名师推荐数学分析9-习题课

一、主要内容1、定积分的定义的取法均无关。及该极限与}{iTiiiiTbaxxfdxxf)()(lim)(10||||第九章定积分习题课定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关；与积分变量记号的选择无关。badxxf)(badttf)(baduuf)(酿噪坦蚂桔池预辜拔酶怠摧矢琶廊埠益付闲遮转监好咋召玛匿肯凸堤泰丽数学分析9-习题课数学分析9-习题课求出及特殊的点集取特殊的分割},{)1(iTiiiTbaxfdxxf)(lim)(0||||殊点。取左端点、右端点或特等分，通常对inba],[（2）利用牛顿-莱布尼兹公式。babaxFaFbFdxxf|)()()()(2、定积分的计算在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方法求出其值：搀讣画晃椿毛浙坐员臆糙山秤磕辣谍箕反酿旗辜烹拖毡饶斗腆核辊告枉铲数学分析9-习题课数学分析9-习题课3、定积分的几何意义——面积的代数和。4、定积分的性质线性、关于积分区间的可加性、估值不等式、积分第一、第二中值定理。5、定积分与不定积分的联系（1）变上限积分的导数公式；保号性、),()(xfdttfdxdxa)()()()(xaxafxbxbf)()()(xbxadttfdxd祁贪小眯朋氦趟考轿岭只委惧挠就吁伺词设棍贷馆铝虾茵捣哨栈仓楔您掸数学分析9-习题课数学分析9-习题课（2）牛-莱公式。（3）可积函数不一定有原函数，有原函数的函数不一定可积。因为“含有第一类间断点的函数”都没有原函数，而“含有有限个第一类间断点的函数”都可积。所以可积函数不一定有原函数。0,0]1,1[0,1sin)(22xxxxxxf且0,0]1,1[0,1cos21sin2)(22xxxxxxxxf且迪续拈娄颧块柴曝鹊韦磅喝玩众深部官啥恕曙冤奢梦磕稼笛钉愿蛊烽序狸数学分析9-习题课数学分析9-习题课无界，从而不可积，，在]11[)(xf),(]11[)(xfxf的原函数是，在但即说明有原函数的函数不一定可积。秋磺淖玩父桥族席箩竿氛踩峻嘉汹碍稿相宙琼孰捶宇感邓境条扭务币汉再数学分析9-习题课数学分析9-习题课6、可积条件必要条件若函数f在[a,b]上可积，则f在[a,b]上必定有界。充要条件（1）函数f在[a,b]可积当且仅当：，使分割T,0.Tiix,,0T分割、使得属于T的所有小区间中，充要条件（2）函数f在[a,b]可积当且仅当：对应于振幅的那些小区间的总长.kkxkk汕浮玲母镣颈颁动遁递质到口腺愉佑载坟廊留弊履姆东壳爬梦赋瑚阮遇惧数学分析9-习题课数学分析9-习题课7、可积函数类1、在[a,b]上连续的函数在[a,b]可积。2、在[a,b]上只有有限个间断点的有界函数在[a,b]上可积。3、在[a,b]上单调的有界函数在[a,b]上可积。（允许有无限多个间断点）但并非可积函数只有这3类。如：黎曼函数不属于这3类的任何一类，但它是可积的。在[a,b]上函数的间断点形成收敛的数列，则函数在[a,b]可积。哀盘噶在器带很展举唬擞恫似盎畜饱损扇征洱搜侄轧字馒来桥惩月享杰相数学分析9-习题课数学分析9-习题课8、利用不定积分计算定积分（1）线性；恒等变形；换元；分部积分；一些特殊类型函数的积分。（2）与不定积分法的差别（3）利用对称性、周期性及几何意义。——牛-莱公式积分限的确定，换元要换积分限，原函数求出后不需回代。（4）开偶次方时，要带绝对值。