线性系统复习题—答案---副本

1、已知线性定常系统状态方程为：Axx.其中，2310A（1）采用线性变换化A为对角型；32231det)det(2ssssASI特征值：1,321鉴于系统矩阵是能控规范型，且特征值互异，故取变化矩阵1311P13,4143414111APPAP故有则(2)求出状态转移矩阵)(t；231)(ssASI141343143343141341143341312)1)(3(1)()()(1ssssssssssssASIASIadjASI（主对换，负变号）tttttttteeeeeeeeASILt4143434341414341)(333311（3）初始状态Tx]10[)0(时，写出系统齐次状态方程)(tx。ttttAteeeeXtXetX41434141)0()()0()(332、已知系统方程为：xyuxx110,121201112201（1）写出对偶系统的状态空间描述；𝜓̇𝑇=−A𝑇𝜓𝑇+𝐶𝑇𝜂𝑇=−[12101021−2]𝜓𝑇+[011]𝜂𝑇;φ𝑇=𝐵𝑇𝜓𝑇=[121]𝜓𝑇（2）写出原系统的能控矩阵cQ、能观矩阵oQ；𝑄𝑐=[𝐵𝐴𝐵⋯𝐴n−1𝐵]=[13125101−15]𝑄𝑜=[𝐶𝐶𝐴⋮𝐶𝐴𝑛−1]=[01131−1419]（3）写出对偶系统的能控矩阵cQ、能观矩阵oQ；𝑄𝑐=[𝐶𝑇−A𝑇𝐶𝑇⋯(−A𝑇)n−1𝐶𝑇]=[0−341−11119]𝑄𝑜=[𝐵𝑇𝐵𝑇(−A𝑇)⋮𝐵𝑇(−A𝑇)𝑛−1]=[121−3−511105]（4）运用对偶原理，判断原系统及其对偶系统的状态能控、能观测性。原系统∑：能控性：rank(𝑄𝑐)=3=n能观测性：rank(𝑄𝑜)=3=n即原系统属于完全能控和完全能观系统。对偶系统∑𝑑：根据对偶原理∑完全能控⇔∑𝑑完全能观测∑完全能观测⇔∑𝑑完全能控推出，对偶系统属于完全能控和完全能观系统。3、设系统为：CxyBuAxxCBA.:),,(，引入非奇异线性变换为Pxx，（1）其经过线性变换后得到的等价系统为：,:),,(.xCyuBxAxCBA求),,(CBA与原系统),,(CBA中各矩阵间的关系；解：由线性非奇异变换𝑥̅=𝑃𝑥，可以得到：𝑥̅̇=𝑃𝑥̇=𝑃(𝐴𝑥+𝐵𝑢)=𝑃𝐴𝑃−1𝑥̅+𝑃𝐵𝑢=𝐴̅𝑥̅+𝐵̅𝑢y=Cx=C𝑃−1𝑥̅=𝐶̅𝑥̅基此，可以导出𝐴̅=𝑃𝐴𝑃−1，𝐵̅=𝑃𝐵，𝐶̅=C𝑃−1（2）证明非奇异变换不改变系统的特征值及传递函数；𝑓𝐴(𝜆)=|𝜆𝐼−𝐴|𝑓𝐴̅(𝜆̅)=|𝜆𝐼−𝐴̅|=|𝜆𝑃𝐼𝑃−1−𝑃𝐴𝑃−1|=|𝑃(𝜆𝐼−𝐴)𝑃−1|=|𝑃||𝜆𝐼−𝐴||𝑃−1|=|𝜆𝐼−𝐴|=𝑓𝐴(𝜆)利用传递函数矩阵的基本关系式，可得：G(s)=C(SI−A)−1B+DG(s)̅̅̅̅̅̅=C̅(SI−A̅)−1B̅+D̅其中，𝐴̅=𝑃𝐴𝑃−1，𝐵̅=𝑃𝐵，𝐶̅=C𝑃−1，D=D̅从而，由此可证得：G(s)̅̅̅̅̅̅=C𝑃−1(SI−𝑃𝐴𝑃−1)−1𝑃𝐵+D=C[P−1(SI−𝑃𝐴𝑃−1)P]−1𝐵+D=C(SI−A)−1B+D=G(s)4、设渐进稳定的单变量线性定常系统：,,.cxybuAxx其中0u,矩阵P是满足ccPAPATT的正定对称矩阵，证明)()()(02tPxtxdttyT。证明：由y=cx，并运用PA+𝐴𝑇𝑃=−𝑐𝑇𝑐和𝑥̇=𝐴𝑥，可以导出：∫𝑦2(𝑡)𝑑𝑡=∫𝑦𝑇𝑦𝑑𝑡+∞0+∞0=∫𝑥𝑇𝑐𝑇𝑐𝑥𝑑𝑡=−∫𝑥𝑇+∞0+∞0(𝑃𝐴+𝐴𝑇𝑃)𝑥𝑑𝑡=−∫(𝑥𝑇𝑃𝐴𝑥+𝑥𝑇+∞0𝐴𝑇𝑃𝑥)𝑑𝑡=−∫(𝑥𝑇𝑃𝑥̇+𝑥̇𝑇𝑃𝑥)𝑑𝑡+∞0=−∫𝑑𝑑𝑡+∞0(𝑥𝑇𝑃𝑥)𝑑𝑡=𝑥𝑇(0)𝑃𝑥(0)−𝑥𝑇(∞)𝑃𝑥(∞)考虑到系统为渐进稳定，必有x(∞)=0，证得∫𝑦2(𝑡)𝑑𝑡=𝑥𝑇(𝑡)𝑃𝑥(𝑡)+∞0。