正态分布课件

8.3正态分布曲线1.两点分布：3.超几何分布：2.二项分布：一、复习回顾：);1,0(,1)0(,)1(ppXPpXP),1(~pBX),(~pnBX;,,0,1)(nkppCkXPknkkn),,(~nMNHxmkCCCkXPnNknMNkM,,1,0,)(你是否认识它？二、创设情境：图中每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间。从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻璃球，当小圆球向下降落过程中，碰到钉子后皆以1/2的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子。如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止。把许许多多同样大小的小球不断从入口处放下，只要球的数目相当大，它们在底板将堆成近似于正态的密度函数图形（即：中间高，两头低，呈左右对称的古钟型），其中n为钉子的层数。这是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型，称为高尔顿钉板（或高尔顿板）。三、探究思考：1、我们也来玩一玩.,,.,,2率分布直方图可以画出频为纵坐标入各个球槽内的频率值小球落以以球槽的编号为横坐标律探究一下小球的分布规度我们进一步从频率的角况个球槽内的小球分布情落在在各验次数的增加为了更好地考察随着试、05.010.015.020.025.030.035.0O1234567891011槽的编号组距频率/思考：随着试验次数和分组数的增多，频率直方图的形状会呈现什么样的变化？.,线会越来越像一条钟形曲这个频率直方图的形状随着重复次数的增加Oxy在上面游戏中得到的总体密度曲线就是或近似地是以下函数的图象：1、正态曲线的定义：函数式中的实数μ、σ(σ0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，称P（x）的图象称为正态曲线四、定义：xexPx,21)(222思考：2、上面的表达式有什么特点？3、回忆一下前面学习必修1时我们学习函数，可以从哪些方面研究它？答：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等012-1-2x-33X=μσ正态曲线xexPx,21)(222归纳、总结：012-1-2x-33X=μσ正态曲线xexPx,21)(222（１）曲线位于x轴上方,与x轴不相交；（２）曲线是单峰的,它关于对称；（３）曲线在处达到峰值；（４）曲线与ｘ轴之间的面积为1；x,x（２）曲线是单峰的,它关于对称；（３）曲线在处达到峰值；（４）曲线与ｘ轴之间的面积为1；xx21归纳、总结：对函数图像的影响与、探究4（1）思考：式子中有两个变化的参数，我们可以看成两个变量，但是双变量会对我们的研究造成一定的困难，同学们有什么好的办法吗？针对解析式中含有两个参数，较难独立分析参数对曲线的影响，这里通过固定一个参数，讨论另一个参数对图象的影响，这样的处理大大降低了难度2、观察、归纳、总结：σ＝0.5σ＝1σ＝2Oｘμ=-1μ＝0μ＝1Oｘσ一定μ一定1、当σ一定时，曲线随μ的变化而沿x轴平移；2、当μ一定时，σ影响了曲线的形状．即：σ越小，则曲线越瘦高，表示总体分布越集中；σ越大，则曲线越矮胖，表示总体分布越分散．结论：xy0ab中的概率呢？落在区间态分布密度曲线求出如图，我们如何通过正、思考：],(1ba五、正态分布：baaFbFdxxpbxaP)()()()(答：则称X的分布为正态分布.正态分布由参数、唯一确定,、分别表示总体的平均数与标准差.正态分布记作N（，2）.其图象称为正态曲线.如果对于任何实数ab,随机变量X满足:记作：X~N(,2)。（EX=DX=）baaFbFdxxpbxaP)()()()(2、定义：3、标准正态分布：.,1,0~2110222xNXxexx其分布函数记为简记为：时，称为标准正态分布，特别的，当99.7%（μ－3σ，μ＋3σ]95.4%（μ－2σ，μ＋2σ]68.3%（μ－σ，μ＋σ]取值概率区间99.7%（μ－3σ，μ＋3σ]95.4%（μ－2σ，μ＋2σ]68.3%（μ－σ，μ＋σ]取值概率区间六、3σ原则对于正态分布，随机变量X在μ的附近取值的概率较大，在离μ很远处取值的概率较小：之间的值，并简称为：，只取的随机变量为服从于正态分布在实际应用中，通常认33-),(2XN原则。3七、有关正态分布的随机变量的有关概率计算：知识点1：标准正态分布的随机变量的有关概率可以通过查表（见附录1：标准正态分布表）)49.1()4();3.257.0()3();52.1()2();52.1(1),1,0(~1XPXPXPXPNX）（查表，求若随机变量：例题06811.093189.01)49.1(1)49.1()49.1()4(;27358.057.03.2)57.0()3.2()3.257.0()3(;93574.01)52.1(1)52.1()2(;93574.0)52.1()52.1(1XPXPXPXPXPXPXPXPXP）解：（0),(12;)(1),,(~22xxxxxFXNX依据如下关系：取值的概率计算主要则有关设：知识点13595.012246248)6()8()86()2,4(~2FFxPNX由题意：解：);86(24),,(~22xPNX，求，设：例题1．正态分布密度函数及正态曲线完全由变量μ和σ确定．参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．2．对于正态曲线的性质，应结合正态曲线的特点去理解、记忆．[例1]如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．[思路点拨]给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式．[精解详析]从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.由12π·σ＝12π，得σ＝2.于是概率密度函数的解析式是f(x)＝12π·e2(20)4x，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.