14概率统计第三章第五节

),(),(,yxfYX的概率密度为若对于连续型随机变量的分布函数为＝则YXZ(){}(,)ddZxyzFzPZzfxyxy左下方的半平面积分区域是位于直线zyx()[(,)d]dzyZFzfxyxy令yux(,)d(,)dzyzfxyxfuyyu于是()(,)ddzZFzfuyyuy[(,)d]dzfuyyyu求导上式两边对z()(,)dZfzfzyyy的对称性由YX,()(,)dZfzfxzxx有卷积公式相互独立时和当,YX()()()dZXYfzfzyfyy()()()dZXYfzfxfzxx或者2例其概率密度为正态分布都服从变量是两个相互独立的随机和设),1,0(,NYX221()e2πxXfxx221()e2πyYfyy的概率密度求YXZ解由卷积公式()()()dZXYfzfxfzxx22()221eed2πxzxx22()421eed2πzzxx2zxt令2224411()eede2π2πzztZfzt则分布服从即)2,0(NZ3例其概率密度分别为相互独立设随机变量,,YX其他,010,1)(xxfX其他,00,)(yeyfyY的概率密度求随机变量YXZ1解法利用公式xxzfxfzfYXZd)()()(仅当的定义知由,,yxffzxxxzx10010即0,不为上述积分的被积函数才时由上图知)(zfZ1,ded)()(100)(zxxxzfxfzxzYZ0其他即)(zfZ,ded)()(00)(zzxzYZxxxzfxf10z,e1z－10z,e)1e(z1z0其他：解法2的概率密度为),(YX其他,00,10,e)()(),(yxyfxfyxfyYX的分布函数为则ZzyxZyxyxfzYXPzZPzFdd),(}{}{)(00zFzZ时，当时当10z1ed]de[)(00zxyzFzzxzyz时当1z100()[ed]d1(1e)e()()zxyzzZZFzyxfzFz＋即得概率密度函数的分布（二）XYZ4例在矩形域设二维随机变量),(YX10,20|,yxyxG,上服从均匀分布)(sfSYX的概率密度的矩形面积和试求边长为解(,)XY由已知的概率密度为.,0,,,21,其他Gyxyxf则的分布函数为令,)(SsFsxyyxyxfsSPsFdd,；时当0)(,0sFs；时当1)(,2sFs如下图所示时当,20s)ln2ln1(2dd211dd,21ssxyyxyxfsFsxssxy于是.2,1,20),ln2ln1(2,0,0ssssssF的概率密度为故s其他,020),ln2(ln21sssFsf的分布及（三）),min(),max(YXNYXM它们的分布函数变量是两个相互独立的随机设,,YX的分布函数及。现求和分别为NMyFxFYX)()(zYzXPzMP,由于的分布函数为得到相互独立和而MYX,zYPzXPzYzXPzMPzF,max.maxzFzFzFYX即的分布函数类似可得NzYPzXPzYzXPzNPzNPzF1,11min即zFzFzFYX111min它们的分布个相互独立的随机变量是设,,,,21nXXXn函数分别为nixFiXi,,2,1nXXXM,,,max21则及nXXXN,,,min21的分布函数分别为zFzFzFzFnXXX21maxzFzFzFzFnXXX111121min有时布函数相互独立且具有相同分,)(,,,21xFXXXnnzFzFmaxnzFzF11min5例近似服从以小时计的寿命设某种型号的电子元件)(小时的概率小于求其中没有一只寿命只随机选取分布180,4,)20,160(2N418011801180FTPTP解：4321,,,4TTTT记为只电子元件的寿命分别随机选出的,20,100~2NTi4,3,2,1itF其分布函数为,4321,,,minTTTTT令则,411tFtTPtFT180160(180)120F故所求概率为4441587.08413.0111180ΦTP.(ii),(i),,21并联串联连接的方式分别为联接而成统由两个相互独立的子系设系统LLLXY1L2LXY2L1L例6度分别为已知它们的概率密的寿命分别为设,,,21YXLL0,0..αβαβLZ其中且试分别就以上2种联接方式写出的寿命的概率密度,0,0,0,e)(xxαxfαxX,0,0,0,e)(yyβyfβyY,0,0,0,e)(xxαxfαxX由解串联情况(i),,,21就停止工作系统中有一个损坏时由于当LLL的寿命为所以这时L).,min(YXZ,0,0,0,e1)(xxxFαxXXY1L2L;0,0,0,e)(yyβyfβyY由.0,0,0,e1)(yyβyFβyY)](1)][(1[1)(minzFzFzFYX.0,0,0,e1)(zzzβα.0,0,0,e)()()(minzzβαzfzβα的寿命为所以这时L).,max(YXZ的分布函数为),max(YXZ)()()(maxzFzFzFYX.0,0,0),e1)(e1(zzβzαz.0,0,0,e)(ee)()(maxzzβαβαzfzβαβzαz并联情况(ii),,,21才停止工作系统都损坏时由于当且仅当LLLXY2L1L