数据进行无量纲化处理，得到0到1间的值。利用eviews软件进一步对一元函数进行拟合，选取显著性最高的拟合结果，求解时，对非线性的回归方程，通过取对数将其线性化，得到结果后再将其转换成原函数形式，最终得到六个反映施肥量与产量关系的一元回归模型。为了提高六个回归方程整体的显著性，本文以三种肥料的施肥量同时作为自变量，建立三元二次回归模型，检验均通过，并具有高度的显著性，拟合效果较好。其次，基于问题一中的一元线性回归模型与三元二次回归模型分别求解回归方程的最大值，即产量最大值。比较两个模型的结果，看出，由三元二次回归模型得到的产量更大，其中土豆与生菜产量的最大值分别为44.95t/ha，23.04t/ha。土豆对应的N、P、K肥料的施肥量分别为293.13kg/ha，250.0kg/ha，540.0kg/ha。生菜对应的N、P、K肥料的施肥量分别为212.06kg/ha，426.91kg/ha，665.69kg/ha。再次，考虑到施肥的经济性，以产值和施肥费用作为自变量，以总收益作为因变量，建立收益最大化模型。分别基于反映产量与施肥量关系的一元回归模型与三元二次回归模型，进行求解。由一元回归模型得到结果，当生菜K肥施肥量无穷大时，收益也趋近于无穷大，显然不合理，本文以一元二次函数对六个回归方程重新进行拟合，检验看出，显著性不高，但基于新的回归方程得到的结果更加合理，更符合实际情况，具有较高的实用性。基于三元二次回归模型进行求解时，通过（0,0,0,0）点的引入，增加了三种肥料交互影响产生的交叉项，避免了肥料搭配不合理造成的大量浪费。比较两种模型的结果看出，基于三元二次回归方程得到的收益更大，土豆与生菜的最大值分别为102500元/公顷，52023元/公顷。再次，引入环保因素时，通过两种方法实现，一是基于收益最大化模型，将污染指数作为限制条件，以收益最大为目标，建立线性规划收益最大化模型。二是引入目标偏差变量，以偏差变量之和最小为目标，以污染指数，肥料搭配比例作为约束条件，建立多目标规划模型，以环境指数小于25为前提，追求收益尽量大。比较两种模型的结果看出，多目标规划的的结果更符合本问的要求，土豆与生菜的最大收益值分别为，环境指数为25，属于轻度污染，K肥施肥量超过满意值，但K肥适当增加能够增大收益，对土地没有造成污染，收益实际值与满意值相差不大，结果比较合理，符合本问的要求。最后对模型应用效果作量化估计，难点在于如何对优化模型进行改进，得到评价模型。本文利用多目标规划结果中满意值与偏差值的差值占满意值的比例作为单目标的满意度，利用层次分析法得到单目标权重值，根据单目标的权重值与满意度求和可以得到多目标满意度，根据多目标总体的满意度对模型应用效果作量化估计。从而建立基于层次分析法与多目标规划的评价模型。最后对模型的推广作初步讨论，验证了模型较高的应用价值。21.问题的重述农作物生长所需的营养素主要是氮(N)、磷(P)、钾(K)。某作物研究所在某地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于N的施肥量做实验时，P与K的施肥量分别取为196kg/ha与372kg/ha。(1)试分析施肥量与产量之间关系；(2)试以作物产量最大化为目标，建立作物施肥数量与结构的优化模型，并求解每公顷土豆和生菜的施肥量的数量和结构；(3)作物产量最大化，不一定是最经济的，请考虑施肥的经济性，建立作物施肥数量与结构的优化模型，并根据主要肥料的营养素含量、市场价格情况，以及农产品的价格情况等，优化每公顷土豆和生菜的肥料使用数量与结构；(4)有研究表明，我国大部分地区作物生产的施肥量超过了土地承受能力，除加重农民负担外，土壤退化、江河湖海的富营养化正在成为农业和环境可持续发展的严重障碍。由于施肥给蔬菜带来的污染有两个途径，其一是通过肥料中所含有的有毒有害物质，如重金属、病原微生物等直接对蔬菜或土壤的污染；其二是通过不合理施入大量氮素肥料造成蔬菜体内硝酸盐的过量积累，导致蔬菜品质和口感较差。鉴于以上情况，请在问题(3)的优化模型的基础上，进一步改进你的模型，根据实验数据，并进行合理的数值假定，优化每公顷土豆和生菜的肥料使用数量与结构。(5)对所得模型与结果从如何改进与应用价值与效果等方面做出量化估计。2.问题的假设1.假设本文搜到的数据是科学准确的，不会在短期内变动。2.假设N、P、K三种肥料都是农作物生长的基本肥料要素，本文近似认为如果三种肥料都不施用，农作物没有产量。3.假设生产的农作物可以以标准价格售出，并且其他因素的支出暂时算入收益考虑。4.假设土壤中含有N、P、K元素标准，对模型影响忽略不计。3.符号的说明主要符号符号意义N、P、K氮、磷、钾肥NY表示施用N肥的产量PY表示施用P肥的产量KY表示施用K肥的产量3Y表示总产量S表示蔬菜售价Nb、Pb、Kb表示N、P、K肥的售价n、p、k表示施用N、P、K肥的是施肥量Q施肥量Nm、Pm、Km表示施用N、P、K肥时的收益M总体满意度1m、2m为最满意产量值、最满意效益值4.