[一点通]利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ.1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝18πe2(10)8x，则这个正态总体的均值与标准差分别是()A．10与8B．10与2C．8与10D．2与10解析：由正态曲线f(x)＝12πσe2()8x知，2πσ＝8π，μ＝10，即μ＝10，σ＝2.答案：B2．如图是正态分布N(μ，σ21)，N(μ，σ22)，N(μ，σ23)(σ1，σ2，σ30)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ1σ2σ3B．σ3σ2σ1C．σ1σ3σ2D．σ2σ1σ3解析：由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1σ2σ3.答案：A[例2]在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．[思路点拨]解答本题可先求出X在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．[精解详析]由题意得μ＝1，σ＝2，所以P(－1X3)＝P(1－2X1＋2)＝0.6826.又因为正态曲线关于x＝1对称，所以P(－1X1)＝P(1X3)＝12P(－1X3)＝0.3413.[一点通]解答此类问题的关键在于充分利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化，在此过程中注意数形结合思想的运用．3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.解析：若随机变量X～N(μ，σ2)，则其正态密度曲线关于x＝μ对称，故P(X≤μ)＝12.答案：124．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(Xc＋1)＝P(Xc－1)，则c＝________.解析：∵μ＝2，P(Xc＋1)＝P(Xc－1)，∴c＋1＋c－12＝2，解得c＝2.答案：2解：∵X～N(5,1)，∴μ＝5，σ＝1.因为该正态曲线关于x＝5对称，所以P(5X7)＝12P(3X7)＝12×0.9544＝0.4772.5．若X～N(5,1)，求P(5X7)．[例3](10分)据调查统计，某市高二学生中男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(174,9)．若该市共有高二男生3000人，试估计该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数．[思路点拨]因为μ＝174，σ＝3，所以可利用正态分布的性质可以求解．[精解详析]因为身高X～N(174,9)，所以μ＝174，σ＝3，(2分)所以μ－2σ＝174－2×3＝168，μ＋2σ＝174＋2×3＝180，所以身高在(168,180]范围内的概率为0.9544.(6分)又因为μ＝174.所以身高在(168,174)和(174,180)范围内的概率相等，均为0.4772，故该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数是3000×0.4772≈1432(人)．(10分)[一点通]解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将所求概率向P(μ－σXμ＋σ)，P(μ－2σXμ＋2σ)，P(μ－3σXμ＋3σ)进行转化，然后利用特定值求出相应的概率．同时要充分利用好曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这一特殊性质．1、已知X~N(0,1)，则X在区间内取值的概率A、0.9544B、0.0456C、0.9772D、0.0228(,2)2、设离散型随机变量X~N(0,1),则=,=.(0)PX(22)PXD0.50.95443、若已知正态总体落在区间的概率为0.5，则相应的正态曲线在x=时达到最高点。(0.3,)0.34、已知正态总体的数据落在（-3,-1）里的概率和落在（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是。1练一练：因为P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974，所以正态总体X几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，这是一个小概率事件，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．这是统计中常用的假设检验基本思想．1．正态曲线态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝e，x∈R，其中参数μ为正态分布变量的，μ∈()；σ为正态分布变量的,σ∈．正态变量的概率密度函数(即f(x))的叫做正态曲线．期望为μ，标准差为σ的正态分布通常记作，μ＝0，σ＝1的正态分布叫．数学期望－∞，＋∞标准差(0，＋∞)图象N(μ，σ2)标准正态分布12π·σe22()2x2．正态曲线的性质(1)曲线在x轴的，并且关于直线对称；(2)曲线在时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐，呈现“”的形状；(3)曲线的形状由参数σ确定，σ越，曲线“矮胖”；σ越，曲线越“高瘦”．上方x＝μx＝μ降低中间高，两边低大小3．正态分布的3σ原则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%；P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝；P(μ－3σ＜X＜μ＋2σ)＝.正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．95.4%99.7%归纳小结正态曲线的性质（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（2）曲线关