搜索
《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生第五章μ分析与综合方法5.1有结构不确定性考虑下图所示反馈控制系统。上图所示系统等价于下图所示系统：P2Δ1ΔK2W1WPK2W1W1200ΔΔ()sΔ()Ms()sΔ()Ms《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生其中的模型摄动()sΔ具有对角块结构。有结构摄动()sΔ=Δ{}1212s1211diagjjsmmrrrFijsFijijI,I,,I;,,,,rmnδδδΔΔΔδΔ×===∈∈+=∑∑ΔCC称Δ为结构集合。令(){}(){}11,,ΔΔσΔΔΔσΔ=∈≤=∈BΔΔBΔΔD5.2结构奇异值μ及其性质假设()sΔ和()Ms均是稳定的，则当()σΔ充分小时，闭环系统是稳定的。若存在s+∈C，使得()()det0IMssΔ−=⎡⎤⎣⎦则闭环系统不稳定。显然，当1MΔ∞∞时，即1MΔ∞∞时，闭环系统是稳定的。由定义()()()():supsupsMMsMjωσσω+∞∈∈==RC对于给定的s+∈C，()()Msσ可写成()()()()(){}1mindet0MsIMs,σσΔΔΔ=−=为无结构的即M的最大奇异值的倒数是导致闭环系统不稳定的（最大奇异值）最小无结构Δ的一个度量。当考虑Δ的结构时，即对于()sΔ∈Δ，定义()sΔ()Ms《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生()()()()(){}1mindet0MsIMs,μσΔΔΔ=−=∈ΔΔ为有结构的称之为M关于有结构复值不确定性Δ的的最大的结构奇异值。如果不存在()sΔ∈Δ，使得()()det0IMsΔ−=，则令()()0Msμ=Δ。●由定义可证()()maxMMΔμρΔ∈=ΔBΔ其中()Aρ表示A的谱半径。●当{}nI,δδ=∈ΔC时，则()()MMMμρ==Δ的谱半径。●当{}nnΔ×=∈ΔC（即无结构）时，则()()MMμσ=Δ。因为{}nnnI,δδ×∈⊂⊂CΔC，所以，对于一般情形，()()()MMMρμσ≤≤Δ上述对于结构奇异值的界是保守的：假设1200δΔδ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当000Mβ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦时，()()()0MM,Mρμσβ===。当11221122M⎡⎤−⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎣⎦时，()()()01M,MMρμσ===。(注意：()12det12IMδδΔ−−=+)为了减小此保守性，考虑对M作变换，其不影响()Mμ的值，但会改变()Mρ和()Mσ的值。定义nn×C中的两个集合：{}nUUUI∗=∈=UΔ1111100FFiismFmmrriiijjdiagD,,D,dI,,dI,IDC,DD,d,d−−×∗⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎣⎦=⎨⎬∈=∈⎪⎪⎩⎭DR易知，对于Δ∈Δ，U∈U，D∈D，成立《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生()()()U,U,UUUDDΔΔσΔσΔσΔΔΔ∗∗∈∈∈===UΔΔ●对于任意U∈U和任意D∈D，成立()()()()1MMMDDMUUμμμμ−===ΔΔΔΔ证明：()()()()111detdetdetdetI-MI-MI-DDDDDDMI-MΔΔΔΔ−−−===()()()()()detdetdetUI-MI-MI-MUUUΔΔΔ∗∗==因此关于()MμΔ的界可收紧为()()()1infDUUMMDMDρμσ−∈∈≤≤ΔDUmax●下界为等式，即()()UMUMμρ∈=ΔUmax●当23SF+≤时，上界为等式，即()()1infDMDMDμσ−∈=ΔD对于一般情形，()MμΔ不等于()1infDDMDσ−∈D，但对于多数情形，()MμΔ与()1infDDMDσ−∈D近似等于。●计算()1infDDMDσ−∈D是一凸优化问题，但求()maxUUMρ∈U不是凸优化问题。5.3结构奇异值μ与常数线性分式变换设M为一复数矩阵，将其分块为11122122MMMMM⎡⎤=⎢⎥⎣⎦定义维数分别与11M和22M相匹配的结构集合1Δ和2Δ，并定义结构集合：11122200,ΔΔΔΔ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=∈∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭ΔΔΔ《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生●当222IMΔ−非（恒）奇异，即可逆时，线性分式变换(LFT)()2lFM,Δ有定义（为适定的）。