河南省平顶山市第一中学2020届高三下学期开学检测(线上)数学(文)

·1·平顶山一中2020届高三开学检测（线上）数学（文）试题满分：150分时间：150分钟一、选择题、本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{1，2，3，6}，B＝{x|2x4}，则A∩B＝A.{6}B.{3，6}C.{1，2}D.{2，3，6}2.若复数z满足z(1－2i)＝10，则复数z在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不可能为A.2213xy−=B.22139xy−=C.221312yx−=D.221217yx−=4.设向量m，n满足|m|＝2，|n|＝3，现有如下命题：命题p：|m－2n|的值可能为9；命题q：“(m－2n)⊥m”的充要条件为“cosm，n＝13”；则下列命题中，真命题为A.pB.p∧qC.(﹁p)∧qD.p∨(﹁q)5.已知α∈(0，π)，且sinα＝35，则tan(α＋4)＝A.－17B.7C.－17或－7D.17或7·2·6.函数3sin2()xxxfxe+=在[－2π，2π]上的图象大致为7.德国数学家莱布尼兹(1646年－1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国。在我国科技水平业已落后的情况下，我国数学家、天文学家明安图(1692年－1765年)为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年(1736年)开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算π开创了先河。如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值)，若输入n＝10，则输出的结果是A.11114(1)35717P=−+−++B.11114(1)35719P=−+−+−·3·C.11114(1)35721P=−+−++D.11114(1)35721P=−+−+−8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝－3，S12＝24，若ai＋aj＝0(i，j∈N*，且1≤ij)，则i的取值集合是A.{1，2，3}B.{6，7，8}C.{1，2，3，4，5}D.{6，7，8，9，10}9.若a＝0.50.6，b＝0.60.5，c＝20.5，则下列结论正确的是A.bcaB.cabC.abcD.cba10.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五。已知三棱锥A－BCD的每个顶点都在球O的球面上，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝3，BC＝2，利用张衡的结论可得球O的表面积为A.30B.1010C.33D.121011.一个圆锥的母线长为2＋22，且母线与底面所成角为4，则该圆锥内切球的表面积为A.2πB.8πC.823D.(6＋22)π12.已知f'(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，若f(x)＝f(－x)＋x3，且当x≥0时，23()2fxx，则不等式2f(x＋1)－2f(x)3x2＋3x＋1的解集为A.(－12，0)B.(－∞，－12)C.(12，＋∞)D.(－∞，12)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13。函数f(x)＝9x2＋1x−的最小值为。14.已知实数x，y满足2336xyxyxy++−，则z＝2x＋y的最大值为____·4·15.“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆。设地球半径为R，若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是23R，4R，则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为。16.若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”。若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2020积数列”，且a11，则当其前n项的乘积取最大值时，n的最大值为。三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且52sin()coscos2cAaBbA+=+。(1)求角；(2)若3a＝b＋c，且△ABC外接圆的半径为1，求△ABC的面积。18．（本小题满分12分）某农科所为改良玉米品种，对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米。（1）请完成以上2×2列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过0．01的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关?·5·（2）为改良玉米品种，现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出5株，再从这5株玉米中选取2株进行杂交试验，则选取的植株均为矮茎的概率是多少?19．（12分）已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）对于数列，若存在一个区间M，均有Ai∈M，（i＝1，2，3…），则称M为数列的“容值区间”，设，试求数列{bn}的“容值区间”长度的最小值．20．（本小题满分12分）已知A（－2，0），B（2，0），直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，且k1·k2＝－34．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设F1（－1，0），F2（1，0），连接PF1并延长，与轨迹C交于另一点Q，点R是PF2中点，O是坐标原点，记△QF1O与△PF1R的面积之和为S，求S的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣（x﹣1）ex，其中a为非零常数．（1）讨论f（x）的极值点个数，并说明理由；（2）若a＞e，（i）证明：f（x）在区间（1，+∞）内有且仅有1个零点；（ii）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点且x1＞1，求证：x0+2lnx0＞x1．