3-1复变函数解读

上页下页铃结束返回首页1§3.1复变函数积分的概念及其简单性质1、复变函数积分的定义2、复变函数积分的计算问题3、复变函数积分的基本性质4、小结与思考上页下页铃结束返回首页2光滑曲线的概念回顾:22:()(),()(),,[()][()]0,.CzxtiytttxtyttxtytC对于简单曲线如果在上和都是连续的且对于的每一个值有那末称这曲线为光滑的由有限条光滑曲线依次相接的所组成的连续曲线称为按(逐)段光滑曲线.特点(1)光滑曲线上的各点都有切线(2)光滑曲线可以求长按(逐)段光滑的闭曲线称为周(围)线.上页下页铃结束返回首页3闭曲线正向的定义:简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.曲线方向的说明:一般曲线C的正方向总是指从起点到终点的方向.那么终点到起点的方向就是曲线C的负向,记为C-上页下页铃结束返回首页41.1积分的定义::()()(),(),()CzzttazbzfzC设有有向曲线起点:终点:在上有定义oxyab1nzkz1kz2z1zkC121(1,2,,),在每个弧段上任意取一点kkkzzkn1、复变函数积分的定义011,,,,,,,,kknCnazzzzzb把曲线沿着从起点到终点的方向任意分成个弧段设分点依次为:(1)对C作分割T(2)取介点集0aznbz上页下页铃结束返回首页5111()()(),nnnkkkkkkkSfzzfzoxyAB1nzkz1kz2z1zkC121()max{},kknTs记,,11的长度这里kkkkkkzzszzz,0时无限增加且当n(),(),C,knJfzSJCfzC如极限值称为函数果不论对的分法及的取法如何有有沿曲线限的极限则称唯一沿的积分着的,向可积记为正(3)作(Rinmann)和(4)求极限()dCfzz上页下页铃结束返回首页6关于定义的说明:(2)()()d.CfzCfzz沿者此闭曲线的积分也可记为(3),()(),.Cxaxbfzux如果是轴上的区间而这个积分定义就是一元实变函数积分的定义01:()lim().nnkkCkfzdzfz即(1)()d()Cfzzfz用表示沿着曲线C的负向的积分(4)()d()bCafzzfzdz一般不能把写成形式(,C)dCfzzab因为:一般的值不仅与起更与积分路点终点有关，线有关上页下页铃结束返回首页7问题1：()d()如果积分存在,则沿是否有界？CfzzfzC问题2：如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线C连续，则f(z)沿C是否可积？且()？Cfzdz上页下页铃结束返回首页82.积分存在的条件2.1必要条件()d().CfzzfzC如果积分存在沿有界2.2充分条件()CCCfzdzudxvdyivdxudy定理3.1如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线C连续，则f(z)沿C可积，且上页下页铃结束返回首页9,kkki111()kkkkkkkzzzxiyxiy)()(11kkkkyyixx,kkyix(1)将各函数代数化,kkkzxiy设()(,)(,)kkkkkkkfuivuiv1()nnkkkSfznkkkkkkkyixviu1))](,(),([证上页下页铃结束返回首页1011[(,)([(,)(,)],)]nnkkkkknkkkkkkkkkvuxxuyvSiy()(,)(,)C,fzuxyivxy在上连续(,)(,)Cuxyvxy和在上连续,当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,,,),(,下式两端极限存在的取法如何点的分法任何不论对kkC(2)求极限上页下页铃结束返回首页11nkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111]),(),([]),(),([)(Czzfd)(CyvxuddCyuxvddi:ddd)(相乘后求积分得到与yixzivuzfCzzfd)(Cyixivu)dd)((Cyvyiuxivxudddd.ddddCCyuxviyvxuCzzfd)(CyvxuddCyuxvddi在形式上可以看成是上页下页铃结束返回首页12例3.1设C表示连接点a的b任一曲线,证明:(1)Cdzba22(2)2CbazdzCabn首先在曲线沿着从到的方向任取个分点:011,,,,,,,kknazzzzzb证明:1(1,2,,),kkkzzkn其次,1:(),nnkkkSfz作和式(1)因为:f(z)=11111:()nnnnkkkkkkkkSfzzzz所以上页下页铃结束返回首页131()nnkkkSfzba001limlim()nnkkddkSfzbaCdzba(2)因为f(z)=z1111:()nnnnkkkkkkkkkkSfzzzz所以Sn不容易计算,但由于f(z)=z连续,说明,Sn的极限与介点的选取无关11101,:()lim()nkkkkCdkzfzdzzzzk取有101,:()lim()nkkkkCdkzfzdzzzzk再取有两式相加,得上页下页铃结束返回首页141110111110122221012()lim()()lim()()lim()nnkkkkkkCdkknkkkkkkdknkkdkfzdzzzzzzzzzzzzzzzba22()2Cbafzdz上页下页铃结束返回首页152.