基于Matlab小波工具箱的数字图像处理及小波分析

基于Matlab小波工具箱的数字图像处理摘要：小波分析在图像处理中有非常重要的应用，包括图像压缩、去噪、分解和增强等。运用多分辨率分析可以将信号分解为多尺度信息，每个尺度下都有该分辨率下的“概貌”信息和细节。小波分析是傅里叶分析思想方法的发展与延拓，它不是时间-频率域上的分析，而是时间-尺度域变换，因此在图像处理上具有明显的优势。同时合适小波函数也就成为小波分析中最基本的问题。关键字：小波分析，多分辨分析，小波函数，图像处理一、多分辨率分析多分辨分析，也称为多尺度分析，即在不同尺度下对事物进行分析[1]。我们都知道，人的眼睛观察物体时，如果距离物体比较远，也就是说尺度比较大，则视野宽、分辨能力低，只能观察事物的概貌而看不清局部细节。若距离物体较近，那么视野就窄而分辨能力高，可以观察到事物的局部细节，却无法概览全貌。因此，若想要知道物体的整体轮廓又要看清其局部细节，就必须选择不同的距离对物体进行观察。同理，信号分析也是如此，在大尺度上分析信号的全貌，在小尺度上分析信号的细节，那么就需要把信号分解成某一尺度下的“概览”和该尺度下的细节。1.1信号的近似分解给定一个连续信号)(tx，我们可用不同的基函数并在不同的分辨率水平上对它作近似[2]。令101()0tt其他(1.1)显然，)(t的整数位移相互之间是正交的，即'(),()(),tktkkkkkZ(1.2)这样，由)(t的整数位移)(kt就构成了一组正交基。设空间0V由这一组正交基所构成，这样，)(tx在空间0V中的投影（记作)(0txP）可表为：)()()()()(,tkaktkatxPk0k0k00(1.3)式中)()(,0kttk,)(ka0是基)(,0tk的权函数，)(0txP可以看作是)(tx在0V中的近似。)(0txP，)(tx如图1.1(a)所示。)(ka0是离散序列，如图1.1(b)所示。0()Pxt()xt0()ak(a))(0txP(b))(ka0图1.1令)()(/,kt22tj2jkj(1.4)是由)(t作二进制伸缩及整数位移所产生的函数系列，显然，)(,tkj和)(,tkj是正交的。将)(t作二倍的扩展后得)2(t，由)2(t作整数倍位移所产生的函数组当然也是两两正交的（对整数k），它们也构成了一组正交基。Zkkttk),2(2)(12/1,1(1.5)我们称由这一组基形成的空间为1V，记信号)(tx在1V中的投影为)(1txP，则kk111tkatxP)()()(,(1.6)式中)(ka1为加权系数。)(1txP如图1.2(a)所示。)(ka1仍为离散序列，如图1.2(b)所示。1()Pxt()xt1()ak(a))(1txP(b))(ka1图1.2若如此继续下去，在)(t的基础上，我们可得到在不同尺度j下通过作整数位移所得到一组组的正交基，它们所构成的空间是ZjVj,。用这样的正交基对)(tx作近似，就可得到)(tx在jV中的投影)(txPj。又有)1()()2(ttt(1.7)再比较该图的1.1(a)和1.2(a)，显然图1.1(a)对)(tx的近似要优于图1.2(a)对)(tx的近似，也即分辨率高。当j时，)(,tkj中的每一个函数都变得无限窄，即有)()(txtxPjj(1.8)而当j，那么)(,tkj中的每一个函数都变成无穷宽，对)(tx的近似误差也越大。低分辨率的基函数))((1j2t可由高一级分辨率的基函数)0)((jt所决定。从空间上来讲，低分辨率的空间1V应包含在高分辨率的空间0V中，但是，毕竟0V不等于1V，二者之间有误差。这一误差是由)(kt和)2(1kt的宽度不同而产生，因此，这一差别应是一些“细节”信号，我们记之为)(1txD。这样有：)()()(110txDtxPtxP(1.9)另设一基函数)(t，1012()11210ttt其他(1.10)显然，)(t的整数位移也是正交的，进一步，其在不同尺度下的位移，即Zkjtkj,),(,，也是正交的，同时，)(t和)(t的整数位移之间也是正交的，即Zkk0ktkt,)(),((1.11)又)(t和)(t之间有如下关系：2/)]2()2([)(ttt(1.12)及2/)]()([)12(ttt(1.13)记)(kt张成的空间为0W，)2(1kt所张成的空间为1W，依次类推，)(,tkj张成的空间为jW。记)(tx在空间0W中的投影为）txD(0，在1W中的投影为）txD(1，它们均可表为相应基函数)(,tkj的线性组合，即)()()(,tkdtxDk0k00(1.14))()()(,tkdtxDk1k11(1.15)式中)(kd0,)(kd1是0j,1j尺度下的加权系数，它们均是离散序列。）txD(0,)(kd0分别如图1.3(a)和(b)所示，）txD(1,)(kd1分别如图(c)和(d)所示。0()Dxt0()dxk(a)(b)0()dxt1()dxk(c)(d)不难发现，)(1txP与)(1txD相加，即得)(0txP，由空间表示，即是110WVV(1.16)把上述概念加以推广，显然有01122111jjjVVWVWWV(1.17)并且1210jjVVVVV(1.18)这样，给定不同的分辨率水平j，我们可得到)(tx在该分辨率水平上的近似)(txPj和)(txDj，由于)(t是低通信号，因此)(txPj反映了)(tx的低通成份，我们称其为)(tx的“概貌”。由于)(kaj是由)(txPj边缘得到的离散序列，所以)(kaj也应是)(tx在尺度j下的概貌，或称离散近似。