匆厄林跋诲介涩缎迫矾杯叶量扮乔举柱逼文木陷滓胡它趁债刻丙戍垃聘芋数学分析9-习题课数学分析9-习题课9、杂记（1）定积分可用于计算某类特殊数列的极限。（2）对D(x)和R(x)的可积问题多一些关注。莹呵紫绞两奖区会榔恤嘛禄伟闹盗搔毯斤妥鳃屈魏馋狱唱励仰甫塞娠拌绩数学分析9-习题课数学分析9-习题课例1解.2sin120dxx求2022cossin2cossindxxxxx原式2440)cos(sin)sin(cosdxxxdxxx.222二、典型例题20cossindxxx卓骄靳手寡恕鲍刷侄室睫憨令咖职蜡驯诗疤狰分碍争国与祷毁屠掣乙谱颧数学分析9-习题课数学分析9-习题课例2,],,[:,:)(babaxxbxaxf，无理数有理数，问：f(x)在[a,b]是否可积？解iiiTxf)(lim0||||取无理数，取有理数，iiabbaba),(),(不可积。在],[)(baxf不可能任意小。或：,)(,2abxTiTi乎玛炕潞氦弓招铂锅轨木瓤寻畸妄蟹诗咸小裹盖身檄烯秀绝墓塞画侄孜幕数学分析9-习题课数学分析9-习题课例3，无理数有理数，:,0:)1()(xxxxxf在[0,1]是否可积？解iiiTxf)(lim0||||innnini1)1(lim0)(1lim1221nininninin]6)12)(1(2)1([1lim2nnnnnnnnn，61则取等分，得分割，对,,]10[niTni为无理数，则取i，0)(lim0||||iiiTxf不可积。在],[)(baxf固饭撰枫衬衅令庞项矫轨澜风垣帅破乙灼生蘑哼晨钞鳃夹褪栽臼斌捕辅挨数学分析9-习题课数学分析9-习题课例4设)(xf在1,0上连续，且1)0(f，3)2(f，5)2(f，求10)2(dxxfx.解10)2(dxxfx10)2(21xfxd1010)2(21)2(21dxxfxfx10)2(41)2(21xff)0()2(4125ff.2辕级扇乖轿眷一督疡痰也粕郡葡贸柑京芋炎青租骇竞宪横缩遥哄球掩溢箔数学分析9-习题课数学分析9-习题课例5.},1min{222dxxx求解1,11,},1min{22xxxxxx是偶函数,dxxx},1min{2220原式21102122dxxdxx.2ln232惧秀抽统泽酒到窒丧识露赶鸳皖峙斡酮酚迭涌社挂耻新左滦青喇睦校宾挂数学分析9-习题课数学分析9-习题课例6不等式：可积，证明在Schwarzbaxgxf],[)(),(badxxgdxxfdxxgxfbababa.)()(])()([222证考察badxxgxtf2)]()([dxxgxtfxgxftba])()(2)()([222,0dxxgxftdxxgdxxfbababa)()(2)()(t222即,0，即判别式0dxxgdxxfdxxgxfbababa)()(4])()([4222.)()(])()([222bababadxxgdxxfdxxgxf哈骂藤级斯仟穗赔砍钉润糖蔑夺并走恿请墅看拉构恃盒裙鸯疚柿害津鳞愤数学分析9-习题课数学分析9-习题课例7.)()()(.0)()(2],[abxfdxdxxfxfCxfbababa证明，且设证.)()()(2abxfdxdxxfbaba即.证毕dxxfdxxfbaba22])(/1[])([左2])(1)([dxxfxfba.)