第25章ARM官方DSP库FFT变换结果的物理意义

安安富富莱莱UUMM440033DDSSPP教教程程SSTTMM3322--VV55开开发发板板系系统统篇篇手手册册22001155年年0011月月1155日日版版本本：：11..00第第11页页共共66页页第第2255章章FFFFTT变变换换结结果果的的物物理理意意义义FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。本章节的主要内容是讲解FFT变换结果的物理意义。特别声明：部分知识整理自网络。25.1FFT变换结果的物理意义25.2FFT变换的频谱泄露问题25.4总结2255..11FFFFTT变变换换结结果果的的物物理理意意义义2255..11..11理理论论阐阐释释虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍（要满足奈奎斯特采样定律）。采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：F= (n−1)xFN由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号安安富富莱莱UUMM440033DDSSPP教教程程SSTTMM3322--VV55开开发发板板系系统统篇篇手手册册22001155年年0011月月1155日日版版本本：：11..00第第22页页共共66页页并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是：A= a+b相位就是：P=atan2(b,a)根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n=N/2）对应的信号的表达式为：AN/2×cos(2π×F×t+P) 即 A×2N×cos(2π×F×t+P)对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。2255..11..22理理论论计计算算和和MMaattllaabb实实际际计计算算结结果果对对比比下面以一个实际的信号来做说明：假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：x=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何如下：第一步：在matlab上新建.m文件，文件内容如下：Fs=256;%采样率N=256;%采样点数n=0:N-1;%采样序列t=0:1/Fs:1-1/Fs;%时间序列x=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180);%原始信号y=fft(x);%对原始信号做FFT变换M=abs(y);%求FFT转换结果的模值plot(n,M);%绘制FFT转换模值的曲线第二步：运行后显示效果如下：安安富富莱莱UUMM440033DDSSPP教教程程SSTTMM3322--VV55开开发发板板系系统统篇篇手手册册22001155年年0011月月1155日日版版本本：：11..00第第33页页共共66页页第三步：从matlab的工作区获得几个关键点及其附近两个点的幅值：1点，2点，3点的数值如下：50点，51点，52点的数值如下：0501001502002503000100200300400500600安安富富莱莱UUMM440033DDSSPP教教程程SSTTMM3322--VV55开开发发板板系系统统篇篇手手册册22001155年年0011月月1155日日版版本本：：11..00第第44页页共共66页页75点，76点，77点的数值如下：按照上面说的公式，可以计算出：直流分量为：512/N=512/256=2；50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的幅度为：192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。第四步：计算相位计算相位要获取FFT变换后相应频率点幅值的实部和虚部，这里看第一步代码中的y变量数值即可。由于直流信号没有相位可言。这里主要看50Hz的相位和75Hz的相位。1.计算50Hz信号的相位。y变量的第51点对应数值：332.553755053225-192.000000000000i那么atan2(-192,332.553)=-0.5236，这个结果是弧度，换算成角度180*(-0.5236)/pi=-30.0001。这个结果与cos(2*pi*50*t-pi*30/180)中相位是相符的。2.计算75Hz信号的相位。y变量的第76点对应数值：3.43858275186904e-12+192.000000000000i那么atan2(192,3.43858275186904e-12)=1.5708弧度，换算成角度180*1.5708/pi=90.0002。这个结果与cos(2*pi*75*t+pi*90/180)中的相位是相符的。总结根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号。总的来说，这个过程就是这样：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信安安富富莱莱UUMM440033DDSSPP教教程程SSTTMM3322--VV55开开发发板板系系统统篇篇手手册册22001155年年0011月月1155日日版版本本：：11..00第第55页页共共66页页号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法大家可参考相关文献。2255..22FFFFTT变变换换的的频频谱谱泄泄露露问问题题为了说明频谱泄露的问题，这里我们具一个求解方波FFT变换的例子。在matlab中运行如下代码：Fs=256;%采样率N=256;%采样点数n=0:N-1;%采样序列t=0:1/Fs:1-1/Fs;%时间序列x=square(2*pi*30*t,50);%原始信号y=fft(x);%对原始信号做FFT变换M=abs(y);%求FFT转换结果的模值plot(n,M);%绘制FFT转换模值的曲线运行代码，输出结果如下：与方波的理论计算值相比，上面的幅频响应图中出现了很多小毛刺，其实这个就是频谱泄露的结果导致的。050100150200250300020406080100120140160180安安富富莱莱UUMM440033DDSSPP教教程程SSTTMM3322--VV55开开发发板板系系统统篇篇手手册册22001155年年0011月月1155日日版版本本：：11..00第第66页页共共66页页下面就说说什么是频谱泄露：对于频率为fs的正弦序列，它的频谱应该只是在fs处有离散谱。但是，在利用DFT求它的频谱做了截短，结果使信号的频谱不只是在fs处有离散谱，而是在以fs为中心的频带范围内都有谱线出现，它们可以理解为是从fs频率上“泄露”出去的，这种现象称为频谱“泄露（结合上面的例子就更形象了）。在实际问题中遇到的离散时间序列x(n)通常是无限长序列，因而处理这个序列的时候需要将它截短。截短相当于将序列乘以窗函数w(n)。根据频域卷积定理，时域中x(n)和w(n)相乘对应于频域中它们的离散傅立叶变换X(jw)和W(jw)的卷积。因此，x(n)截矩后的频谱不同于它以前的频谱。为了减小频谱“泄露”的影响，往往在FFT处理中采用加窗技术，典型的加窗序列有Hamming、Blackman、Gaussian等窗序列。此外，增加窗序列的长度也可以减少频谱“泄露”。时域上乘上窗函数，相当于频域进行卷积。长度为无穷长的常数窗函数，频域为delta函数，卷积后的结果和原来一样。如果是有限矩形窗，频域是Sa函数，旁瓣电平起伏大，和原频谱卷积完，会产生较大的失真。窗的频谱，越像delta函数（主瓣越窄，旁瓣越小），频谱的还原度越高。于是，就产生了那么多bt的窗函数。加窗就不可避免频谱泄漏，典型的加权序列有Hamming、Blackman、Gaussian等窗序列主要是为了降低降低旁瓣，对于降低频谱泄漏效果远不如增加窗序列的长度明显。周期信号加窗后做DFT仍然有可能引起频谱泄露，设fs为采样频率，N为采样序列长度，分析频率为：m*fs/N（m=0，1....)，以cos函数为例，设其频率为f0,如果f0不等于m*fs/N，就会引起除f0以外的其他m*fs/N点为非零值，即出现了泄露。DFT作为有限长的运算，对于无限长的信号必须要进行一定程度的截断，既然信号已经不完整了，那么截断后的信号频谱肯定就会发生畸变，截断由窗函数来完成，实际的窗函数都存在着不同幅度的旁瓣，所以在卷积时，除了离散点的频率上有幅度分量外，在相邻的两个频率点之间也有不同程度的幅度，这些应该就是截断函数旁瓣所造成的。2255..33总总结结通过本章节的讲解，大家应该对FFT变换结果的物理意义应该有更深入的理解了，通过后面章节的继续会让大家有更加深入的认识。