概率论的产生与发展

8赌徒的难题——概率论的产生与发展17世纪资本主义经济的发展和文艺复兴运动的兴起，给欧洲数学注入了新的活力，欧洲的数学家们继承了希腊数学的光荣传统，开始以前所未有的热情投入到数学科学的研究中去。在这一世纪里，他们不仅建立起了以解析几何和微积分为代表的变量数学，进一步研究现实世界中的必然现象及其规律，而且还开始了对偶然现象的研究，这就是所谓概率论。十分有趣的是，这样一门重要的数学分支竟然起源于对赌博问题的研究。然而，历史事实确是如此。8.1赌徒的难题1653年的夏天，法国著名的数学家、物理学家帕斯卡（BlaisePascal，1623--1662）前往浦埃托镇度假，旅途中，他遇到了“赌徒老手”梅累。为了消除旅途的寂寞，梅累向帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”的问题。问题是这样的：一次，梅累与其赌友赌掷骰子，每人押了32个金币，并事先约定：如果梅累先掷出三个6点，或其赌友先掷出三个4点，便算赢家。遗憾的是，这场赌注不算小的赌博并未能顺利结束。当梅累掷出两次6点，其赌友掷出一次4点时，梅累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾，君命难为，但就此收回各自的赌注又不甘心，他们只好按照已有的成绩分取这64个金币。这下可把他难住了。赌友说，虽然梅累只需再碰上一次6点就赢了，但他若再碰上两次4点，也就赢了。所以他分得的金币应是梅累了一半，即64个金币的三分之一。梅累不同意这样分，他说，即使下次赌友掷出一个4点，他还可以赢得赌金的二分之一，即32个；再加上下次他还有一半希望是6点，这样又可分得16个金币，所以他至少应得64个金币的四分之三。谁是谁非，争论不休，其结果也就不得而知了。不过梅累对于此事却一直耿耿于怀，所以，当他碰到大名鼎鼎的帕斯卡，就迫不及待地向他请教了。如前所述，帕斯卡是一位著名的“数学神童”。他出生于法国奥弗涅省的克勒芒一个富裕的省议员之家。3岁那年，母亲不幸去世，8岁时父亲为了专心培育三个子女，辞去省议员的职务，移居巴黎。老帕斯卡是一个数学爱好者，曾以发现“帕斯卡蜗牛线”等闻名于巴黎科学界，他经常带领儿子参加各种科学家的集会，特别是参加梅森学院的活动，使小帕斯卡的天资很快得到开发。帕斯卡从小就醉心于数学的研究。16岁时，他发现了“帕斯卡六边形定理”：“任何内接于圆锥曲线的六边形，三组对边的交点共线。”并从这个定理出发，导出了400多条推论，极大地丰富了圆锥曲线的理论。他以此写成的论文《论圆锥曲线》，竟使笛卡儿怀疑是其父亲的作品。成年以后，帕斯卡的数学研究更是成果累累，他的名气也响彻法国甚至整个欧洲。然而，梅累的貌似简单的问题，却真正难住他了。虽然经过了长时间的探索，但他还是无法解决这个问题。1654年，帕斯卡不得不写信给他的好友费马，和他展开讨论。在与费马的通信过程中，帕斯卡认为，梅累的分法是正确的。在《论算术三角形》（出版于1665年）一书中，他运用了组合知识解决了这一问题。其方法是：假设甲、乙二人约定，谁先得S分即为赢家。若中断赌局，甲积a（S）分，乙积b（S）分，则令m=S–a，n=S–b，则甲、乙二人应分得赌金之比为后来，他研究了更复杂的在多个赌徒间分赌注的问题。1655年，荷兰数学家惠更斯恰好也在巴黎，他了解到帕斯卡与费马的工作详情之后，也饶有兴趣地参加了他们的讨论，讨论的情况与结果被惠更斯总结成《关于赌博中的推断》（1657年）一书，这是公认的有关或然数学的奠基之作。111101111101/mnmnmnmnnmnmnmCCCCCC其实，这一问题的萌芽还可追溯到16世纪。例如，意大利数学家卡当就曾计算过投掷二或三颗骰子恰好掷出某一预想的点数的机会问题。并专门撰写过一本题为《论赌博》的著作，不过次书一直到卡当死后于1663年才出版，此时帕斯卡等人对分赌注问题的研究已取得了突破性的进展。