第四节-有理函数不定积分-PPT文档资料44页

第四节有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分三、简单无理函数的不定积分二、三角函数有理式的不定积分一、有理函数的不定积分两个多项式的商表示的函数称为有理函数.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxPxR11101110)()()(其中m、n都是非负整数;a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是实数，并且a00,b00.nm,R(x)称为真分式；nm,R(x)称为假分式.利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例如1123xxx.112xx一个真分式总可以分解成若干个部分分式之和.其中部分分式的形式为：)04,N(2qpkkkqxpxNxMaxA)(;)(2难点将有理函数化为部分分式之和.（1）分母中若有因式，则分解后为kax)(,)()(121axAaxAaxAkkk有理函数化为部分分式之和的一般规律：其中kAAA,,,21都是常数.特殊地：,1k分解后为;axA（2）分母中若有因式，其中kqpxx)(2则分解后为042qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk21222211)()(其中iiNM,都是常数),,2,1(ki.特殊地：,1k分解后为;2qpxxNMx真分式化为部分分式之和的待定系数法6532xxx)3)(2(3xxx,32xBxA),2()3(3xBxAx),23()(3BAxBAx,3)23(,1BABA,65BA6532xxx.3625xx例12)1(1xx,1)1(2xCxBxA)1()1()1(12xCxBxxA代入特殊值来确定系数CBA,,取,0x1A取,1x1B取,2xBA,并将值代入)1(1C.11)1(112xxx2)1(1xx例2例3.1515221542xxx)1)(21(12xx),21)(()1(12xCBxxA,)2()2(12ACxCBxBA,1,02,02CACBBA,51,52,54CBA,1212xCBxxA)1)(21(12xx整理得四种典型部分分式的积分:.lnCaxA),1(Nnn.)(11CaxnAnxaxAd.1xaxAnd)(.2xqxpxNxMd.32xqxpxNxMnd)(.42),1,04(2Nnnqp变分子为2)2(2MpNpxM再分项积分.说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：)1(多项式；;)()2(naxA;)()3(2nqpxxNMx这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论有理函数的原函数都是初等函数.,)()()(为真分式设xQxPxR求的步骤：xxRd)(1.将Q(x)在实数范围内分解成一次式和二次质因式的乘积.2.将拆成若干个部分分式之和.)()()(xQxPxR(分解后的部分分式必须是最简分式).3.求出各部分分式的原函数,即可求得.d)(xxR例4求积分.d)1(12xxxxxxd)1(12xxxxd11)1(112xxxxxxd11d)1(1d12.1ln11lnCxxx解例5求积分解.d221132xxxxxxxxxd15152d21542xxxd)1)(21(12xxxxxxd1151d125121ln5222.arctan511ln5121ln522Cxxxxxxxd221132例6求积分解.d3222xxxx原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2()1()1d(3xx.21arctan23Cx例7求积分解原式.d)22(222xxxxxxxd)22(22)22(2xx)22(x1)1(d2xx222)22()22d(xxxx)1arctan(x.2212Cxx注意将有理函数分解为部分分式求积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构特点，灵活处理，寻求简便的方法求解.例8求积分.d)1(132xxx解,1xt令原式tttd1)1(32ttttd)221(32＋||lntt2Ct21.)1(112|1|ln2Cxxx由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角函数有理式.二、三角函数有理式的不定积分一般记为R(sinx,cosx).,2tanxu令,12sin2uux,11cos22uux,arctan2ux则uuxd12d2dxxxR)cos,(sin.d12)11,12(2222uuuuuuR(万能代换公式)化为了u的有理函数的积分.例1求积分1dx.5-3cosx例2求积分1dx.3sinx+4cosx例3求积分.dsin14xx比较以上三种解法,便知万能代换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能代换.