同理，由于)(t是带通信号，因此)(txDj反映的是的高频成份，或称为)(tx的“细节”，而)(kdj是)(tx的离散细节。1.2多分辨分析的定义Mallat给出了多分辩率分析的定义[3]：设jVZj是)(2RL空间中的一个闭合子空间，如果它们满足如下六个性质，则说明jV，Zj是一个多分辨率近似。这六个性质是：1．平移不变性：2),(Zkj，若jVtx)(则jjVktx)2((1.21)2．单调性：Zj，1jjVV，即1210jjVVVVV(1.22)3．伸缩性：Zj，若jVtx)(，则1)2(jVtx(1.23)4．：渐进完全性：0jjjjVVLim(1.24)5．逼近性：)()(2RLVClosureVLimjjjj(1.25)6．Riesz基存在性：存在一个函数()t0()tV，使得/2{(2)}jkztk构成jV的Riesz基。1.3空间分解前文已指出Zkkt,)(是0V中的正交归一基，2,,),(Zkjtkj是jV中的正交归一基，)()(2RLtx按此基函数逐级进行分解。1．子空间0V)(0txP是在0V中的投影，即)()()()()(,0000tkaktkatxPkkk(1.26)又)(),()(,000ttxPkak(1.27)则)()(),()(,0,00tttxtxPkkk(1.28)由于)(0txP是时间t的函数，)(kt又具有低通性质，因此称)(0txP是)(tx在0V中的“分段平滑”逼近，称)(0ka为)(tx在0V中的“离散”逼近，它们都是)(tx在分辨率0j时的“概貌”。2．子空间1V根据多分辨分析的定义，若0)(Vt，则1)2(Vt，)2(2)(12/1,1kttk是1V中的正交归一基。根据式(1.28)可得：)()(),()(,1,11tttxtxPkkk(1.29)3．子空间1W因0)(Wt，则1)2(Wt，)2(21)(1,1kttk也可构成1W中的正交归一基。依次类推，)(,tkj将是jW中的正交归一基。我们称)(t为小波函数。这样，我们可依次将)(tx在jW中作类似在jV各空间中的分解。由式(1.15)可得：)(),()(),()(,1,111ttxttxDkdkk(1.30))(1txD是)(tx在子空间1W上的投影，由于)(t是带通函数，所以)(1txD是)(tx的在1W的连续细节逼近，)(1kd是)(tx在1W中的离散细节。又根据式(1.9)可知，)(tx在1W中的投影等于)(tx分别在0V和1V中的投影的差，它也是在0j和1j这两个分辨率水平上的逼近之差，因此，)(1txD和)(1kd均被称为)(tx的“细节”。4．对子空间jV，jW将上述的结论加以推广，有如下的结论：)()()(,tkatxPkjkjj(1.31))(),()(,ttxkakjj(1.32))()()(,tkdtxDkjkjj(1.33))(),()(,ttxkdkjj(1.34))()()(1txDtxPtxPjjj(1.35)二、Mallat算法2.1Mallat分解根据上述，我们可知：()xt在空间中近似可表示为[4]：)()()(,tkatxPkjkjj()jjPxtV(2.1)其在jW空间中的细节可表示为：)()()(,tkdtxDkjkjj1()jDxtW(2.2)两尺度方程的一般形式为：00()2()(2)()()2()(2)()kkthktktVtgktktW(2.3)令)(kaj，)(kdj是多分辨率分析中的离散逼近系数，则经过推到)(kaj，)(kdj会有如下递推关系：1()()(2)()(2)jjjnakanhnkakhk(2.4))2()()2()()(111khkaknhnakdjnjj(2.5)如果令__11__11()()()()*()()()()()*()jjjjjjckcnhknckhkdkcngknckgk(2.6)再令''()(2)()(2)jjnjjckckdkdk即对'()jck隔2抽1生成()jck。Mallat分解示意图：隔2抽1下采样2_()gn_()hn_()gn1()jck()jdk()jck_()hn221()jdn1()jcn图2.1Mallat分解示意图2.2Mallat重构分解重构公式：1()()(2)()(2)jjjnnckcnhkndngkn(2.7)其重构物理示意图如下所示：1()jcn()jdk2()jcn2()jck()gn()hn21()jdk21()jck()gn()hn2图2.2Mallat重构示意图三、常用小波函数介绍在小波分析理论在数学和工程领域中一个很重要的问题就是小波基的选择，选择一个最优的小波基，可以使图像处理更加优化。在小波分析理论中有很多种的小波函数，下面介绍一些常用的小波基函数：3.1Haar小波Haar小波是Haar于1990年提出的一种正交小波，它是小波理论分析发展过程中最早用到的的小波。Haar小波是由一组互相正交归一的函数集，即Haar函数衍生产生的，是具有紧支撑的正交小波函数，其定义如下[5]：1012()11210ttt其他(3.1)Haar小波是一个最简单的时域不连续的小波，它类似一个阶梯函数，由于它的紧支撑性和正交性，使得Haar小波的应用很普遍。图3-1所示为Haar波的函数图像。图3-1Haar小波函数图像由于Haar小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。但也有自己的优点：①计算简单；②在2ja