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绝密绎启用前江南十校2020届高三第二次联考数学(理科)试题参考答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1.答案:D解析:解得U=yy{}0,A=x1x{}2,故CUA=0,()1胰2,+[)¥。2.答案:B解析:解得cos琢=-513,故fcos()琢=1,则ffcos()[]琢=f()1=2。3.答案:A解析:如图所示,点P在平面区域内任一点P,点Q在半圆x2+y2=10臆y臆()1上,过点O作直线x+y-5=0的垂线,垂足为P,交半圆于Q,此时PQ取最小值,求得PQmin=522-1。4.答案:B解析:()ft=logbt为增函数,0sin琢cos琢1得logbsin琢logbcos琢0;()gt=cos()琢t为减函数,则xy。当a0时,()ht=ta在第一象限单调递减,a=logbsin琢且cos琢sin琢,则xz。故zxy。5.答案:D解析:由题得sin兹=x2+12x,由x2+12x逸1或x2+12x臆-1且-1臆sin兹臆1得:sin兹=依1,故x=依1。6.答案:D解析:y=sin2x+cos2x=2sin2x+仔æèçöø÷4=2sin2x+仔æèçöø÷8,y=-2cos2x=2sin2x-仔æèçöø÷2=2sin2x-仔æèçöø÷4,故向右移3仔8个单位。摇7.答案:C解析:a4=a2+2d,a8=a2+6d,因为a42=a2·a8且d屹0,求得a2=2d,所以公比q=a4a2=2;或解:q=a8a4=a4a2=a8-a4a4-a2=4d2d=2。数学(理科)试题答案第1页(共7页)8.答案:C解析:m彝琢琢椰}茁圯m彝茁摇摇摇摇n彝üþýïïïï茁圯m椰n.9.答案:A解析:()f忆x=ex+e-x+10x()0,故()fx在0,+()¥上单调递增。b沂0,(]1时,()[]ffb=b成立,即()fb=b有解,摇则e-b+eb+b-a=b,故a=e-b+eb,b沂0,(]1。令eb=t,则t沂1,(]e,eb+e-b=t+1t沂2,e+1æèçùûúúe,即a沂2,e+1æèçùûúúe。10.答案:C解析:构造长方体ABCD-A1B1C1D1,使MN与BD1重合。设长方体长、宽、高分别为x,y,z,则x2+y2+z2=1。由题知x2+z2=a,y2+z2=b,x2+y2=c,a2+b2+c2=2。a+b+()c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac臆3a2+b2+c()2=6,故a+b+c臆6。11.答案:A解析:连PI延长x轴于D,连IF1、IF2。在吟PF1D中有IDIP=DF1PF1,在吟PF2D中有IDIP=DF2PF2,故IDIP=DF1PF1=DF2PF2=DF1+DF2PF1+PF2=2c2a=e=12,故S吟IF1F2S吟PF1F2=IDPD=13。数学(理科)试题答案第2页(共7页)12.答案:B解析:f(x+2)=f(2-x),推得f(x+4)=f(-x)=f(x),故f(x)最小正周期为4.f(xi)-f(xi+1)臆4-1=3,xn取得最小值,则需尽可能多的xi取到最高(低)点,由2993=9923以及2x=2得:xn(min)=99伊2+1=199。二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.答案:25解析:sin(仔+琢)=2cos(仔-琢)可得tan琢=2sin琢(2cos2琢2-1)=sin琢cos琢=sin琢cos琢sin2琢+cos2琢=tan琢tan2琢+1=2514.答案:2解析:如图,作小圆的直径AE,连DE,则DE=4,AE=DE2-DA2=23=2r=BCAB2+AC2=BC2=12逸2AB·AC,则AB·AC臆6,V=13·12·AB·AC·AD=16伊2AB·AC=13伊AB·AC臆215.答案:{x|x-12}解析:令=g(x)=xf(x),由x1f(x1)-x2f(x2)x1-x20,得g(x)在(-肄,0)为减函数,且g(x)为偶函数,故g(x)在(0,+肄)上为增函数,g(x)g(x+1)即g(x)g(x+1)故xx+1,解得x-12。16.答案:33解析:取F1D的中点Q,连EQ、PQ。PF寅1·寅PD=14(PF寅1+寅PD)2(PF寅1-寅PD)[]2=14(4寅PQ2-DF寅12)=寅PQ2-14DF寅12,数学(理科)试题答案第3页(共7页)同理EF寅1·寅ED=寅EQ2-14DF寅12,PF寅1·寅PD逸EF寅1·寅ED恒成立等价于寅PQ逸寅EQ,故EQ彝BF1,得到DF1=DB,设DF2=x,则BF2=2x,DF1=2a-x,由2a-x=3x,得x=a2,BF1=BF2=a,DF1=32a,在吟F1BF2中,cos蚁F1BF2=2a2-4c22a2=1-2e2,在吟DF1B中,又cos蚁F1BD=a2+(32a)2-32a)22a·32a=13,所以1-2e2=13,解得e=33.三、解答题:共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1)()gx=2sin2x+仔æèçöø÷3+2sin2x=23sin2x+仔æèçöø÷6,……3分当-仔2+2k仔臆2x+仔6臆仔2+2k仔,k沂爪时函数单调递增,即()gx的单调递增区间为-仔3+k仔,仔6+kéëêêùûúú仔,k沂爪.