函数单调性与导数教案

3.3.1函数的单调性与导数【三维目标】知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。【教学重点难点】教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。【教具】多媒体【教学方法】问题启发式【教学过程】一．复习回顾复习1：导数的几何意义复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法，（图像法，定义法）问题提出：判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用图像法，定义法完成）那么如何判断;,0,sin)(xxxxf的单调性呢？引导学生图像法，定义去尝试发觉有困难，引出课题：板书课题：函数的单调性与导数二．新知探究探究任务一：函数单调性与其导数的关系：问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数105.69.4)(2ttth的图像，图(2）表示高台跳水运动员的速度5.68.9)(')(tthtVh的图像.通过观察图像,运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？此时你能发现)(')(thth和这两个函数图像有什么联系吗?启发:函数)(th在(0,a)上位增函数，函数)('th在(0,a)上有何特点呢？函数)(th在(a,b)上为减函数，那么函数)('th在(a,b)上有何特点呢？问题2：观察图（1）～图（4），探讨函数与其导函数是否也存在问题（1）的关系呢？问题3：通过对问题1和问题2的观察，你能得到原函数的单调性与其导函数的正负号有何关系？你能得到怎样的结论？（形成初步结论，板书结论结论：函数的单调性与导数的关系：在某个区间(,)ab内，如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递增；如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递减．）问题4：上述结论主要是通过观察得到的，你能结合导数的几何意义为切线的斜率，你能从这个角度给予说明吗？探究任务二：0'xf与函数单调性的关系：问题5：若函数xf的导数0'xf，那么xf会是一个什么函数呢？（板书：特别的，如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内是常值函数．）问题6：在区间ba,上0'xf，则函数xf区间ba,必为增函数，你认为这句话对吗？请说明理由.问题7：函数xf在区间ba,上为增函数，则在区间ba,上0'xf成立.你认为这句话对吗？说明理由.问题8：平时我们遇到很多需要数形结合的题目，那么现在我们知道了导数的正负能帮助我们判断函数的单调性，那么我们能否利用导数信息画出函数的大致图像呢？例1:已知某函数的导函数的下列信息:当;0)('41xfx时，当;0)('1,4xfxx时，或当.0)('1,4xfxx时，或试画出函数xf图像的大致形状.问题9：根据我们得到的导数与单调性之间关系的结论，你能否利用此结论来求函数的单调区间呢？例3：判断下列函数的单调性,并求出单调区间:（1）;,0,sin)(xxxxf（2）;12432)(23xxxxf（3）;3)(3xxxf（4）;32)(2xxxf（对于（2）让学生课后探究尝试单调性的定义法和图象法）问:你对利用导数去研究函数的单调性有什么看法?你能总结出利用导数求单调区间的步骤吗？（简单易行）（板书“求解函数()yfx单调区间的步骤：（1）确定函数()yfx的定义域；（2）求导数''()yfx；（3）解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为减区间．问题10：导数能帮助我们简洁的求出单调区间，画出大致图象，但我们知道就是递增（递减）也有快与慢的区别，在导数上如何体现呢？下面我们就来看一下下面这个问题例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．分析：在导数几何意义那节我们就感受了增加与减少也由快慢之分，那么我们以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：1,2,3,4BADC思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．三，课堂练习1．确定下列函数的单调区间(1)y=xex(2)y=3x－x32、设)x(fy是函数)x(fy的导数,)x(fy的图象如图所示,则)x(fy的图象最有可能是()小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？四，课堂小结1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f′(x)0,则f(x)为增函数;如果f′(x)0,则f(x)为减函数.2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.五，作业设计课本98页，A组1，2课后思考：若将例3中高度h和时间t的关系变为横坐标为高度h和纵坐标为体积V的关系，那么此题结论又将如何？附：板书设计函数的单调性与导数一、函数单调性与导数的关系二、利用导数求单调性的步骤三、例题讲解例2：四、学生板演