湖南省三湘名校2019届高三第二次大联考数学(理)试题

三湘名校教育联盟·2019届高三第二次大联考理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已经集合{|40}Axx，{|1}xBxe，则ABA．RB．(,4]C．(0,4)D．(4,)2.复数|3|1izi的共轭复数为A．22iB．22iC．1iD．1i3.下列说法正确的是A．若命题“pq”为假命题，则p，q均为假命题B．“1x”是“2560xx”的必要不充分条件C．命题“若1x，则11x”的逆否命题为真命题D．命题“0xR，使得20010xx”的否定是：“xR，均有210xx”4.已知等差数列{}na的前n项和为nS，44a，515S，则数列11{}nnaa的前2018项和为A．20182019B．20162019C.20162017D．201920185.将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案A．81种B．256种C.24种D．36种6.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为()lnxxx的结论.若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为（素数即质数，lg0.43429e，计算结果取整数）A．1089B．1086C.434D．1457.已知数列{}na满足132a，12nnaan，*nN，则nan的最小值为A．821B．525C.313D．108.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧的一部分，则该几何体的体积为A．4643B．644C.646D．6489.已知直线1:1lx，2:10lxy，P为抛物线24yx上任意一点，则点P到直线1l与2l的距离之和的最小值为A．2B．2C.1D．2210.已知x，y满足约束条件1010220xyxyxy，若zmxy的取值集合为A，且[1,8]A，则实数m的取值范围是A．12[,]33B．[1,8]C.114[,]93D．4[1,]311.已知函数22,0(),0xxxfxex，若方程2[()]fxa恰有两个不同的实数根1x，2x则12xx的最大值是A．-1B．3ln22C.2ln22D．22ln212.已知函数()3sin()(0,0)fxx，()03f，对任意的xR恒有()|()|3fxf，且在区间(0,)2上有且只有一个0x使得0()3fx，则的最大值为A．274B．8C.214D．154二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知倾斜角为的直线的斜率等于双曲线2213yx的离心率，则sin()．14.在区间[0,1]内任取一个实数x，在区间[0,3]内任取一个实数y，则点(,)xy位于曲线xye的图像上方的概率为．15.如图，在同一平面内，点P位于两平行直线1l，2l同侧，且P到1l，2l的距离分别为1，2.点M，N分别在1l，2l上，||5PMPN，则PMPN的最大值为．16.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E、F分别为棱11AD、11CD的中点，N是线段1BC上的点，且114BNBC，若P、M分别为线段1DB、EF上的动点，则||||PMPN的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，cos(2)cos0aBbcA，3cos5B.（1）求cosC的值；（2）若15a，D为边AB上的点，且2ADBD，求CD的长.18.如图，菱形ABCD与正BCE所在平面互相垂直，FD平面ABCD，2BC，3FD.（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）若60CBA，求直线EF与平面AFB所成角的正弦值.19.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k，当85k时，产品为一等品；当7585k时，产品为二等品；当7075k时，产品为三等品.现有甲、乙两条生产线，各生产了100件该产品，测量每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果.（以下均视频率为概率）甲生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：指标值分组[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)频数10304020乙生产线产生的产品的质量指标值的频数分布表：指标值分组[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)频数1015253020（1）若从乙生产线生产的产品中有放回地随机抽取3件，求至少抽到2件三等品的概率；（2）若该产品的利润率y与质量指标值k满足关系：22,855,7585,7075tkytktk，其中105t，从长期来看，哪条生产线生产的产品的平均利润率更高？请说明理由.20.已知椭圆2222:1(1)yxCabab的离心率为22，其上焦点到直线220bxay的距离为23.（1）求椭圆C的方程；（2）过点1(,0)3P的直线l交椭圆C于A，B两点.