……5分(2)由f(仔6-x)=f(仔6+x)得f(x)图像关于x=仔6对称……7分故仔3+渍=k仔+仔2.摇摇渍=k仔+仔6,k沂爪.又-仔2渍仔2得渍=仔6.……10分18.(1)由题意可设寅DB=a,则寅AD=3a.在吟ACD中有:AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos蚁ADC……淤在吟BCD中有:BC2=DB2+CD2-2DB·CDcos蚁BDC……于淤+3·于可得CD2=13a2,在吟ACD中有:AD2=AC2+CD2-2AC·CDcos蚁ACD,解得cos蚁ACD=51326……6分数学(理科)试题答案第4页(共7页)或解:由题意可设蚁ACD=兹,在吟ACD中:ADsin兹=CDsin60毅摇……淤在吟BCD中:DBsin(60毅-兹)=CDsin60毅摇……于由淤、于可得3sin(60毅-兹)=sin兹,解得tan兹=335,故cos兹=51326……6分(2)寅AM=寅mAC+12寅AB=寅mAC+23寅AD,且C、M、D三点共线,所以m=13……7分S吟ABC=12寅AB·寅AC·32=23,故寅AB·寅AC=8……8分寅AM2=13寅AC+12寅æèçöø÷AB2=19寅AC2+14寅AB2+13寅AC·寅AB=43+19寅AC2+16寅AC2逸4……11分当且仅当寅AC=23时;所以寅AMmin=2……12分19.(1)由nan+1=n()+2Sn,n沂N*可得nSn+1-S()n=n()+2Sn,即Sn+1n+1=2Snn,n沂N*,所以Snn=S11·2n-1=2n,故Sn=n·2n……2分Tn=1伊21+2伊22+3伊23+…+n·2n摇…淤2Tn=1伊22+2伊23+3伊24+…+n·2n+1…于淤-于得:-Tn=1伊21+22+23+…+2n-n·2n+1亦Tn=n()-1·2n+1+2……6分(2)bn=Snn()+12n=n·2nn()+1·2n=nn+1……7分证法一:疫2n-12n=2n()-122()n22n()-122()n2-1=2n-12n+1……10分亦b1·b3…b2n-1=12伊34伊…伊2n-12n13伊35伊…2n-12n+1=12n+1……12分证法二(参照给分):疫nn+1=nn+1·nn+1nn+1·n+1n+2=nn+2,亦b1·b3…b2n-1=12伊34伊…伊2n-12n13·35…2n-12n+1=12n+1.证法三(参照给分):数学归纳法略.数学(理科)试题答案第5页(共7页)20.(1)取AD中点E,则由已知得BE彝ADPE彝}AD圯AD彝平面PBE圯AD彝PB……4分(2)AD彝平面PBEAD奂平面}ABCD圯平面ABCD彝平面PBE,又平面PBE疑平面ABCD=BE.过P作PO彝BE交BE的延长线于O,则PO彝面ABCD,由题可得到蚁PEO=60毅……6分建立如图所示直角坐标系,设PB的中点为G,则P(0,0,32),B(0,332,0),PB中点G(0,334,34)连接AG,A(1,32,0),C(-2,332,0),寅GA=(1,-34,-34),寅PB=(0,332,-32),寅BC=(-2,0,0),于是寅GA·寅PB=0,寅BC·寅PB=0……10分寅GA与寅BC的夹角兹为所求二面角的平面角,则cos兹=寅GA·寅BC寅GA寅BC=-277……12分21.(1)取左焦点F1(-1,0),吟PQF2的周长为:PF2+QF2+PQ=2a-PF1+2a-PF2+PQ=4a-(PF1+PF2-PQ)臆4a(三点P、Q、F1共线时取等号),由4a=8,a=2,椭圆E的方程:x24+y23=1……5分(2)可设直线l:x=my+1数学(理科)试题答案第6页(共7页)x=my+1x24+y23ìîíïïïï=1得(3m2+4)y2+6my-9=0,y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4……7分S吟MF1N=12F1F2y1-y2=(y1+y2)2-4y1y2=12m2+13m2+4……9分令t=m2+1(t逸1),y=3t+1t在[1,+¥)单调递增,S=123t+1t臆3,S吟F1MN最大值为3,此时m=0,所以直线的方程为x=1.……12分22.(1)ex-x-a逸0恒成立,a臆ex-x恒成立,令h(x)=ex-x,h忆(x)=ex-1,x0,h忆(x)0,h(x)单调递增,x0,h忆(x)0,h(x)单调递减,h(x)min=h(0)=1,故a臆1……4分(2)g(x)=12sin2x-12x2+ex,g忆(x)=cos2x-x+ex逸1+cos2x逸0,g(x)单调递增,且g(0)=1……6分令Q(x)=g(x)+g(-x),则Q(x)=12sin2x-12x2+ex-12sin2x-12x2+e-x=ex+e-x-x2……8分令Q忆(x)=ex-e-x-2x=h(x),h忆(x)=ex+e-x-2逸0.h(x)单调递增,h(0)=0,故当x0时,Q忆(x)0,所以Q(x)单调递增,且Q(0)=2……10分由g(0)=1及g(x)为单调递增函数,g(x1)+g(x2)=2,则x1、x2异号,不妨设x20,则Q(x2)Q(0)=2,即g(x2)+g(-x2)2,g(-x2)2-g(x2)=g(x1),g(x)为单调递增函数,故-x2x1,x2+x10……12分数学(理科)试题答案第7页(共7页)