12-大学物理动量矩定理

1§12–1质点与质点系的动量矩§12–2动量矩定理§12–3刚体定轴转动微分方程§12–4刚体对轴的转动惯量§12–5质点系相对于质心的动量矩定理§12–6刚体平面运动微分方程第十二章动量矩定理2质点质点系动量定理：动量的改变外力（外力系主矢）动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点轴）之矩两者之间的关系。质心运动定理：质心的运动外力（外力系主矢）物体在移动时运动与受力之间的关系－动量定理。物体在转动中运动的量与受力之间的关系－动量矩定理FCA例：匀质圆盘，质心C在转轴上。,0CvCvMp动量：,0质心无运动,0)(eF所以，动量不能反应转动的问题。而：3§12-1质点与质点系的动量矩一．质点的动量矩FrFMO)(zOzFMFM)]([)()()()(kFjFiFkzjyixFMzyxOxyzOyFxFFM)]([yoxzBFr力对轴z的之矩：代数量A)(FMO力对点O之矩在z轴上的投影：kFMjFMiFMFMzOyOxOO)]([)]([)]([)(xyzyFxFFM)(复习：力对点O之矩4zOzvmMvmM)]([)(质点对轴z的动量矩：代数量yoxzAvmr质点对点O动量矩：vmrvmMO)()(vmMOxyzOymvxmvvmM)]([质点的动量对点O之矩在z轴上的投影：xyzymvxmvvmM)(单位：kg·ｍ2/s。动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。Q质点的动量对点O之矩质点对点O动量矩在z轴上的投影，等于对z轴的动量矩：5二．质点系的动量矩)(iiOOvmML)(iizzvmML质点系对轴z动量矩：各质点对同一z轴动量矩的代数和。刚体动量矩计算：1．平动刚体对点O的动量矩：CCCOOvMrvMML)(Ciiiiivrmvmr)(CzzvmML平动刚体对轴z动量矩：iiivmrCCvMr质点系对点O动量矩：各质点对点O动量矩的矢量和。)(iizzvmMLzOL][62．刚体绕z轴转动的动量矩：3．平面运动刚体)(iizzvmMLCCzzJvmML)(1．平动刚体对点O的动量矩：CCCOOvmrvmML)()(CzzvmML平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。平动刚体对轴z动量矩：2iirmzJ平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。7例题1例题动量矩定理11222321RRvv12232222221)(RmmRJRJLOOCOBOAOLLLL2332222211)(RvmRvmJJ解：运动分析滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1，滑轮B：m2，R2，J2；物体C：m3求:系统对O轴的动量矩。A轮：定轴转动C物：平动B轮：平面运动逆时针8§12-2动量矩定理Fdtvmd)(一．质点的动量矩定理两边叉乘矢径,有Frdtvmdr)(r左边可写成vmdtrdvmrdtddtvmdr)()(,)(,0FMFrvmvvmdtrdO而Frvmrdtd,)(质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。故：).()]([FMvmMdtdOO9将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得)()(),()(),()(FmvmMdtdFMvmMdtdFMvmMdtdzzyyxx上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。称为质点的动量矩守恒。若0)(FMO则)(vmMO常矢量).()]([FMvmMdtdOO))((常量vmMz).0)((FMz若则10试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。已知单摆m，l，t=0时=0，从静止开始释放。OφvA例题2例题动量矩定理11把单摆看成一个在圆弧上运动的质点A，。又设在任一瞬时质点A具有速度v，摆线OA与铅垂线的夹角是。对通过悬点O而垂直于运动平面的固定轴z作为矩轴，应用质点的动量矩定理OzOzMtLdd由于动量矩和力矩分别是解：OφvA和sinmglMOzdtdmlllmmvlLOz2)(例题2例题动量矩定理从而可得sin)dd(dd2mgltmlt12sin)dd(dd2mgltmlt化简即得单摆的运动微分方程0sindd22lgt例题2例题动量矩定理微幅摆动时，,sin02n解微分方程,并代入初始条件则运动方程)0,,0(00ttlgcos0，摆动周期glT2并令lgn2OφvA13注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）质点动量矩定理的应用：在质点受有心力的作用时。质点绕某心（轴）转动的问题。14质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。二．质点系的动量矩定理左边交换求和与导数运算的顺序:),(iiOOvmML)()()(eOeiOOMFMdtLd一质点系对固定点的动量矩定理nieiOniiiOniiiOFMFMvmMdtd1)(1)(1)()()(对质点系，有),,3,2,1().