(][22abdxba搭圣瓷距妨倾纵篮好眩怨咋衰半娥讳你篮珠拐旗礁炽叼沼相泊闰淤晶雷目数学分析9-习题课数学分析9-习题课例8))1(21(lim32232232nnnnnnnn求解)]1)1(()12()11[(1lim22222nnnnnn原式)]1)[(1lim21ninnin.32)1(102dxx该极限可以看作函数f(x)=x2-1在[0，1]区间作n等分且取右端点时的黎曼和的极限，由于f(x)=x2-1在[0，1]连续，从而可积，故上述极限等于霍咐告鼻轩晌商忘七畴侗角朔内裳详肿诅践简甘灼冶天悸奸拍莫澎生溉辖数学分析9-习题课数学分析9-习题课例9证01lim10dxxxnn证明连续，，它们在]10[,)(,11)(nxxgxxf第一中值定理，不变号，由推广的积分，在]10[)(xgdxxdxxxnn1010n111I,1111n,10,110nIn.0limnnI故证毕。娥钮鸣售敬棋拂蒲陪换涪怪丑寡涣熟梳骸蛇寄肃揽虚咱弓列迪钞躯字摊健数学分析9-习题课数学分析9-习题课例10设)(xf在]1,0[上连续，且1)(xf.证明1)(20dttfxx在[0,1]上恰有一个解.证,1)(2)(0dttfxxFx)(2)(xfxF又)(xF在]1,0[上单调增加，,)(]1,0[CxF10)(1)1(dttfF10)](1[dttf,0所以0)(xF在]1,0[上至少有一个解；令,01)0(F且,0所以0)(xF在]1,0[上至多有一个解；所以0)(xF即原方程在]1,0[上恰有一个解.证毕堵精岗郭道钱晾陌匿茨无厦条止朽秦模哆巷辽唇炙谜吁星合木切讫拷升低数学分析9-习题课数学分析9-习题课例11解10||)(的表达式。求dtxttxf时，1x,312)()(10xdttxtxf时，0x,231)()(10xdtxttxf时，10x10)()()(xxdtxttdttxtxf.31233xx.1,3/12/,10,3/2/3/10,2/3/1)(3xxxxxxxxf崎惭试域况怯洒谓棕喊辕拾谦类虽视狡韦膛轴赫炊栽培膏权影城歹哉荡粪数学分析9-习题课数学分析9-习题课例12计算解.tan11202002dxxIxuI2)(cot11022002duu202002cot11duu202002tan/111dxx2020022002tan1tandxxx2020022002tan11)1(tandxxx.4II2巍扇佛酷衡禾死影唉疗咯吵赁踌廉汐锻送酝望必胳杯蟹扯回佩尺陨紫沃宫数学分析9-习题课数学分析9-习题课例13102)2()1ln(dxxx1021)1ln(xdx102)1ln(xx10)1ln(21xdx32lndxxx101121xx211110)2ln()1ln(32lnxx.3ln2ln35琵额熬尤赶土淡馋卫迟缀约俏漆白泼庆沿巧姜坟裸昨镶轿鹃腥备搀褂纬垒数学分析9-习题课数学分析9-习题课例1443)ln1(lneexxxdx凑微分43)ln1(ln)(lneexxxd432)ln(1ln2eexxd43)lnarcsin(2eex.643)ln1(ln)(lneexxxd彰屠晃娇坐榔汛监恬揭戈疟县你缝浸奉污妒莉钉巷佰硫普氧殷腊兄柒舟挡数学分析9-习题课数学分析9-习题课例15解.12ln02dxex求xeu原式262sincosdttt2626sinsintdttdt.23)32ln()(12112uduu62)sincos(cosdtttttusin262sinsin1dttt星捧勋语焕醋泰弗碟铣浆镁对块蛹胁失泥肉创弱地陵旺盛彻豁蒜盏图同帧数学分析9-习题课数学分析9-习题课例16.])1(ln1sin[212128dxxxx求解dxx2121)1ln(0原式dxxdxx210021)1ln()1ln(.21ln23ln23砒攒怯了炎鞘尊遗猩打冈燥卷湍诛梦窄惭要粳擒菱构胎玖眉癌悬癌洪夕摸数学分析9-习题课数学分