特殊随机变量起源及应用

HHaarrbbiinnIInnssttiittuutteeooffTTeecchhnnoollooggyy课课程程设设计计说说明明书书（（论论文文））课程名称：概率论课程设计设计题目：特殊随机变量起源及应用院系：航天学院控制科学与工程系班级：1104104设计者：田书赫学号：1110410418指导教师：田波平设计时间：20121211哈尔滨工业大学教务处1特殊随机变量起源及应用摘要本文论述了几类特殊随机变量的起源、定义、及部分应用。详细介绍了离散型的二项分布和泊松分布，连续型的正态分布，讨论了其在系统有效性问题、能量供应问题、成绩评价等方面的应用，并详细探讨了二项分布的泊松逼近和正态逼近，论述了棣莫弗∙拉普拉斯极限定理，列举了该定理在实际中的应用。正文一、随机变量定义进行试验时，相对于试验的实际结果而言，通常我们更感兴趣的是有关试验结果的某些函数。比如，在掷两枚骰子的游戏中，我们通常更关心两枚骰子的点数之和，而不是各枚骰子的具体值；同样，在掷若干枚硬币时，我们或许关心正面朝上的总数，而不关心实际结果有关正面朝上或反面朝上的排列情况。这些感兴趣的量是试验结果的实值函数，我们称之为随机变量。定义1.1称定义在样本空间上试验结果的实值函数ξ（ω）为一个随机变量。定义1.2称一元函数：F（x）=P（ξ（ω）x）（对任意实数x）为随机变量ξ（ω）的分布函数。二、离散型随机变量若一个随机变量最多有可列个可能取值，则称这个随机变量为离散型的。2．1伯努利分布和二项分布瑞士数学家雅克·伯努利（JacquesBernoulli,1654～1705）首次研究独立重复试验（每次成功率为p）。在他去世后的第8年（1713年），他侄子尼克拉斯出版了伯努利的著作《推测术》。在书中，伯努利指出了如果这样的试验次数足够大，那么成功次数所占的比例以概率1接近p。雅克·伯努利是这个最著名的数学家庭的第一代。在后来的三代里，一共有8到12个伯努利，在概率论、统计学和数学上做出了杰出的基础性贡献。2．1．1伯努利分布和二项分布的定义在一次试验中，事件A出现的概率为p，不出现的概率为q=1-p。若以β记事件A出现的次数，则β仅取0，1两值，相应的概率分布为：kbP{β=k}=1kkpq,k=0,1这个分布称为伯努利分布，亦称两点分布。随机变量β称为伯努利随机变量。现在进行n次独立重复试验，以μ记事件A出现的次数，则μ称为参数为（n,p）的二项随机变量。其对应的概率由二项分布给出：2b(k;n,p)=P{μ=k}=knCknkpq,k=0,1,2,⋯,n记作μ～Ｂ（n,p）。伯努利分布可以看作n=1的二项分布。2.1.2二项分布的性质二项分布具有以下性质：（1）若ξ～Ｂ（n,p),则Eξ=np,Varξ=npq.（2)若ξ～Ｂ（n,p),则当k从0到n时，p{ξ=k}开始单调递增，然后单调递减，它在k=[（n+1）p]时取最大值。2.2泊松分布泊松分布是法国数学家S.D.泊松在他所著的关于概率论在诉讼、刑事审讯等方面应用的书中提出的，这本书于1837年出版。近数十年来，泊松分布日益显示其重要性，成了概率论中最重要的几个分布之一。首先已经发现许多随机现象服从泊松分布。这种情况特别集中在两个领域中。一是社会生活，对服务的各种要求，诸如电话交换台中来到的呼叫次数，公共汽车站来到的乘客数等等都近似的服从泊松分布，因此在运筹学及管理科学中泊松分布占有重要地位；另一领域是物理科学，放射性分裂落到某区域的质点数，热电子的发射，显微镜下落在某区域中的血球或微生物的数目等等都服从泊松分布。2．2．1泊松分布的定义一个取值为0，1，2…之一的随机变量ξ称为服从参数为λ的泊松随机变量，如果对某一λ0，有P{ξ=k}=!kek,k=0,1,2,⋯简记作ξ~P（λ）.2．