大一上学期高数知识点

第二章导数与微分一、主要内容小结1.定义·定理·公式（1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义（2）定理与运算法则定理1)(0xf存在)(0xf)(0xf.定理2若)(xfy在点0x处可导，则)(xfy在点x0处连续；反之不真.定理3函数)(xf在0x处可微)(xf在0x处可导.导数与微分的运算法则：设)(,)(xvvxuu均可导，则vuvu)(,dvduvud)(uvvuuv)(,vduudvuvd)()0()(2vvvuuvvu，)0()(2vvudvvduvud（3）基本求导公式2.各类函数导数的求法（1）复合函数微分法（2）反函数的微分法（3）由参数方程确定函数的微分法（4）隐函数微分法（5）幂指函数微分法（6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法.方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x求导）.（7）分段函数微分法3.高阶导数（1）定义与基本公式高阶导数公式：aaanxnxln)()()0(axnxee)()()2sin()(sin)(nkxkkxnn)2cos()(cos)(nkxkkxnnnmnmxnmmmx)1()1()()(!)()(nxnnnnnxnx)!1()1()(ln1)(莱布尼兹公式：（2）高阶导数的求法①直接法②间接法4.导数的简单应用(1)求曲线的切线、法线(2)求变化率——相关变化率二、例题解析例2.1设0,00,1sin)(xxxxxfK,（K为整数）.问：（1）当K为何值时，)(xf在0x处不可导；（2）当K为何值时，)(xf在0x处可导，但导函数不连续；（3）当K为何值时，)(xf在0x处导函数连续？解函数)(xf在x=0点的导数：0limx0)0()(xfxf0limxxfxf)0()(=0limxxxxK1sin)(=0limxxxK1sin)(1=101KK当，，当发散即1,01)0(KKf不存在，当1K时,)(xf的导函数为：0,00,1cos1sin)(21xxxxxKxxfKK为使)(lim0xfx0)0(f，取2K即可。因此，函数0,00,1sin)(xxxxxfK当K≤1时，)(xf在0x处不可导；当2K时，)(xf在0x处可导，但导函数在0x处不连续；当2K时，)(xf在0x处可导且导函数在0x处连续。例2.2tgxxctgxxy1cos1sin22，求dxdy。分析本例当然可以用商的求导法则来求，但比较麻烦，若先对函数表达式进行变形就可用代数和的求导法则来求，这样就简便多了。解xxxxxxxxxxycossincossinsincoscoscossinsin3333=x2sin211。所以xy2cos。如果不经过化简，直接求导则计算将是十分繁琐的。例2.3xarctgey1ln22xxee，求dxdy。分析本例若直接对原式利用差的求导法则及复合函数求导法来求，比较麻烦，但若利用对数性质对函数表达式的第二项变形，再利用差及复合函数求导法来求，就简便得多。解因为xarctgey)]1ln([ln2122xxee)1ln(212xxexarctge所以)(xarctgey)]'1[ln(212xex=122111222xxxxeeee112xxee例2.4设y)()(xfxeef，求dxdy。解利用积的求导法则及复合函数求导法则，有dxdy=)()(xfxxeeef)()()(xfeefxfx=xxxfeefe)([)()]()(xfefx。例2.5设方程)cos(22yxexyy,求y.本例是隐函数求导问题，对隐函数求导可用下面两种方法来求。解(方法一)方程两端同时对x求导(y看作x的函数)(xyy),由复合函数求导法可得)21()sin(222yyyxyeyxyyy)sin(22)sin(222yxyexyyxyyy(方法二)方程两边同时微分：))(cos()(22yxdexydy)2)(sin(222ydydxyxdyexydydxyydxyxydyyxyexyy)]sin([)]sin(22[(222所以)sin(22)sin(222yxyexyyxydxdyy例2.6已知)()()(tftftytfx,)(tf为二次可微函数,且0)(tf，求dxdy,22dxyd。分析这是由参数方程所确定的函数的高阶导数的计算问题，可按参数方程求导法则来求。解因为)]()([tftftddy=dttft)(dttftfddx)()]([所以tdttfdttftdxdy)()(。又dtdxdyd)(所以22dxyd=)(1)(tfdttfdtdxdydxd。常见错解：22dxyd1)'(t。错误原因没有搞清求导对象.22dxyddxdydxd是一阶导数dxdy对x求导,而't是一阶导数对t求导。例2.7求函数12xxy的微分。解21xxddy222111xxxddxx=22221)1(1211xxdxxdxx=2322222)1(111xdxxdxxxdxx例2.8设2323xxxy,求)(ny。分析本例是求分式有理函数的高阶导数，先将有理假分式通过多项式除法化为整式与有理真分式之和，再将有理分式写成部分分式之和，最后仿)()(nmx的表达式写出所给定的有理函数的n阶导数。解11283)1)(2(67)3(xxxxxxxy)(ny=)(1)(1)(])1[(])2(8[)3(nnnxxx=nnnnxnxn11)1(!)1()2(!8)1(0=11)1(1)2(8!)1(nnnxxn（2n）例2.9设0,10,)(2xxxexfx求)(xf的导函数)(xf的连续区间，若间断，判别类型，并分别作)(xf与)(xf的图形。分析函数)(xf是用分段表达的函数.在0x的两侧：当0x时，xexf)(；当0x时，xxf2)(.因此，在0x处，)(xf的可导情况，需根据定义来作判断，求出导函数后，再判别它的连续区间。解因为xfxffx)0()(lim)0('0011lim20xxx11lim)0()(lim)0('00xexfxffxxx，所以)(xf在0x处不可导。故0,20,)(xxxexfx。因为在0x处)(xf无定义，所以0x是)(xf的间断点又因为0limx)(xf=0limx)2(x=0；)(lim0xfx=1lim0xxe所以0x为)(xf的跳跃间断点。