5、已知线性定常系统的状态空间描述为：uxx011321（1）系统是否可以通过状态反馈实现极点的任意配置，为什么？rank(BAB)=rank[1103]=2=𝑛知系统完全能控，从而系统可以通过状态反馈实现极点的任意配置。（2）若要求系统极点配置为jj2,221，试求反馈增益矩阵K。①定出受控系统的特征多项式α(s)和期望闭环特征多项式𝛼∗(s)。对此，有α(s)=det(sI−A)=det[𝑠−1−2−3𝑠−1]=𝑠2−2𝑠−5𝛼∗(𝑠)=(𝑠+2−𝑗)(𝑠+2+𝑗)=𝑠2+4𝑠+5②定出化能控规范形的变换矩阵P及其逆𝑃−1。对此，有P=[𝐴bb][10𝛼11]=[1130][10−21]=[−1130]，𝑃−1=[013113]③定出状态反馈阵K。对此，即可导出K=[𝛼0∗−𝛼0𝛼1∗−𝛼1]𝑃−1=[5+54+2][013⁄113⁄]=[6163]6、给定双输入-双输出线性定常受控系统为：xyuxx01000010,001000110020100020030010（1）系统是否能解耦？Step1:计算受控系统的结构特性指数𝑑𝑖={𝜇𝑖，当𝑐𝑖𝐴𝑘𝐵=0，k=0,1,⋯𝜇𝑖−1，而𝑐𝑖𝐴𝜇𝑖𝐵≠0𝑛−1，当𝑐𝑖𝐴𝑘𝐵=0，k=0,1,⋯𝑛−1，i=1,2,⋯p和结构特征向量{𝐸𝑖=c𝑖′𝐴𝑑𝑖𝐵，i=1,2,⋯p}由计算结果：c1′𝐵=[0100][11000−100]=[00]c1′𝐴𝐵=[0100][01003002000−20010][11000−100]=[3002][11000−100]=[33]c2′𝐵=[00−10][11000−100]=[0−1]可以定出：𝑑1=1，𝑑2=0𝐸1=[33]，𝐸2=[0−1]Step2：判断解耦型E=[𝐸1𝐸2]=[330−1]易知E为非奇异，即受控系统可动态解耦。（2）如能解耦定出实现积分型解耦的输入变换矩阵和状态反馈矩阵KL,Step3：计算矩阵E−1=[1310−1]F=[𝑐1′𝐴2𝑐2′𝐴]=[0−100000−1]Step4：输入变换矩阵𝐿̅和状态反馈矩阵𝐾̅为𝐿̅=𝐸−1=[1310−1]𝐾̅=𝐸−1𝐹=[1310−1][0−100000−1]=[0−13⁄000−101]可导出积分型解耦系统的系数矩阵为𝐴̅=A−B𝐸−1𝐹=[01003002000−20010]−[11000−100][1310−1][0−100000−1]=[04/3300002000−20200]𝐵̅=B𝐸−1=[11000−100][1310−1]=[130000100]𝐶̅=C=[010000−10]7、定出下列连续时间线性时不变系统的时间离散化方程：（3.12）uxx100010，其中采样周期T=2。①确定连续时间系统的矩阵指数函数𝑒𝐴𝑡(sI−A)−1=[𝑠−10𝑠]−1=[1𝑠1𝑠201𝑠]②将上式取拉普拉斯变换，即可得到𝑒𝐴𝑡=[1𝑡01]③确定时间离散化系统的系数矩阵：G=𝑒𝐴𝑇=[1𝑇01]=[1201]H=(∫𝑒𝐴𝑡𝑇0𝑑𝑡)𝐵=(∫[1𝑡01]𝑑𝑡𝑇0)[01]=[𝑇12𝑇20𝑇][01]=[12𝑇2𝑇]=[22]④连续时间线性时不变系统的时间离散化方程为：[𝑥1(𝑘+1)𝑥2(𝑘+1)]=[1201][𝑥1(𝑘)𝑥2(𝑘)]+[22]𝑢(𝑘)8、判断矩阵对右互质有哪些方法？并判断下列矩阵是否为右互质？（1）;12)(,1201)(2sssNsssssD（2）;12)(,1201)(2sssNsssssD9、给定传递函数矩阵22222)2()2()2()2()1(ssssssssssG求（1）)(sG的Smith-Mevilian型；（2）确定)(sG的零、极点。10、设系统的传递函数为：5)4(4)2)(1()3(2)(ssssssG，写出)(sG的最小实现。