8.2来自保险业的推动概率论的研究虽来源于对赌博问题的研究，但促使它迅速发展的直接动力却是来自保险业的需要。18世纪的欧洲，工商业迅速发展，一门崭新的事业——保险业开始兴起。保险公司为了获取丰厚的利润，必须预先确定火灾、水灾、死亡等意外事件发生的概率，据此来确定保险价格。例如，人寿保险的价格是这样确定的，先对各种年龄死亡的人数进行统计，得到下表（表8-1）：由此可以看出，如果一个人40岁，那么他当年死亡的概率是765÷78106≈0.0098，若1万个40岁的人参加保险，每人付a元的保险金，死亡可得b元人寿保险金。预期这1万个人中的死亡数是10000×0.0098=9.8人，因此，保险公司需付出9.8b元人寿保险金，其收支差额为10000a－9.8b，这就是公司的利润。由此可见，保险公司获得利润的关键在于事先能较准确地确定出所保险项目中危险的概率。但是，实际保险问题中蕴含着错综复杂的干扰因素，例如人寿保险中的死亡概率常常受到自杀、谋杀、车祸等非正常死亡因素的干扰，不便于人们探求其一般规律，而赌博中的投掷骰子就成了较为理想的模型。因此，从这类问题着手去探求偶然现象中的数学关系，这就是概率论的基本内容。由此可见，概率问题的研究常常和大量的数据统计联系在一起。所以，概率和数理统计就构成了研究偶然现象的或然数学的主要内容。8.3概率论的进一步发展概率论本质上是研究随机现象的一门科学。这类现象与必然科学截然不同，它的条件与结果之间并不存在某种必然的联系。也就是说，在相同的条件下，可能会发生某一结果，也可能不发生这一结果。例如投掷一枚硬币，即可能正面朝上，也可能反面朝上。但是，这并意味这类随机现象不存在某种规律，也不意味着就不用数量来描述和研究它们。例如投掷硬币，投掷一次似乎没有什么规律可言；但当它们大量出现时，在总体上却会呈现出某种规律，称这种总体上的规律性为统计规律性，它的存在构成了或然数学研究的基础。通常我们把随机现象中可能发生的结果称为随机事件，并用大写英文字母A，B，C等表示。或然数学研究的基础内容之一，就是用概率来描述和表示这些随机事件发生的可能性的大小。寻求一个随机事件A发生的概率的基本方法是：先求出事件A发生的频率，它由事件A发生的次数与试验的总次数之比确定；增加试验次数，频率若趋向某一个稳定的数，那么这个数就是该事件A发生的概率，记为P（A）。如投掷硬币正面向上的概率P（A）=1/2，显然，任何事件A发生的次数不会大于试验总次数，也不会小于0，故总有1)(0AP当P（A）=1时，即试验中事件A每次都发生，我们称之为必然事件；当P（A）=0时，即事件A总不会发生，我们称之为不可能事件。实际上，这两种现象属于必然现象。这表明，在一定的意义下，必然现象也可以看做是或然现象的特殊情况。由于随机事件的统计规律是一种总体规律，必然在大量的同类随机现象中才能呈现出来，所以它的研究方法有着自身的特殊性，其中，统计方法是它的一种基本方法。或然数学发展到今天，已经成为具有众多分支学科的庞大的数学部门，但其最基本的还是我们比较熟悉的概率论与数理统计。总的来说，概率论重在理论上的分析，而数理统计重在应用上的研究，二者各具特色，相辅相成。概率论的创立标志着或然数学的诞生。从历史发展的角度看，概率论的发生和过程大致可分为四个阶段：方法积累、理论概括、系统整理和公理体系完成。关于概率论方法的讨论最初是由帕斯卡和费马二人以通信的形式展开的。他们虽然没有提出明确的概率定义，但他们在估计赌徒获胜是可能性时，总是利用有利情形数与所有可能数之比，这实质上就是早期古典概率的概念。诸如此类，他们会同惠更斯一起，给出了概率、数学期望等基本概念的雏形，并得到相应的性质和计算方法，这些都表明，当时概率已成为具有已成为具有本身特定研究对象的一门独立学科。由于概率论在保险理论、人口统计、射击理论、年度预算、产品检验以及天文学、物理学等学科的应用，很快引起了许多数学家的关注，概率论的发展也随之进入了一个崭新的阶段。1713年，瑞士伯努利家族的数学家雅各布.