2．2泊松分布的性质泊松分布具有以下性质：（1）泊松随机变量的期望和方差都等于其参数λ。（2）当n足够大，p充分小，而使得np保持适当的大小时，以（n,p）为参数的二项分布可以近似看作参数为λ的泊松分布，这个λ值通常凭经验确定。2．3应用的例子例1系统有效性问题一个通讯系统由n个元件组成，各个元件是否工作正常是相互独立的，并且各个元件正常工作的概率为p。若在系统中，至少有一半的元件工作正常，那么整个系统有效。我们讨论的是当p为何值时2k+1个元件的系统比2k-1个元件的系统更有效。正常工作的元件数是一个服从参数为（n,p）的二项分布的随机变量。首先考虑5个元件的系统何时比3个元件的系统更有效。5个元件的系统有有效的概率为333244555(1)(1)CppCppp而3个元件的系统有效的概率为2233(1)Cppp因此，以下条件成立时，5个元件的系统比3个元件的系统更有效：32452310(1)5(1)3(1)pppppppp化简为23(1)(21)0pp即1.2p考虑2k+1元件的系统，令X表示“前2k-1个元件中工作正常的元件数目”，那么2221P(){1}{}(1(1)){1}kPXkPXkpPXkp系统有效上式之所以成立是基于事件“2k+1个元件的系统有效”可以写成下列三个互不相容的事件的并：（ⅰ）X≥k+1;（ⅱ)X=k而且剩下的2个元件中至少有一个工作正常；（ⅲ)X=k-1而且剩下的2个元件都工作正常。由于21(){}{}{1}kPPXkPXkPXk工作有效可得21212211221212121()(){1}(1){}(1)(1)(1)(1)[(1)]10.2kkkkkkkkkkkkkkPPPXkppPXkCppppCppCppppp工作有效工作有效例2能量供应问题假定有n=10个工人间歇性的使用电力，我们的目的是估计所需要的总负荷。建立这样一个简化的数学模型：设想在任何一个给定的时刻每一个工人以同样的概率p需要一个单位电力。如果他们是独立的进行工作，则恰有k个工人同时需要电能的概率是b（k；n，p）。如果一个工人在一个小时内平均有12分钟需要电能，则我们令p=1/5。于是在同时有7个或者7个以上的工人需要电能的概率为4b（7；10，0.2）+b(8；10，0.2)+…b（10；10，0.2）=0.0008643584.如果最多只能供应6个单位电力，则超过负荷的概率为0.00086…，即是1157分钟内约有1分钟，亦即约20个工作时中可能有一分钟超过负荷。2．4其他离散型分布2.4.1退化分布随机变量只取常数值c，又称单点分布。2.4.2几何分布在事件A发生的概率为p的伯努利试验中，若以η记A首次出现的试验次数，则η服从几何分布：1(;){},1,2,kgkpPkqpk几何分布具有无记忆性，在概率论及其应用同样具有很重要的作用。2.4.3超几何分布对某批N件产品进行不放回抽样检查，若这批产品中有M件次品，现从整批产品中随机抽出n件产品，则在这n件产品中出现的次品数ν是随机变量，它取值0，1，2，…，n，其概率分布为超几何分布.2.4.4巴斯卡分布若以ξ记第r次成功出现时的试验次数，则ξ是随机变量，取值r，r+1，…其概率分布为巴斯卡分布.三、连续型随机变量前面我们讨论了离散型随机变量的起源及其应用，，这类随机变量的可能取值的个数或者是有限的，或者是可数无限的。然而，还存在一类随机变量，它们的可能取值是无限不可数的，例如测量误差、分子运动速度、候车时的等待时间、降水量、风速等。称ξ为一个连续性随机变量，如果存在一个定义在实数轴上的非负函数f，使得对于任一个实数集B，下式成立{}()PfxdxB函数f称为随机变量ξ的概率密度函数，或密度函数。3．1正态分布正态分布是法国数学家亚伯拉罕·棣莫弗在1733年引入的。他利用正态分布求出了有关抛掷硬币试验中随机事件的概率的近似值。当时称正态分布为指数钟形曲线。1809年，德国著名数学家高斯以正态分布作为奥工具预测天文学中星体的位置，这时才展现了正态分布的应用价值。此后，正态分布就称为高斯分布。在十九世纪后半叶，大部分统计学家认为大部分数据的直方图都具有高斯钟形曲线的形状。事实上，大家认为正常的数据集合应该具有这种形状。由英国统计学家卡尔·皮尔森开始，将高斯曲线称为正态曲线。3．1．1正态分布的定义5称ξ为服从参数为a和2正态分布的随机变量，或者简称为正态随机变量，如果ξ的密度函数为22()21(),2xapxex其中σ0，a与σ均为常数，相应的分布函数为22()21(),2yaxFxedyx这个分布就称为正态分布，简记为N（a，2）。特别的，当a=0，σ=1时，称为标准正态分布，记为N（0，1），相应的密度函数和分布函数分别记为φ（x）及Φ（x）。22221(),21(),2xyxxexxedyx习惯上把服从正态分布的随机变量称为正态变量。3.1.2正态分布的性质正态分布具有以下性质：（1）正态分布的参数a和2分别代表了它的期望和方差。（2）若ξ∼N（a，2），则随机变量η=a服从N（0，1），一般N（a，2）的分布函数值可由变换而得()xaFx（3）P（x）在x=a处达到极大，其图形关于x=a对称，σ越小，分布越集中在x=a附近，σ越大，分布越平坦。3.1.3正态分布的应用例1进行一次考试，如果所有考生所得的分数可近似地表示为正态密度函数（换句话说，各级考分的频率图近似的呈现正态密度的中性曲线。），则通常认为这次考试（就合理的划分考生成绩等级而言）是可取的。教师经常用考试的分数去估计正态参数a和2，然后把分数超过a+σ的评为A等，分数在a到a+σ之间的评为B等，分数在a-σ到a之间的评为C等，分数在a-2σ到a-σ之间评为D等，分数在a-2σ以下者评为F等。（称这种方法为“曲线上”划分等级法）由于6{}{}1(1)0.1587{}{01}0.3413{}{10}0.3413{2}{21}0.1359{2}{2}0.0228aPaPaPaaPaPaaPaPaaPaPaP所以，近似地说，这次考试中，能获得A等的占16%，B等的占34%，C等的占34%，D等的占14%，成绩很差的占2%。Remark:{}{}aPakPkkkkk，k=1,2,k=1时，{}Pa=0.6826k=2时，{2}Pa=0.9544k=3时，{3}Pa=0.9973在实际应用中，经常遵循的是3σ原则：{}Pa=0.0027.例2考虑从A地到B地通过电讯传送一个二值信号，0或1.然而，数据通过电讯传送过程中会遇到噪音干扰。为了减少传送出错的概率，当传送的信息为1时，将传送值2，传送的信息为0时，就传送值-2。如果x，x=±2为在A地传送的数值，R为在B地接收到的数值，（R=x+N，N为噪音干扰），当信号在B接收后，按如下解码规则：如果R≥0.5，则认为是1；如果R0.5，则认为是0.如果噪音服从正分布，我们将要计算N为标准正态随机变量情形下的出错概率。共有两类错误。其一是信息1被错误的认为是0；另一类是信息0被错误的认为是1.第一类错误会在下列情形发生：如果信息是1，且2+N0.5，而第二类错误会在下列情形发生：信息是0，且-2+N≥0.5.因此，{1}{1.5}1(1.5)0.0668{}{2.5}1(2.5)0.0062PPNPPN错误信息是错误信息是0例3二项分布的正态近似当n很大时，参数为（n，p）的二项分布可以用正态分布来近似。棣莫弗