例4求积分).0,0(dsincos12222baxxbxa说明:通常求含xxxxcossincos,sin22及的积分时,xutan往往更方便.的有理式用代换例5求积分.)0,0(d)cossin(12baxxbxa三、简单无理函数的不定积分被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.讨论类型(主要三种),d),(.1xbaxxRnnbxat令,d),(.2xxRndxcbxandxcbxat令,d),,(.3xbaxbaxxRmn,pbxat令.,的最小公倍数为其中nmp例1求积分解.21d3xx,23xt令,23tx则,d3d2ttx原式tttd132tttd11)1(32tttd)111(33221ttt1lnC32)2(23x323x321ln3x.C例2求积分.d1113xxx解,16xt令,dd65xttttttd61523tttd163Ctttt|1|ln663223.)11ln(6161312663Cxxxx原式ttttd)111(62,16xt则例3求积分解,1xxt令,112tx则,d)1(2d22tttx原式tttttd)1(2)1(222.d11xxxxtttd1222ttd)111(22t211lnttCxx12Cxxx2)11(lnxx12.1212lnCxxx例4求积分.1213dxxxx解先对分母进行有理化原式dxxxxxxxx)1213)(1213()1213(dxxx)1213()13(1331xdx)12(1221xdx.)12(31)13(922323Cxx1.有理函数分解成部分分式之和的积分.(注意：必须化成真分式)四、小结2.简单无理函数的积分.(用根式代换化为有理函数的积分)3.三角函数有理式的积分.(万能代换公式)(注意：万能公式并不万能)思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？解答分解后的部分分式必须是最简分式.一、填空题：1、dxxxCBxxAdxx111323，其A____,B________,C__________；2、dxxCxBxAdxxxx111111222,其中A_____,B_____,C_______；3、计算,sin2xdx可用万能代换xsin___________,dx_____________；4、计算,mbaxdx令t___,x___,dx____.练习题5、有理函数的原函数都是_________.二、求下列不定积分：1、321xxxxdx；2、xxxdx221；3、dxx411；4、xdx2sin3；5、5cossin2xxdx；6、dxxx1111；7、xdxxx11；8、342)1()1(xxdx.三、求下列不定积分（用以前学过的方法）：1、dxxx31；2、dxxxxsincos1；3、241xxdx；4、dxxx32cossin；5、dxxx283)1(；6、dxxxsin1sin；7、dxxxxx)(33；8、dxexexx2)1(；9、dxxx22)]1[ln(；10、xdxxarcsin12；11、dxxxxxcossincossin；12、))((xbaxdx.二、1、Cxxx34)3)(1()2(ln21；2、Cxxxxarctan21)1()1(ln41224；3、)12arctan(421212ln8222xxxxxC)12arctan(42；一、1、2,1,1；2、-1,21,21；3、2212,12uduuu；4、bax,abt2,dtat2；5、初等函数.练习题答案4、Cx3tan2arctan321；5、Cx512tan3arctan51；6、Cxxx)11ln(414；7、xxxx1111lnCxx11arctan2,或Cxxxarcsin11ln2；8、Cxx31123.三、1、Cxx11)1(212；2、Cxx)sinln(；3、Cxxxx233213)1(；4、Cxxxx)tanln(sec21cos2sin2；5、Cxxx484arctan81)1(8；6、Cxx2tan12,或Cxxxtansec；7、Cxx66)1(ln；8、Ceexexxx)1ln(1；9、Cxxxxxxx2)1ln(12)]1[ln2222；10、xxxxarcsin124)(arcsin22Cx42；11、Cxxxxsin21cos21ln221)cos(sin21；12、Cxbaxarctan2.有理函数化为部分分式之和的一般方法:例将下列真分式分解为部分分式:;)1(1)1(2xx;653)2(2xxx.)1)(21(1)3(2xx解(1)拼凑法22)1()1(1xxxx2)1(1x)1(1xx2)1(1x)1(xx2)1(1x11x.1x)1(xx)1(xx653)(2xxxxR)3)(2(3xxx2xA,3xB2)]()2[(xxRxA233xxx,53)]()3[(xxRxB323xxx,6256532xxxx.36x(2)赋值法(3)待定系数法.1515221542xxx)1)(21(12xx),21)(()1(12xCBxxA,)2()2(12ACxCBxBA,1,02,02CACBBA即有,51,52,54CBA,1212xCBxxA)1)(21(12xx整理得四种典型