（注意()()121112222221lFM,MMIMMΔΔΔ−=−−）●定理：（1）对于任意2Δ∈2BΔ，()2lFM,Δ为适定的iff()2221MμΔ（2）对于任意2Δ∈2BΔD，()2lFM,Δ为适定的iff()2221Mμ≤Δ证：如果()()22222222max1MMΔμρΔ∈=ΔBΔ，则显然，对于任意2Δ∈2BΔ，222IMΔ−非奇异。如果()22222max1MΔρΔ∈≥BΔ，则存在2aΔ∈BΔ，λ和ξ，成立22aMΔξλξ=，其中1λ≥。令ba/ΔΔλ=，则2bΔ∈BΔ，且22bMΔξξ=，因此22bIMΔ−奇异。故如果对任意2Δ∈2BΔ，222IMΔ−非奇异，即()2lFM,Δ为适定的，则必有()2221MμΔ。●主回路定理：()1MμΔiff()2221MμΔ且()()122max1lFM,ΔμΔ∈2ΔBΔ()1Mμ≤Δiff()2221Mμ≤Δ且()()122max1lFM,ΔμΔ∈≤2ΔBΔD证明：仅证第一个结论，可类似证明第二个结论。“if”部分：给定iiΔ∈Δ，满足()1iσΔ≤，12i,=，定义()sΔ()Ms()1sΔ()Ms()2sΔ()1sΔ()2lFM,Δ《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生1200ΔΔΔ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦Δ由()2221MμΔ知222IMΔ−可逆，所以有()()()()()()()111122211222122211112222221122221detdetdetdetdetdetlIMMIMMIMIMIMMIMMIMIFM,ΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔ−−−⎡⎤−=⎢⎥−−⎣⎦=−−−−=−−由()()122max1lFM,ΔμΔ∈2ΔBΔ以及iiΔ∈BΔ，知()21lIFM,ΔΔ−非奇异，因此，IMΔ−非奇异，故有()()max1MMΔμρΔ∈=ΔBΔ“onlyif”部分：由()MΔμ的定义易知()()(){}121122maxMM,MΔΔΔμμμ≥()1MμΔ意味着()2221MμΔ，因此222IMΔ−可逆，且成立()()()()222210detdetdetlIMIMIFM,ΔΔΔΔ≠−=−−故对任意iiΔ∈BΔ，()21lIFM,ΔΔ−非奇异，即()()122max1lFM,ΔμΔ∈2ΔBΔ5.4有结构摄动系统鲁棒稳定性对于分块结构集合{}11s1diagjjsmmrrFijI,,I;,,,δδΔΔδΔ×=∈∈ΔCC定义()()(){}oos,sΔΔ∞+=•∈∈∀∈MΔRHΔC●定理：假设()Gs∞∈RH，()()Δ•∈MΔ且1Δβ∞，则有结构摄动反馈系统是适定的且内稳定，iff()()supGjωμωβ∈≤ΔR()sΔ()Gs1w1e2e2w++《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生证明：由()GμΔ的定义可容易证的。例：考虑下图示系统的鲁棒稳定性。其中()()[]112640010000160160161100641111601616HHHHHsCsIABD.sI..s.s−−=−+⎛⎞⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=−+⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎠⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦()78543us.Wss+=+()23212561732672820371367417946.s.s.Kss.s.s.−++=+++则()()1211601616104uFH,s.s.δδ=++−（若11δ≤，意味着存在40%的参数不确定性）定义()1200sδΔδ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对M分块：11122122MMMMM⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其为中11M和22M分别为22×和12×矩阵。则上图所示系统的等价描述如下图所示。()Hs()Ksude1w++1δ18152δuWy+2w2zn1z《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生欲分析上述系统的鲁棒稳定性，只需对下图所示系统进行分析。