·6·（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.[选修4--4：坐标系与参数方程]22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程（β为参数）．直线l的参数方程（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C在直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C截直线l所得线段的中点极坐标为时，求直线l的倾斜角．23.[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)＝|x－3|－2|x|。(1)求不等式f(x)≥2的解集；(2)设f(x)的最大值为m，正数a，b，c满足a＋b＋c＝m，证明：a2＋b2＋c2≥3。高三文数学答案·7·一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BACCDABCDBBB二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.914.15.16.1010三.解答题（本大题共6小题，共70分）17.【答案】（1）3A=；（2）23.【解析】（1）∵2sin()coscos2cAaBbA+=+，∴2coscoscoscAaBbA=+，…………2分由正弦定理得，()2sincossincossincossinsinCAABBAABC=+=+=，∴2sincossinCAC=，…………4分又0C，∴sin0C，∴1cos2A=，…………5分又0A，∴3A=.…………6分（2）设ABC△外接圆的半径为R，则1R=，2sin3aRA==，…………8分由余弦定理得()22222cos33abcbcbcbc=+−=+−，…………9分即3273bc=−，8bc=，……………10分ABC的面积113sin823222SbcA===。…………12分18．解：（1）根据统计数据得2×2列联表如下：抗倒伏易倒伏总计矮茎15419高茎101626·8·总计252045…………………………………………………3分由于K2的观测值K2=2451926(1516410)2520−，……………………………………5分因此可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关.…6分（2）根据题意得，抽到的高茎玉米有2株，设为A，B，抽到的矮茎玉米有3株，设为a,b，c，…………………………………………………………………………8分从这5株玉米中取出2株的取法有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种，其中均为矮茎的选取方法有ab，ac，bc，共3种，……………………10分因此，选取的植株均为矮茎的概率是310.………………………………………12分19．【分析】（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q（q≠0），运用等差数列的中项的性质，以及等比数列的通项公式，解方程可得q，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）运用等比数列的求和公式，讨论n为偶数，n为奇数，结合数列的单调性，以及“容值区间”的定义，即可得到所求区间的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q（q≠0），由﹣2S2，S3，4S4成等差数列，知﹣2S2+4S4＝2S3，则，化简得3q2+6q3＝0，解得，则；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当n为偶数时，，易知Sn随n增大而增大，∴，此时，·9·当n为奇数时，，易知Sn随n增大而减小，∴，此时，又，∴，区间长度为﹣2＝．故数列{bn}的“容值区间”长度的最小值为．20.解:(1)设P(x,y),∵A(-2,0),B(2,0),∴12,,22yykkxx==+−…………………………………………………………2分又4321−=kk,223,44yx=−−221(2),43xyx+=∴点P的轨迹C的方程为221(2).43xyx+=……………………………………4分(2)由O,R分别为F1F2,PF2的中点,故OR∥PF1,故△PF1R与△PF1O同底等高,故11PFRPFOSS=,1111,PFRPFOQFOQFOPQOSSSSSS=+=+=当直线PQ的斜率不存在时,其方程为1,x=−此时S△PQO=13331();2222−−=………………………………………………6分当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),设1122(,),(,),PxyQxy显然直线PQ不与x轴重合,即k≠0;联立22(1),1,43ykxxy=++=解得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,Δ=144(k2+1)0,212221228,34412,34kxxkkxxk+=−+−=+……………………………………………………………8分·10·故2222121212212(1)||1||1()4,34kPQkxxkxxxxk+=+−=++−=+点O到直线PQ的距离d=2||,1kk+22221(1)||6,2(34)kkSPQdk+==+……………………………………………10分令u=3+4k2∈(3,+∞),故223133234461(0,),22uuSuuu−+==−−+故S的最大值为32.……………………………………………………………12分21．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，对a进行分类讨论即可求解函数的单调性，进而可确定极值，（2）（i）转化为证明f′（x）＝0只有一个零点，结合函数与导数知识可证；（ii）由题意可得，，代入可得，，结合函数的性质可证．【解答】解：（1）解：由已知，f（x）的定义域为（0，+∞），∵，①当a＜0时，a﹣x2ex＜0，从而f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）内单调递减，无极值点，②当a＞0时，令g（x）＝a﹣x2ex，则由于g（x）在[0，+∞）上单调递减，g（0）＝a＞0，，所以存在唯一的