构造母子型相似解决阿氏圆题型

2019届初中数学总复习微专题构造母子型相似解决阿氏圆题型何求2019.6.10阿氏圆题型是这几年在中考中也是逐渐火热,出题频率越来越高,成为近几年中考填空、解答的压轴热点题型。阿氏圆题型,很多同学感觉困难,但是掌握了特点和方法,困难就能迎刃而解!一、阿氏圆题型：例、在Rt△ABC中,∠AOB=90°,AO=3,BO=4，⊙O的半径为2，P为⊙O上一动点,则12PAPB的最小值为.二、阿氏圆题型特点：动点P在圆(圆弧)上运动且圆心O到动点P的距离OP与圆心O到定点B的距离OB的比值为定值k,求PA+k·PB(k≠1)最小值的题型.三、阿氏圆解题方法：初中数学解决阿氏圆问题,要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。构造母子型三角形相似，结合两点之间线段最短进行求解就是解决阿氏圆题型的核心武器!步骤如下：（口诀：找母作子定最值）1.找母三角形：标出半径（圆心到动点的线段OP）与定线段(圆心到定点的线段OB)及其夹角(∠BOP)的三角形；2.作子三角形：利用标出两边的夹角,构造一条线段,使其长度与半径比为K,构造出子三角形,由于共角,那么母子三角形相似;3.得到去除系数k的线段,结合两点之间线段最短进行求解.例1、在Rt△AOB中,∠AOB=90°,AO=3,BO=4，⊙O的半径为2，P为⊙O上一动点,则12PAPB的最小值为.OABP基本思路：构造母子型三角形相似，将(1/2)PB转化成(PE/PB)=(1/2),只需求PA+PE最小，结合两点之间线段最短进行求解.解：在OB上截取OE=(1/2)OP,连接PE.∵(OP/OB)=(OE/OP)=(1/2),∠POB=∠EOP∴△POB∽△EOP∴PE=(1/2)PB=1∴PA+(1/2)PB=PA+PE当点E、P、A三点共线时，PA+PE最小，即PA+(1/2)PB的最小值为√((1^2)+(3^2))=√(10)练习1、已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2点P是圆B上的个动点,求PD+½PC的最小值.练习2、在正方形ABCD中,G为正方形内一点,AD=4,P为BC中点,且BG=BP,则12DGGC的最小值是.例2、在平面直角坐标系中,A（2,0）,B(0，2),C（4,0）,D(3，2),P是△AOB外部的第一象限内一动点,且∠BPA=135°,则2PD+PC的最小值是.CDBAPPCDABGyxCABDOPOABPE练习3、如图,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60°,点E、F分别是AB、BC的中点，点P在菱形内部，且∠EPF=150°，则12PDPC的最小值为.练习4、练习4、如图,菱形ABCD的边长为2，∠ABC为60°,⊙A与BC相切于点E,在⊙A上任取一点P,则PB+23PD的最小值为.拓展题：拓展1、如图,点A、B在⊙A上，且OA=OB=12，OA⊥OB，点C是OA的中点,点D在OB上，OD=10，动点P在⊙O上,则12PCPD的最小值为EFABCDPBADCPCOBADP拓展2、如图,抛物线0332axaaxy与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B.在x轴上有一动点E(m,0)(0m4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.(1)求a的值和直线AB的函数表达式；(2)设△PMN的周长为1C,△AEN的周长为2C,若1265CC,求m的值;(3)如图2.在(2)的条件下,将线段0E绕点0逆时针旋转得到OF,旋转角为a(0°a90°),连接FA、FB.求23FAFB的最小值.附：阿氏圆定理:（定理内容较为抽象，了解即可.）一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比m:n,则P点的轨迹,是以定比m:n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆.(这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,该圆称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.)yxNMPABOEyxFNMPABOE最值二1、已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°BC=1,AC=22,点P是AC上的个动点,则3BP+AP的最小值.ACBP2、如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,延长BC至D使CD=BC,连接AD.(1)求证:△ABD是等边三角形;(2)若E为线段CD的中点,且AD=4,点P为线段AC上一动点,连接EP,BP.①求EP+12AP的最小值;②求2BP+AP的最小值.ECDABP