1输入数据rsexamp;%createsdataminfo(M)2计算频率相应，选取上面两个通道以分析鲁棒稳定性omega=logspace(-2,2,200);M_g=frsp(M,omega);M11_g=sel(M_g,1:2,1:2);3定义不确定结构描述矩阵(1个实参数，1个未建模动态)deltaset=[-10;11];4计算()()11MjμωΔ[mubnds,dvec,sens,pvec,gvec]=mu(M11_g,deltaset);5绘图vplot('liv,m',mubnds)pkvnorm(sel(mubnds,1,1))[pklow,omegapklow]=pkvnorm(sel(mubnds,1,2))()Ms1w2w1z2zdne1δ2δ()sΔ()11Ms《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生()()11MjμωΔ的上、下界很接近，最大值约为0.89。因此，当()2sδ∞∈RH且()111212089i.i,.δ∞≈=时，闭环系统鲁棒稳定。如果不考虑Δ的结构，由于1113428M.∞≈为保证闭环系统鲁棒稳定，要求10.744713428i.δ∞≈可见，考虑不确定性的结构时，所得结果的保守性更小。5.5有结构摄动系统鲁棒性能考虑如图所示有结构摄动反馈系统，其中()()()()()()()121211122122ppqqGsGsGsGsGs+×+∞⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦RH令()sΔ()Gswz《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生112200qpqppff,ΔΔΔΔ××⎧⎫⎡⎤⎪⎪=∈⊂∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭ΔΔCCΔ为分块结构集合●定理：假设()()Δ•∈MΔ且1Δβ∞，则有结构摄动反馈系统是适定的、内稳定的、且()uFG,Δβ∞≤，iff()()suppGjωμωβ∈≤ΔR例：考虑图示系统的鲁棒性能。其等价描述为()Hs()Ksude1w++1δ18152δuWy+2w2zn1z()Ms1w2w1z2zdne1δ2δ()psΔ()Gs《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生由定理可知，需分析()Ms关于pΔ的μ值。由图可知，()()sup102pMj.ωμω∈≈ΔR，因此，当112102i,i,.δ∞=时，闭环系统鲁棒内稳定，且()102uFM,.Δ∞≤。5.6μ综合方法回顾前述结果：（1）鲁棒稳定性()MsΔFΔ()sΔ()Gs()psΔ()Ms《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生●定理：假设()Gs∞∈RH，()()Δ•∈MΔ且1Δβ∞，则有结构摄动反馈系统是适定的且内稳定，iff()()supGjωμωβ∈≤ΔR（2）鲁棒性能●定理：假设()()Δ•∈MΔ且1Δβ∞，则有结构摄动反馈系统是适定的、内稳定的且()uFG,Δβ∞≤，iff()()suppGjωμωβ∈≤ΔR其中()()()1212ppqqGs+×+∞∈RH，112200qpqppff,ΔΔΔΔ××⎧⎫⎡⎤⎪⎪=∈⊂∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭ΔΔCC考虑鲁棒控制器的设计。对于鲁棒镇定问题，则考虑下图所示系统。对于鲁棒性能问题，则考虑下图所示系统。()sΔ()Gs()Ks()sΔ()Gs()Kswzedyu()sΔ()Gswz《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生易知()()ulluFFG,K,FFG,,KΔΔ=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦假设()sΔ∞∈RH且1Δ∞则要设计控制器，使得对所有可能的不确定性()sΔ∈Δ，闭环系统内稳定，且()1ulFFG,K,Δ∞≤⎡⎤⎣⎦或()minulFFG,K,Δ∞⇒⎡⎤⎣⎦等价为()()()sup1plFGj,Kjωμωω∈⎡⎤≤⎣⎦ΔR或()()()minsupplKGFGj,Kjωμωω∈⎡⎤⎣⎦ΔR镇定其中00pFΔΔΔ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦因为()()1infDMDMDμσ−∈≤ΔD()lFG,K()uFG,Δ()sΔ()Gs()Kswzedyu()sΔ()Gs()Kswzedyu《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自