91定积分的概念数学分析课件华师大四版高教社华东师大教材配套课件

在很多数学和物理问题中，经常需要求一类特殊和式的极限:这类特殊极限问题导出了定积分的概念.§1定积分的概念数学分析第九章定积分01lim(),Tniiifx数学分析第九章定积分高等教育出版社§1定积分的概念(,)|[,],0().Axyxabyfx三个典型问题(),[,],yfxxab1.设求曲边梯形A的面积S(A),其中yxOxfy()SAab后退前进目录退出数学分析第九章定积分高等教育出版社§1定积分的概念2.已知质点运动的速度为求从时刻(),[,].vttab3.已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为,)(x,],[bax求线状物体的质量m.显然,()()();fxcSAcba当为常值函数时，0();svba为匀速运动时,0()vtv当当质量为,x均匀分布时，即为常数时).(abm这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变”的情a到时刻b,质点运动的路程s.情况下，可以用简单的乘法进行计算.数学分析第九章定积分高等教育出版社§1定积分的概念以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题合中心思想：“有变化”的情形,如何来解决这些问题呢？理地归为一类特殊和式的极限.把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替代,而现在遇到的问题是“非常值”、“不均匀”、每个虽然为此会产生误差，矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面积.但当分割越来越细的时候,数学分析第九章定积分高等教育出版社§1定积分的概念一分为二yxOxfy()SAab1x数学分析第九章定积分高等教育出版社§1定积分的概念一分为四yxOxfyab1x2x3x()SA数学分析第九章定积分高等教育出版社§1定积分的概念一分为八yxOxfyab81x1x3x()SA数学分析第九章定积分高等教育出版社§1定积分的概念一分为nyxOxfyab1xix1ix1nxi()SA可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形的面积.数学分析第九章定积分高等教育出版社§1定积分的概念过程呢？1.分割：,,,,21nAAAa1x2x1nxb即在上插入个分点121{,,,},nxxx[,]ab1n121,naxxxb如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的这可以分三步进行.0,nxaxb为方便起见，记，1[,],iiixx112,,,,,iiixxxin把曲边梯形A分成n个小曲边梯形010,,,Δ,,Δ.nnTxxxT用或=来记这个分割数学分析第九章定积分高等教育出版社§1定积分的概念11[,],[,]()iiiiixxxxfx在上把近似看作常数11()()Δ.nniiiiiSASfx2.近似:1()Δ.niiifx上述和式称为积分和或黎曼和iA把小曲边梯形近似看作矩形，即任取().if(),iiiiASfx此时的面积约为所以数学分析第九章定积分高等教育出版社§1定积分的概念3.逼近：当分割越来越细时,和式1()Δniiifx问题是：(1)如何刻画分割越来越细？1(2)()Δ?niiifxS如何刻画越来越逼近于就会越来越小.S与的差距下面依次讨论这两个问题.1()Δniiifx与曲边梯形的面积因此黎曼和不管分割多么细，小曲边梯形终究不是矩形,S总有差别.数学分析第九章定积分高等教育出版社§1定积分的概念来表示分割T越来越细,n用maxΔ1,2,,.iTxin1[,]iixx区间要保证每个区间的长度不趋于0.1[,]0,iixxT的长度趋于需引细度入分的:割(模)0T则当时,就能保证分割越来越细.,)1(100bxxxaTn：对于一般的不能因为可能某些数学分析第九章定积分高等教育出版社§1定积分的概念都有1()Δ.niiifxS－对于另外两个实际问题,也可类似地归结为黎曼和0,给定的的极限.1(2)(),niiifxS要刻画能无限逼近需要任意能够找到,0使得当maxiTx时，1[,],iiixx对任意总结以上分析，下面给出定积分定义.数学分析第九章定积分高等教育出版社§1定积分的概念定义1[,]R.fabJ设是定义在上的函数，001:,nTaxxxb00,若，对任意分割[,]fab则称在上可积，并称J为f在[a,b]上的1[,],1,2,,,iiixxin及任意01()dlim()Δ.nbaTiJfxxfxii定积分,maxiTx当时,必有1(),niiifxJ记作数学分析第九章定积分高等教育出版社§1定积分的概念分变量,f其中称为被积函数,x为积[,]ab为积分区间,,()fx由定义曲边为的曲边梯形的面积为()d.baSfxx()vt通过类似分析,速度质点运动的路程为()d;basvtt()x密度为线状物体的质量为()d.bamxx,ab分别为积分下限和上限.数学分析第九章定积分高等教育出版社§1定积分的概念1()Δniiifx和式注1nT不仅与和有关,还与列极限，也不是函数极限.注2中,我们把小曲边梯形近似看作矩形时,12{,,,}n有关,因此定积分的极限既不是数关于定积分定义，应注意以下几点：f(x)在每个小区间[xi–1,xi]上变化不大,要求f(x)有某种程度上的连续性.[,].ab并非每个函数在上都可积在近似过程显然要求这相当于数学分析第九章定积分高等教育出版社§1定积分的概念[a,b]上的一致连续性,可证f(x)在[a,b]上可积.下面举例来加深理解用定义求定积分的方法.122001d=limΔniiTiSxxx2()[01]fxx在，上连续，故解120d.xx求例1存在.以后将知道f(x)在[a,b]上连续时,利用f(x)在数学分析第九章定积分高等教育出版社§1定积分的概念,,2,1,11210:nnnnnTn,,,2,1,,11ninininii取则此时黎曼和的极限化为nniSnin1121数列的极限.为方便起见,令1maxniinTx10,nn数学分析第九章定积分高等教育出版社§1定积分的概念nniSnin11lim12ninin12311lim36121limnnnnn于是这里利用了连续函数的可积性.1.iin可取特殊的分割(等分)和特殊的介点.31因为可积,所以数学分析第九章定积分高等教育出版社§1定积分的概念注3.积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A12345()dbafxxAAAAA各部分面积的代数和O数学分析第九章定积分高等教育出版社§1定积分的概念()d0;aafxx规定注4.为了以后讨论方便，定积分作为和式的极限，它的值只与被积函数和与积分变量用什么字母表示无关,即()dbafxx()dbaftt()dbafuu积分区间有关，