高等流体力学-第二讲

1北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二讲流体运动基本方程一、基本方程推导的基础知识二、基本方程的推导三、NNNN————SSSS方程的求解途径四、经典问题的解析解五、小雷诺数下NNNN————SSSS方程的近似解2北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二讲流体运动基本方程一、基本方程推导的基础知识1111、质量体与控制体的概念（1111）定义1111）质量体：选定的具有确定不变的流体质点所组成的流体团————————对应于拉氏描述。2222）控制体：依据研究问题而选定的，相对于所选定的坐标系固定不动的有限空间————————相应于欧拉描述。（2222）特点与区别几个方面比较：1111）相对于所选定的坐标系是否有运动？2222）体内流体体积是否变化？3333）自身形状是否变化？4444）通过界面是否有质量交换？5555）通过界面是否有动量交换？6666）通过界面是否有能量交换？3北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程2222、雷诺输运定理（ReynoldsReynoldsReynoldsReynolds’’’’TransportTheoremTransportTheoremTransportTheoremTransportTheorem）考虑一物理量在质量体上的体积分的随时间的变化率与相应控制体上体积分随时间的变化率间的关系。（1111）定义对一物理量Φ（x,y,z,t），质量体体积为：VM；t时刻，对应控制的体积为：VC；此时取控制体的截面积为质量体的界面：S质量体内总量：控制体内总量：∫∫∫Φ=MMMMVVVVddddttttrrrrttttIIIIττττ),()(~r∫∫∫Φ=CCCCVVVVddddttttrrrrttttIIIIττττ),()(r4北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程对质量体的导数对控制体的导数⎟⎠⎞⎜⎝⎛Φ−∆+Φ∆=∆−∆+=Φ=∫∫∫∫∫∫∫∫∫∆+→∆→∆ttttttttMMMMttttMMMMttttMMMMVVVVVVVVttttttttVVVVddddttttrrrrddddttttttttrrrrttttttttttttIIIIttttttttIIIIddddttttrrrrDtDtDtDtDDDDttttIIIIDtDtDtDtDDDD,,,),(),(1lim)(~)(~lim),()(~00ττττττττττττrrr⎟⎠⎞⎜⎝⎛Φ−∆+Φ∆=∆−∆+=Φ∂∂=∂∂∫∫∫∫∫∫∫∫∫→∆→∆CCCCCCCCCCCCVVVVVVVVttttttttVVVVddddttttrrrrddddttttttttrrrrttttttttttttIIIIttttttttIIIIddddttttrrrrttttttttIIIIttttττττττττττττ),(),(1lim)()(lim),()(00rrr5北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程（2222）推证结果当控制体的体积VcVcVcVc不变时，有：当Φ为矢量时，须注意通量项的表示（面的法线方向与速度矢量的点积）：∫∫∫∫∫∫∫∫⋅Φ+Φ∂∂=ΦSSSSVVVVVVVVdsdsdsdsnnnnvvvvddddttttddddDtDtDtDtDDDDCCCCMMMMrr)(ττττττττ∫∫∫∫∫∫∫∫⋅Φ+∂Φ∂=ΦSSSSVVVVVVVVdsdsdsdsnnnnvvvvddddttttddddDtDtDtDtDDDDCCCCMMMMrr)(ττττττττ()∫∫∫∫∫∫∫∂∂==⋅ccccVVVViiiijjjjjjjjSSSSiiiijjjjjjjjSSSSddddΦΦΦΦvvvvxxxx)ds)ds)ds)dsΦΦΦΦ(v(v(v(vnnnn)ds)ds)ds)dsΦΦΦΦvvvv((((nnnnττττrrr6北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程3333、体积分与面积分的转换关系————————广义高斯公式（1111）标量函数（2222）对矢量函数∫∫∫∫∫⋅∇=⋅VVVVSSSSddddaaaadsdsdsdsaaaannnnττττrrr∫∫∫∫∫Φ⋅∇=⋅ΦVVVVSSSSddddvvvvdsdsdsdsnnnnvvvvττττ)()(rrrττττττττddddxxxxaaaaxxxxddddaaaadsdsdsdsaaaannnniiiijjjjVVVViiiiVVVVSSSS⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂=∇⋅∇=∇⋅∫∫∫∫∫∫∫∫rrr)()(∫∫∫∫∫×∇=×VVVVSSSSddddaaaadsdsdsdsaaaannnnττττrrr7北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程4444、基本定律的概念基本定律的质量体形式表示————————拉格朗日描述法的表现形式（1111）质量守恒定律的概念微体积的质量：质量体的总质量：质量守恒的表示：ττττρρρρdddddmdmdmdm=constconstconstconstdddddmdmdmdmMMMMMMMMMMMMVVVVVVVV===∫∫∫∫∫∫ττττρρρρ0==∫∫∫MMMMVVVVddddDtDtDtDtDDDDDtDtDtDtDMDMDMDMττττρρρρ8北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程（2222）动量平衡的概念牛顿第二定律：微体积的动量：质量体的总动量：动量平衡的表示：ττττρρρρddddvvvvr∫∫∫MMMMVVVVddddvvvvττττρρρρrdsdsdsdsppppddddffffddddvvvvDtDtDtDtDDDDSSSSnnnnVVVVVVVVMMMMMMMM∫∫∫∫∫∫∫∫+=rrrττττρρρρττττρρρρFFFFvvvvmmmmdtdtdtdtddddaaaammmmrrrΣ==)(9北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程（3333）动量矩平衡的概念动量矩对时间的导数：微体积的动量矩：质量体的总动量矩：动量矩平衡的表示：ττττρρρρddddvvvvrrrrrr×∫∫∫×MMMMVVVVddddvvvvrrrrττττρρρρrrdsdsdsdspppprrrrddddffffrrrrddddvvvvrrrrDtDtDtDtDDDDSSSSnnnnVVVVVVVVMMMMMMMM∫∫∫∫∫∫∫∫×+×=×rrrrrrττττρρρρττττρρρρFFFFrrrrvvvvrrrrmmmmdtdtdtdtddddrrrr×Σ=×)(10北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程（4444）能量守恒的概念热力学第二定律：微体积流体的能量：质量体的总能量：外界对质量体所做的功率单位时间内输入质量体的热量ττττρρρρττττρρρρddddgzgzgzgzvvvveeeeddddeeeessss)21(2++=dsdsdsdsnnnnTTTTkkkkqdqdqdqdQQQQSSSSVVVVMMMM∫∫∫∫∫⋅∇+=rττττρρρρQQQQdtdtdtdtdWdWdWdWdtdtdtdtdEdEdEdEssss+=∫∫∫++MMMMVVVVddddgzgzgzgzvvvveeeeττττρρρρ)21(2dsdsdsdsppppvvvvddddvvvvffffDtDtDtDtDWDWDWDWSSSSnnnnVVVVMMMM∫∫∫∫∫⋅+⋅=rrrrττττρρρρ11北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程二、基本方程的推导用控制体描述的基本定律————————欧拉描述法的表现形式。1111、质量守恒————————连续性方程1111）积分形式2222）微分形式3333）不可压缩流体的概念4444）不可压缩流体连续性方程0=⋅+∂∂∫∫∫∫∫dsdsdsdsnnnnvvvvddddttttSSSSVVVVrrρρρρττττρρρρ0)(=⋅∇+∂∂vvvvttttrρρρρρρρρ守恒形式0=⋅∇+vvvvDtDtDtDtDDDDrρρρρρρρρ非守恒形式0=DtDtDtDtDDDDρρρρ0=⋅∇vvvvr矢量表示：0=∂∂iiiiiiiixxxxuuuu；i=1，2，3张量表示：12北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程5555）应用举例确定沿变深度矩形截面河道的水面波动运动，其在一维假设下的连续方程表达形式。解：1111、描述参数设河道宽：BBBB，河道静止水深：h(x);h(x);h(x);h(x);波面高度：ξ(x,t)，一维断面均匀流速u(x,t)；控制体及坐标选择如图。2、由积分形式的连续方程：3、结果：0=⋅+∂∂∫∫∫∫∫dsdsdsdsnnnnvvvvddddttttSSSSVVVVrrρρρρττττρρρρ0)]([=∂+∂+∂∂xxxxhhhhuuuuttttξξξξξξξξ0][=∂∂+∂∂xxxxuhuhuhuhttttξξξξ对深水小波幅有：例图13北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程2222、动量平衡————————流体运动方程1111）积分形式2222）微分形式dsdsdsdsppppddddffffdsdsdsdsvvvvvvvvnnnnddddvvvvttttSSSSnnnnVVVVSSSSVVVV∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫+=⋅+∂∂rrrrrrττττρρρρρρρρττττρρρρ)(守恒形式非守恒形式张量表示：iiiiijijijijjjjjjjjjiiiiiiiijjjjxxxxPPPPffffvvvvvvvvxxxxttttvvvv∂∂+=∂∂+∂∂ρρρρρρρρρρρρ)(PPPPffffvvvvvvvvttttvvvv⋅∇+=⋅∇+∂∂rrrrρρρρρρρρρρρρ)(矢量表示：PPPPffffvvvvvvvvttttvvvvDtDtDtDtvvvvDDDD⋅∇+=∇⋅+∂∂=rrrrrρρρρρρρρρρρρ])([矢量表示：张量表示：iiiiijijijijjjjjiiiijjjjiiiijjjjjjjjxxxxPPPPffffxxxxvvvvvvvvttttvvvvDtDtDtDtDvDvDvDv∂∂+=∂∂+∂∂=ρρρρρρρρρρρρ)(14北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程3333）NNNN————SSSS方程（NavierNavierNavierNavier————StokesEquationsStokesEquationsStokesEquationsStokesEquations）引进牛顿流体本构方程，运动方程称为NNNN————SSSS方程。μ、λ为常数，在直角坐标下有ijijijijijijijijijijijijijijijijvvvvssssppppPPPPδδδδλλλλµµµµδδδδσσσσ)(2r⋅∇++−==)(2vvvvssssppppPPPPr⋅∇∇+⋅∇+−∇=⋅∇λλλλµµµµ矢量表示：)(2]2[lllllllljjjjiiiiijijijijjjjjijijijijllllllllijijijijijijijijiiiiiiiiijijijijxxxxvvvvxxxxxxxxssssxxxxppppxxxxvvvvssssppppxxxxxxxxPPPP∂∂∂∂+∂∂+∂∂−=∂∂++−∂∂=∂∂=⋅∇λλλλµµµµδδδδλλλλµµµµδδδδσσσσ15北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第二章流体运动基本方程当流体不可压时，有：NNNN————SSSS方程