2012届高三数学最新复习课件数系的扩充与复数的引入(共49张PPT)

§4.4数系的扩充与复数的引入考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§4.4数系的扩充与复数的引入双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如_______________的数叫复数，其中实部为___，虚部为____若_______，则a＋bi为实数，若____________，则a＋bi为纯虚数复数相等a＋bi＝c＋di⇔____________(a、b、c、d∈R)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔________________________复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面，x轴叫________，y轴叫________实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的模向量的模r叫作复数z＝a＋bi的模|z|＝|a＋bi|＝___________a＋bi(a，b∈R)abb＝0a＝0且b≠0a＝c且b＝da＝cd＝－b(a，b，c，d∈R)实轴虚轴a2＋b2OZ→思考感悟任意两个复数都能比较大小吗？提示：不一定，只有这两个复数全是实数时才能比较大小．2．复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点_________与平面向量OZ→(a，b∈R)是一一对应的关系．Z(a，b)3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝_______________________②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝_______________________③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝_______________________(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝___________________(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，都有z1＋z2＝___________，(z1＋z2)＋z3＝_________________．ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2iz2＋z1z1＋(z2＋z3)(3)乘法的运算律z1·z2＝_______(交换律)，(z1·z2)·z3＝___________(结合律)，z1(z2＋z3)＝__________(乘法对加法的分配律)．(4)正整数指数幂的运算律zm·zn＝_________，(zm)n＝_______，(z1z2)n＝__________(m，n∈N＋)．z2·z1z1·(z2·z3)z1z2＋z1z3zm＋nzmnz1n·z2n1．(2010年高考北京卷)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i答案：C课前热身2．i是虚数单位，i(1＋i)等于()A．1＋iB．－1－iC．1－iD．－1＋i答案：D答案：A3．(2010年高考湖南卷)复数21－i等于()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i4．(教材习题改编)已知z1＝2－i，z2＝a＋bi(a，b∈R)，且z1·z2＝1，则z2的共轭复数对应的点位于第________象限．答案：四5．复数2i2＋i3的虚部为________．答案：45考点探究•挑战高考考点突破复数的概念复数的概念在考试中常出现的类型有：(1)复数概念的辨析；(2)复数的有关分类；(3)复数相等条件的应用；(4)复数与复平面的对应关系．对于具体题目可结合选项一一分析作答．(1)(2009年高考江苏卷)若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为______．(2)(2009年高考陕西卷)已知z是纯虚数，z＋21－i是实数，那么z等于()A．2iB．iC．－iD．－2i例1(3)(2010年高考陕西卷)复数z＝i1＋i在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【思路点拨】正确理解复数的概念，即对于z＝a＋bi(a，b∈R)，其实部为a，虚部为b.(1)中首先对算式进行四则运算，化为最简形式，再确定其实部；(2)要根据z是纯虚数，设出z，代入z＋21－i，根据其为实数列方程解决；(3)要把z化为最简形式，再根据复数的几何意义求解．【解析】(1)因为(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，所以可知复数(z1－z2)i的实部为－20.(2)设z＝yi(y∈R，且y≠0)，则yi＋21－i＝2－y＋y＋2i2∈R，∴2＋y＝0，则y＝－2，∴z＝－2i，故选D.(3)因为z＝i1＋i＝i1－i1＋i1－i＝1＋i1＋1＝12＋12i，所以其对应的点(12，12)位于第一象限，故选A.【答案】(1)－20(2)D(3)A【规律小结】(1)复数的分类：复数a＋bi(a，b∈R)实数b＝0虚数b≠0纯虚数a＝0非纯虚数a≠0(2)在复平面内，实数全部落在实轴即x轴上，纯虚数在除原点外的虚轴即y轴上，而其他复数均在四个象限内．在第一象限a0，b0；第二象限a0，b0；第三象限a0，b0；第四象限a0，b0.变式训练1当实数m为何值时，z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，(1)为纯虚数；(2)为实数；(3)对应的点在复平面内的第二象限内？解：(1)若z为纯虚数，则lgm2－2m－2＝0，m2＋3m＋2≠0.