问题的分析及建模流程图本问题涉及的是作物施肥数量与结构的优化问题，要解决的问题是如何建立及深化模型，逐步引入限制因素，达到最优目标，其中如何分配施肥量的数量和结构，达到多目标最优，是需要解决的核心问题。4.1基本思路根据N、P、K肥料施肥量与作物产量的数据，构造函数可以拟合出施肥量与产量的关系，该拟合函数的最大值即对应产量的最大值。考虑到施肥的经济性时，通过对产量最大化模型进行改进，以收益最大化为目标，得到收益最大时肥料的使用数量与结构。引入环保因素时，有两种方法可以考虑实现，第一是在收益最大化模型的基础上改进，将污染指数作为限制条件，求解最大收益。第二种是将污染程度,收益作为目标，将污染指数，肥料搭配比例作为约束条件，建立多目标规划模型，得到多目标最优解。4.2具体分析问题一：分析施肥量与产量的关系，选取适当的拟合函数是关键，有两种方法。一是以一个肥料的施肥量作为自变量，将另外两个肥料的施肥量保持在第七水平，以产量作为自变量构造六个一元函数，表示三种肥料分别作为自变量时，两种作物施肥量与产量的关系。二是以三种肥料作为自变量，以产量作为因变量，构造三元函数，拟合施肥量与产量的关系。具体的函数拟合结果的求解通过eviews,Matlab软件实现。问题二：问题一中拟合函数的最大值即产量的最大值，基于问题一中的模型，通过求解其产量最大值，得到产量最大时各肥料的施肥量和结构。问题三：考虑到施肥的经济性，以收益最大化为目标，通过作物产量与售价得到产值，求解产值时可以基于反映产量与施肥量关系的一元函数，也可以基于三元二次函数。通过施肥量与肥料售价得到施肥成本，以产值与施肥成本作为自变量。以施加肥料产生的收益作为因变量（因其它成本产生的收益为定值，近似忽略不计），构造二元函数。该函数的最大值即为收益的最大值，由此时自变量的值得到肥料使用数量与结构。4问题四：引入环保因素时，有两种方法可以考虑实现，第一是在收益最大化模型的基础上改进，将污染指数作为限制条件，求解最大收益。第二种是将污染程度,收益作为目标，将污染指数，肥料搭配比例作为约束条件，建立多目标规划模型，得到多目标最优解。问题五：对模型应用效果作量化估计，难点在于如何对优化模型进行改进，得到评价模型。本文利用多目标规划结果中满意值与偏差值的差值占满意值的比例作为单目标的满意度，利用层次分析法得到单目标权重值，根据单目标的权重值与满意度求和可以得到多目标满意度，根据多目标总体的满意度对模型应用效果作量化估计。从而建立基于层次分析法与多目标规划的评价模型。最后对模型的推广作初步讨论，验证了模型较高的应用价值。4.3流程图作物施肥数量与结构的优化产量最大化三元二次回归模型施肥量与产量一元线性回归模型收益最大化三元二次回归模型最大满意度多目标规划模型层次分析法与多目标规划评价模型数据无量钢化曲线拟合氮磷钾调配比例定义合理权重系数引入产量条件5．模型的建立与求解5.1模型的准备在长期的实践中，农学家们已经总结出关于作物施肥效果的经验规律，并建立了相应的理论[1]51.公理1（Nickla和Miller理论）：设h为达到最高产量时的施肥量，边际产量dWdx与()hx成正比例关系。即()dWahxdx，从而有2012Wbbxbx.2.公里2（米采利希学说）：只增加某种养分时，引起产量的增量与该种养分供应充足时达到的最高产量A与现在产量W之差正比。即()dWcAWdx，从而有(1exp())WAcx5.2问题一5.2.1一元线性回归模型的选择与建立为分析施肥量与产量之间的关系，本文以产量y作为因变量，以施肥量x作为自变量，建立一元线性回归模型研究两者间的关系，根据散点图的趋势，构造适当的一元函数进行求解。设y与x的函数为：2iiifYabxcx（1）其中a，b为回归系数，为随机误差。利用最小二乘法求下式成立的函数y21()minniiyy（2）综上建立如下一元线性回归模型：2221,1,2,,()0,(),()()miniiiiiniiyabxinEDabyy回归系数，未知（3）5.2.2一元线性回归模型的求解为了使散点图更直观、准确，将施肥量的数据进行量纲化处理，得到（0，1）间的值。利用Matlab软件处理数据得到N，P，K的施肥量与土豆和生菜产量的散点图。6图1土豆施肥量与产量的散点图图2生菜施肥量与产量的散点图根据散点图趋势，利用eviews软件进行多次拟合，通过P、2R、F、DW的检验值进行判定，选取最优的一元函数。得到如下N，P，K的施肥量与土豆和生菜产量的回归模型：21NiPitKYabncnYabpYbk土豆（4）2NitPKiYabncnYbpYabk生菜（5）式（4）中的KiY与式（5）中的PiY为一元非线性回归方程，分别对KY，PY等式两边取对数，使之线性化：lnlnlnKYbtk（7）lnlnlnPYbtp（8）利用eviews软件计算得到:lnln16.610.152lnKYklnln2.5450.353lnPYp将对数形式化为指数形式计算得到土豆的KiY与生菜的PiY结果。0.15216.61KYk0.3532.545PYp式（4）与式（5）中的其余方程为一元线性回归方程，可直接利用eviews软件进行计算，综上得到如下结果：7210.15214