()()()()(niFMFMvmMdtdeiOiiOiiO对质点Mi：)(,)(,)()()()()(eizzeiyyexeixxFMdtdLFMdtdLMFMdtdL将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得,0)()(iiOFM而:则:15上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。质点系的动量矩守恒当时，常矢量。当时，常量。0)(eOM0)(ezMOLzL动量矩定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。)(,)(,)()()()()(eizzeiyyexeixxFMdtdLFMdtdLMFMdtdL16动画动量矩定理参见动画：爬绳比赛的力学分析(1)17动画动量矩定理参见动画：爬绳比赛的力学分析(2)18动画动量矩定理参见动画：挺身式跳远的腾空动作19滑轮、重物A和B连接如图示。定滑轮对水平转轴O的转动惯量是JO；定滑轮的半径是r。绳端悬挂的重物A和B重量分别是PA和PB，且PAPB。试求定滑轮的角加速度。例题3例题动量矩定理20解:取定滑轮，重物A,B和绳索为研究对象。)a(ddOzOzMtL系统的动量矩由三部分组成，等于考虑到v=r，则得)()(22brgPrgPJLBAOOz外力主矩仅由重力PA和PB产生，有)c()(rPPMBAOz例题3例题动量矩定理对定滑轮的转轴z(垂直于图面向外)应用动量矩定理，有OBAOJrvgPrvgPL21将表达式(b)和(c)代入方程(a)，即得)a(ddOzOzMtLrPPtddrgPrgPJBABAO)()(22从而求出定滑轮的角加速度rrgPrgPJPPtAAOBA22dd方向为逆钟向。例题3例题动量矩定理)()(22brgPrgPJLBAOOz)c()(rPPMBAOz22摩擦离合器靠接合面的摩擦进行传动。在接合前，已知主动轴1以角速度0转动，而从动轴2处于静止(图a)。一经结合，轴1的转速迅速减慢，轴2的转速迅速加快，两轴最后以共同角速度转动(图b)。已知轴1和轴2连同各自的附件对转轴的转动惯量分别是J1和J2，试求接合后的共同角速度，轴承的摩擦不计。01221(a)(b)例题4例题动量矩定理23例题4例题动量矩定理参见动画：动量矩定理－例题424解：取轴1和轴2组成的系统作为研究对象。接合时作用在两轴的外力对公共转轴的矩都等于零。故系统对转轴的总动量矩不变。接合前，系统的动量矩是(J10+J20)。离合器接合后，系统的动量矩是(J1+J2)。故由动量矩守恒定律得)(2101JJJ从而求得结合后的共同角速度0211JJJ显然的转向与0相同。例题401221(a)(b)例题动量矩定理25小球A，B以细绳相连。质量皆为m，其余构件质量不计。忽略摩擦，系统绕z轴自由转动，初始时系统的角速度为ω0。当细绳拉断后，求各杆与铅垂线成θ角时系统的角速度ω。ω0zaallABωzaaθθllAB例题5例题动量矩定理26例题5例题动量矩定理参见动画：动量矩定理－例题527此系统所受的重力和轴承的约束力对于转轴的矩都等于零，因此系统对于转轴的动量矩守恒。当θ=0时，动量矩020122maamaLz当θ≠0时，动量矩22)sin(2lamLz因为Lz1=Lz2，得022)sin(laa解:ωzaaθθllABω0zaallAB例题动量矩定理例题528高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，轮绕O轴转动。小车和矿石总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动贯量为J，轨道的倾角为θ。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求小车的加速度a。θOMωW1vW2FN例题6例题动量矩定理29取小车与鼓轮组成质点系，视小车为质点。以顺时针为正，此质点系对O轴的动量矩为vRmJLO2RgmMMosin2)e(受力分析：力偶M，重力W1和W2，轴承O的约束力FOx和FOy，轨道对小车的约束力FN。θOMωW1FOxFOyvW2W2NW2tFN解：而W2t=P2sinθ=m2gsinθ，则系统外力对O轴的矩为W1，FOx，FOy对O轴力矩为零。将W2沿轨道及其垂直方向分解为W2t和W2N，W2N与FN相抵消。例题动量矩定理例题630由质点系对O轴的动量矩定理，有RgmMvRmJtsindd22因，，于是解得Rvatvdd2222sinRmJgRmMRa若，则,小车的加速度沿斜坡向上。RgmMsin20a例题动量矩定理例题6OzOzMtLddθOMωW1FOxFOyvW2W2NW2tFN31§12-3刚体定轴转动微分方程对于一个定轴转动刚体zzJL.)()(ezzMJdtd)(22)(ezzezzMdtdJMJ或—刚体定轴转动微分方程解决两类问题：已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。代入质点系动量矩定理，有322）．若常量，则=常量，刚体作匀变速转动。将与比较，刚体的转动惯量是刚体转动惯性的度量。1）．若,则恒量，刚体作匀速转动或保持静止。特殊情况：.0)()()(ezezFMM,0)(ezM)(ezzMJFamzJ33§12-4刚体对轴的转动惯量一．转动惯量的定义：2iizrmJ刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。若刚体的质量是连续分布，则dmrJmz2转动惯量恒为正值，国际单位制中单位kg·m2。二．转动惯量的计算１．积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采