解得m＝3.(2)若z为实数，则m2－2m－20m2＋3m＋2＝0，解得m＝－1或m＝－2.(3)若z的对应点在第二象限，则lgm2－2m－20，m2＋3m＋20.解得－1m1－3或1＋3m3.复数的加减、乘、法运算类似于多项式的加、减、乘法运算，而复数的除法是通过分母的实数化转化为复数的乘法运算．复数的代数运算【思路点拨】运用复数的四则运算法则求解．(1)(2010年高考重庆卷)已知复数z＝1＋i，则2z－z＝________.(2)(2010年高考广东卷)若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝()A．4＋2iB．2＋iC．2＋2iD．3＋i例2【答案】(1)－2i(2)A【方法总结】复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，将结果写成a＋bi的形式．【解析】(1)2z－z＝21＋i－(1＋i)＝21－i1＋i1－i－(1＋i)＝(1－i)－(1＋i)＝－2i.(2)z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝3－i＋3i－i2＝4＋2i.变式训练2计算：(1)－1＋i2＋ii3；(2)1＋2i2＋31－i2＋i；(3)1－i1＋i2＋1＋i1－i2；(4)1－3i3＋i2；(5)(1＋i2)2009＋(1－i2)2009.解：(1)－1＋i2＋ii3＝－3＋i－i＝－1－3i.(2)1＋2i2＋31－i2＋i＝－3＋4i＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i2－i5＝15＋25i.(3)1－i1＋i2＋1＋i1－i2＝1－i2i＋1＋i－2i＝1＋i－2＋－1＋i2＝－1.(4)1－3i3＋i2＝3＋i－i3＋i2＝－i3＋i＝－i3－i4＝－14－34i.(5)(1＋i2)2009＋(1－i2)2009＝122009[(1＋i)2008·(1＋i)＋(1－i)2008·(1－i)]＝122009[(2i)1004·(1＋i)＋(－2i)1004·(1－i)]＝12[(1＋i)＋(1－i)]＝2.结合复数的几何意义、运用数形结合的思想，可把复数、解析几何有机地结合在一起，达到了学科内的融合，而且解题方法更灵活．复数运算的几何意义已知复数z满足|z|＝1，求|z－(1＋i)|的最大值与最小值．【思路点拨】|z|＝1⇒复数z对应的点是以原点为圆心，1为半径的圆上的点⇒所求即为圆上的点到点(1,1)的距离的最大值、最小值．例3【解】法一：因为|z|＝1，所以z是单位圆x2＋y2＝1上的点，而|z－(1＋i)|表示单位圆上的点到(1,1)点的距离．所以最大值为0－12＋0－12＋1＝2＋1，最小值为0－12＋0－12－1＝2－1.法二：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x2＋y2＝1，令x＝cosθ，y＝sinθ，则|z－(1＋i)|＝x－12＋y－12＝x2＋y2－2x－2y＋2＝3－2x＋y＝3－2cosθ＋sinθ＝3－22sinθ＋π4.∴|z－(1＋i)|max＝3＋22＝2＋1，|z－(1＋i)|min＝3－22＝2－1.【规律小结】(1)复数点与向量的对应关系；(2)|z|表示复数z对应的点与原点的距离．(3)|z1－z2|表示两点间的距离，即表示复数z1与z2对应点间的距离．变式训练3实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)与复数2－12i相等；(2)与复数12＋16i互为共轭复数；(3)对应的点在x轴上方；(4)对应的点在直线x＋y＋5＝0上．解：(1)根据复数相等的充要条件得m2＋5m＋6＝2，m2－2m－15＝－12.解之得m＝－1.(2)根据互为共轭复数的定义得m2＋5m＋6＝12，m2－2m－15＝－16.解之得m＝1.(3)根据复数z对应点在x轴上方可得m2－2m－15＞0，解之得m＜－3或m＞5.(4)复数z对应的点(m2＋5m＋6，m2－2m－15)在直线x＋y＋5＝0上，即(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，解得m＝－3－414或m＝－3＋414.方法技巧1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)必须强调a，b均为实数，方可得出实部为a，虚部为b.(如例1)2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识．(如例3)方法感悟3．复数问题实数化是解决复数问题最基本的也是最重要的思想方法，其转化的主要依据就是复数相等的充要条件．基本思路是：设出复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，由复数相等可以得到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定两个独立的基本量．根据复数相等一般可解决如下问题：①解复数方程；②方程有解时系数的值；③求轨迹方程问题．(如例3)4．复数代数形式的运算是复数部分的重点，其基本思路就是应用运算法则进行计算．复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)与(a＋b)(a－b)＝a2－b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误．(如例2)1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．2．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．失误防范4．对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分，但却有相等与不等之分．5．数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等．3．要记住一些常用的结果，如i、－