伯努利（JacobBernoulli,1654-1705）出版的《推想的艺术》，堪称概率论的第一部重要著作。在这本书中，他推广了组合理论，用组合公式证明了帕斯卡曾提出的n为正数时的二项式这理，得到所谓伯努利定理：若P是某一事件单独出现一次的概率，q是不出现该事件的概率，则在n次试验中，该事件至少出现m次的概率等于二项式的展开式中的从nqp项到项的各项之和。容易看出，这实际上就是概率论中最重要的定律之一------“大数定律”的最早表现形式，由于它的重要地位，1913年12月，彼得堡科学院曾专门举行庆祝会，纪念“大数定律”诞生二百周年。雅各布.伯努利的工作使得建立在经验分析基础上的频率稳定性的估计理论化，概率论也从此由对特殊总是的求解发展为对一般理论的概括阶段。npmqpnm法国数学家棣莫弗（deMoivre,Abraham,1667-1775）也对概率论有十分重要的贡献。分出生于法国维特里的勒弗朗索瓦，早年为法国加尔文派教徒，在新旧教派的斗争中遭监禁。获释后于1685年移居英国伦敦，并一直从事家庭教师及保险业顾问等职。他与著名数学家牛顿、天文学家哈雷为友，专心研究科学。1695年，写了有关牛顿流数术研究之论文。两年后当选为英国皇家学会会员，以后获柏林科学院与巴黎科学院院士头衔。最后不幸于1754年11月27日在英国伦敦逝世。在数学史尤其是在概率论方面，他的贡献重大。1711年，他写了《抽签的计量》，并在七年后修改扩充为《机遇原理》发表，这是早期概率论的专著之一。在这部著作中，他首次定义了独立事件的乘法原理，给出二项式公式，并讲座了许多投掷骰子和其他的赌博问题。对概率论的了展作出了重大推进。书中提出了概率乘法法则，以及“正态分布”、“正态分布律”等概念，得到了现在被称为“棣莫弗—拉普拉斯定理”的特例，这也是“中心极限定理”的一部分。另外，他于1730年出版的概率著作《分析杂录》中使用了概率积分202dxex得出n阶乘的级数表达式，并指出对于很大的n，有但现误称为“斯特林公式”。而且此书使其成为最早使用概率积分的人，三年后，他又以阶乘的近似公式导出了正态分布的频率曲线，并作二项分布之近似。他还是最早给出“棣莫弗公式”：的学者之一。他虽于1722年才正式发表此公式，但实际上，已于1707年在研究三角学时得到此式。nennn2~!nininsincossincos而且，他还利用复数证明了求解方程等同于把圆周分为n等到分。棣莫弗还于1725年出版专门论著，把概率论应用于保险事业上。18世纪中比较著名的概率论著作还有英国辛卜生的《论机会的性质和规律》（1740）年和法国蒲丰（GeorgeLouisdeBuffon,1707-1788）的《偶然性的算术试验》（1760年）等。特别是蒲丰，他把概率论与几何结合起来，开始了几何概率的研究，例如，他提出的著名的“蒲丰问题”（或“投针问题”）：将一根长为2的钱任意投在画有许多平行直线的平面内，这些平行直线间的距离为2a(al)可以证01nXl明，针与其中任一直线相交的概率为p=2,当p=2,通过实验得到时，我们就可以用之来确定圆周率值。蒲丰的这一方法后来发展为著名的蒙特卡洛方法，对于解决许多繁难的积分、线性方程和微分方程问题很有成效。到了19世纪初，概率论的研究开始朝着系统化的方向发展，其中贡献较大的数学家有：法国的拉普拉斯、泊松，德国的高斯，俄国的契比雪夫、马尔科夫等。拉普拉斯一生写过好几本概率论专著，其中《分析概率论》（1812年）被誉为古典概率论系统理论的经典之作，全面总结了前一时期概率论的研究成果，并予以亚密而又系统的。al/其中阐述了概率论的基本定义和定理，给出了“棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理”的理论证明，建立了观察误差的理论和最小二乘法，并增加了概率论在选举、审判调查和气象预报等方面将分析方法引入概率论著作。特别是拉普拉斯将分析方法引入概率论的研究，开辟了现代概率论研究的新途径。高斯（CarlFriedrichGa