试探究以线段AB为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.21.已知函数2(ln)3ln3()xxfxx.（1）求函数()fx在区间1[,3]()aaae上的最大值；（2）证明：(0,)x，22((ln)3ln3)30xexxx.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为14232xtyt（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程为2cos.（1）写出曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；（2）若直线()6R与曲线C交于点A（不同于原点），与直线l交于点B，求||AB的值.23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数()|21||1|fxxx.（1）求不等式()2fx的解集；（2）若不等式|1|()|1||23|mfxxx有解，求实数m的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CCCAD6-10:BCBBD11、12：BC10.【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中(1,0)A，(0,1)B，(3,4)C，zmxy的最值一定在顶点处取到，所以181348mm，解得：4[1,]3m11.【解析】作出()fx的函数图像如图所示：由2[()]fxa可得()fxa，∴1a，即1a.不防设12xx，则2212xxea，令(1)att，则12tx，2lnxt，∴12ln2txxt，令()ln2tgtt，则'42()4tgtt，∴当18t时，'()0gt，当8t时，'()0gt，∴当8t时，()gt取得最大值(8)ln823ln22g.12.【解析】由题意知12332kk，1k，2kZ，则'3(21)424kk，k，'kZ，其中21kkk，'1212kkkkk，故k与'k同为奇数或同为偶数.()fx在(0,)2上有且只有一个最大值，且要求最大，则区间(0,)2包含的周期应该最多，所以22T，得08，即3(21)84k，所以4k当4k时，274，'k为偶数，4，此时2729(,)4444x，当1270.544x或2.5或6.5时，0()3fx都成立，舍去；当3k时，244，'k为奇数，34，此时213327(,)4448x，当且仅当2132.544x时，0()3fx成立.二、填空题13.25514.43e15.616.615.6过点P作1l的垂线为y轴，以1l为x轴，建立平面直角坐标系，1:0ly，2:1ly，(0,1)P，设(,0)Ma，(,1)Nb，所以(,1)PMa，(,2)PNb，(,3)PMPNab，由||5PMPN，可知2()925ab，∴4ab或4ab，2()2264abPMPNab16.6首先PM的最小值就是P到EF的距离.连接11BD交EF于G，连接PG，则EF平面11BDDB，故EFPG，从而PM的最小值PG，可知G为EF的中点，1DG为11DB的四分之一.其次，连接BD，在线段BD上取点H，使BHBN，连接PH，则111DDBDCB，从而PNPH，最后，连接GH交1BD于K，则当P为K时，PMPN取得最小值，所求最小值为GH.∵正方体1111ABCDABCD的棱长为2，∴6GH.三、解答题17.解析：（1）由cos2cos0aBbcA得：sincossin2sincos0ABBCA即sincoscossin2cossinsin2cossinABABACABACsin2cossinCAC∵A、B、C、是ABC的内角，∴sin0C因此，2cos2A，又0A，故4A由3cos5B得：234sin155B∴coscoscosCABAB2coscossinsin4410BB（2）由2cos10C得：2272sin11010C由正弦定理得：152172sin410cc，∴2143BDc在BCD中，22231514215141695CD∴13CD．18．解析：（1）如图，过点E作EHBC于H，连接，∴3EH.∵平面ABCD平面BCE，EH平面BCE，平面ABCD平面BCE于BC，∴EH平面ABCD.又∵FD平面ABCD，3FD.∴//FDEH，∴四边形EHDF为平行四边形.∴//EFHD，∵EF平面ABCD，HD平面ABCD，∴//EF平面ABCD.（2）连接HA.由（1）得H为BC中点，又60CBA，ABC为等边三角形，∴HABC.分别以HB，HA，HE为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.则(1,0,0)B，2,3,3F，0,03E，0,3,0A.3,3,3BF，1,3,0BA，=(2,3,0)EF=(-2,3,0)EF，设平面ABF的法向量为2222,,nxyz.由2200nBFnBA，得22222333030xyzxy令21y，得23,1,2n.42sincos,28EFn，直线EF与平面AFB所成角的正弦值为4228.19.解析：（1）由题意知，从乙生产线生产的产品中随机抽取一次抽中三等品的概率为110，所以22331917()()101010250PC=创+=.（2）甲生产线生产的产品的利润分布列为yt25tp0.60.4所以()Ey甲20.62tt，乙生产线生产的产品的利润分布列为y1t25t2tp0.50.40.1所以20.5(2.1)tEyt乙=+，因为105t，所以()20.10.10(().1)10