复积分计算的参数方程法(,)(,)Cuxyvxy又和在上连续,()CCCfzdzudxvdyivdxudy若C的参数方程为:C:z(t)=x(t)+iy(t)t则因为C是光滑曲线x(t),y(t)C[,]:((),())()((),())()()()()()Cudxvdyuxtytxtvxtytytdtutxtvtytdt上页下页铃结束返回首页16((),())()((),())()()()()()Cvdxudyuxtytytvxtytxtdtutytvtxtdt:()d.Cfzz这样可以通过两个二元实变函数的线积分来计算()d()()()()d()()()()dCfzzutxtvtyttivtxtutytt{()()}{()()}dutivtxtiytt[()]()d.fztztt上页下页铃结束返回首页17定理1.设曲线C的参数方程为:z=z(t)=x(t)+iy(t)t2.f(z)沿曲线C连续()d()()()()d()()()()d则Cfzzutxtvtyttivtxtutytt{()()}{()()}dutivtxtiytt[()]()d.fztztt注:该公式可看成由下式形式相乘而得到上页下页铃结束返回首页18例2解法1.43:,d的直线段从原点到点计算iCzzC:(34),01Czitt的参数方程为,d)43(dtizd)43(d102ttizzCd)43(102tti2(34)724=-.222ii)dd)((dCCyixiyxzz又因为解法2上页下页铃结束返回首页19dddddCCCyxxyiyyxxzz这两个积分都与路线C无关,43曲线的是怎样从原点连接到点所以不论iC.2)43(d2izzC3,401,xtytt将带入得1100d33dt44d43d34dCzztttitttt1100724724-22tdtitdti724-.22i上页下页铃结束返回首页20例3解.2:,dzCzzC圆周为其中计算积分路径的参数方程为),π20(2iezd2diiezCzzdπ20d22iie)2(z因为π20d)sin(cos4ii.0上页下页铃结束返回首页21例4解.,,,d)(1010为整数径的正向圆周为半为中心为以求nrzCzzzCnzxyor0z积分路径的参数方程为),π20(0irezzCnzzzd)(110π20)1(1dninierire,dπ20inneri上页下页铃结束返回首页22zxyor0z,0时当nCnzzzd)(110π20di;2i,0时当nCnzzzd)(110π20d)sin(cosninrin;0rzznzzz0d)(110所以.0,0,0,2nni上页下页铃结束返回首页233.1.3复积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.;d)(d)()1(CCzzfzzf)(;d)(d)()2(为常数kzzfkzzkfCC;d)(d)(d)]()([)3(CCCzzgzzfzzgzf被积函数的线性可加性设f(z),g(z)沿曲线C连续上页下页铃结束返回首页24积分路径的可加性(6),()(),()d()d.CCCLfzCfzMfzzfzsML设曲线的长度为函数在上满足那末(5)()d()d()dsCCCfzzfzzfz22d()()zdxdyds123(4)nCCCCC设:Czzfd)(.d)(d)(d)(21nCCCzzfzzfzzf上页下页铃结束返回首页25性质(5),(6)的证明,1两点之间的距离与是因为kkkzzz,度为这两点之间弧段的长ksknkkzf1)(所以nkkkzf1)(nkkksf1)(两端取极限得.d)(d)(CCszfzzfnkkksf1)(因为nkksM1,ML.d)(d)(MLszfzzfCC所以[证毕]性质5积分估值定理上页下页铃结束返回首页26例5解.11(3);1(2);1(1):,dRe2的折线再到轴到点从原点沿的弧段上从原点到点抛物线的直线段从原点到点为其中计算ixixyiCzzC(1)积分路径的参数方程为),10()(titttz,d)1(d,Retiztz于是CzzdRe10d)1(tit);1(21ixyoi11i上页下页铃结束返回首页27(2)积分路径的参数方程为xyoi11i2xy),10()(2titttz,d)21(d,Rettiztz于是CzzdRe10d)21(titt1032322tit;3221i上页下页铃结束返回首页28xyoi11i2xy(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为),10()(tttz1到1+i直线段的参数方程为),10(1)(tittz,dd,Retztz于是,dd,1Retizz于是CzzdRe10dtt10d1ti.21i上页下页铃结束返回首页29例5解.d1,43绝对值的一个上界试求积分的直线段为从原点