高等流体力学-第三讲

1北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第三讲大雷诺数流体力学问题的求解本讲主要内容（以平面流动为例）一、问题概述二、欧拉方程的求解（有势流动的基本理论）三、边界层内运动的解析解法2北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第三讲大雷诺数流体力学问题的求解一、问题概述1111、大雷诺数近似下的欧拉方程（EulerEulerEulerEuler’’’’sEquationssEquationssEquationssEquations）NNNN————SSSS方程，用相对值表示为无量纲形式，其中参考量选择如下：理论：在20202020世纪前已比较完善；成果：流场，升力。问题：阻力（达朗伯佯谬DDDD‘‘‘‘AlembertAlembertAlembertAlembert’’’’sParadoxsParadoxsParadoxsParadox）；无滑动条件。LLLL长度：∞UUUU速度：∞pppp压强：时间：∞=UUUULLLLTTTT/vvvvRRRRppppEEEEffffFFFFvvvvvvvvttttvvvveeeeuuuurrrr′∆′+′∇′−′=′∇′⋅′+′∂′∂rrrrr11当：1=∞µµµµρρρρLLLLUUUURRRReeee时，有：ppppffffvvvvvvvvttttvvvv∇−=∇⋅+∂∂ρρρρ1rrrr0=⋅∇vvvvr欧拉方程：（HydrodynamicsHydrodynamicsHydrodynamicsHydrodynamics）3北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第三讲大雷诺数流体力学问题的求解2222、边界层内流动的量级分析————边界层方程（1111）边界层的提出通过流场显示结果，PrandtlPrandtlPrandtlPrandtl（1904190419041904）提出边界层理论。边界层外，流动有势，满足欧拉方程；边界层内，粘性运动，剪切层产生旋涡；漩涡的粘性扩散与对流传输————漩涡仅限于边界层内；边界层图eLeLeLeLRRRR1≈δδδδ边界层的尺度：µµµµρρρρULULULULRRRReLeLeLeL=其中：在20°C时，U=1m/s,L=1m，ν=10-6m2/s；水：Re≈106；空气：Re≈6.7X1044北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第三讲大雷诺数流体力学问题的求解（2222）边界层内NNNN————SSSS方程的量级分析∞UUUU速度：∞pppp压强：长度—xxxx方向：LLLLLLLLεεεεYYYY方向：∞∞====UUUUvvvvvvvvLLLLyyyyyyyyLLLLxxxxxxxxUUUUuuuuuuuuεεεεεεεε~,~,~,~其中：0~~~~=∂∂+∂∂yyyyvvvvxxxxuuuu1111）连续方程∞=UUUUvvvvεεεε注意v的量级：5北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第三讲大雷诺数流体力学问题的求解（2222）边界层内NNNN————SSSS方程的量级分析∞UUUU速度：∞pppp压强：长度—xxxx方向：LLLLLLLLεεεεYYYY方向：µµµµρρρρρρρρLLLLUUUURRRRUUUUppppppppeeee∞∞==,~2其中：)~~1~~(1~~~~~~~~22222yyyyuuuuxxxxuuuuRRRRxxxxppppyyyyuuuuvvvvxxxxuuuuuuuueeee∂∂+∂∂+∂∂−=∂∂+∂∂εεεε2222）运动方程22222~~1~~yyyyuuuuxxxxuuuu∂∂∂∂εεεε由此得：)1(~112ooooRRRReeeeεεεε及eeeeRRRR1~εεεε即：6北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第三讲大雷诺数流体力学问题的求解（2222）边界层内NNNN————SSSS方程的量级分析∞UUUU速度：∞pppp压强：长度—xxxx方向：LLLLLLLLεεεεYYYY方向：)~~1~~(~~1]~~~~~~[22222yyyyvvvvxxxxvvvvRRRRyyyyppppyyyyvvvvvvvvxxxxvvvvuuuueeee∂∂+∂∂+∂∂−=∂∂+∂∂εεεεεεεεεεεεεεεε2222）运动方程，同理可得0~~=∂∂yyyypppp由此得：或：)~~1~~(~~]~~~~~~[2222242yyyyvvvvxxxxvvvvyyyyppppyyyyvvvvvvvvxxxxvvvvuuuu∂∂+∂∂+∂∂−=∂∂+∂∂εεεεεεεεεεεε7北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第三讲大雷诺数流体力学问题的求解（3333）边界层方程按有量纲形式的方程表示定解条件∞=UUUUvvvvεεεε其中：eeeeRRRR1~εεεε0=∂∂+∂∂yyyyvvvvxxxxuuuu221yyyyuuuudxdxdxdxdpdpdpdpyyyyuuuuvvvvxxxxuuuuuuuu∂∂+−=∂∂+∂∂ρρρρµµµµρρρρ0=∂∂yyyypppp0),(,0),(,0===yyyyxxxxvvvvyyyyxxxxuuuuyyyy在边壁上：),(),(),,(),(),(yyyyxxxxppppyyyyxxxxppppyyyyxxxxUUUUyyyyxxxxuuuuxxxxyyyyEEEEEEEE===δδδδ在边界层界面上：8北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第三讲大雷诺数流体力学问题的求解3333、欧拉方程与边界层方程的衔接条件),(),(),,(),(),(yyyyxxxxppppyyyyxxxxppppyyyyxxxxUUUUyyyyxxxxuuuuxxxxyyyyEEEEEEEE===δδδδ在边界层界面上有：)(),(lim),(lim)(),(lim),(lim00yxxxxppppyyyyxxxxppppyyyyxxxxppppxxxxUUUUyyyyxxxxUUUUyyyyxxxxuuuuEEEEEEEEyyyyyyyyEEEEEEEEyyyy====→∞→→∞→可表示为：（衔接条件）)0,(xxxxppppdxdxdxdxdUdUdUdUUUUUEEEEEEEEEEEE=ρρρρ对平面绕流边界静止不动的问题，有v（x,0）=0，由x方向的欧拉方程，可确定边界层压强值，即：当y→0：0=∂∂+∂∂yyyyvvvvxxxxuuuu22)()(yyyyuuuudxdxdxdxxxxxdUdUdUdUxxxxUUUUyyyyuuuuvvvvxxxxuuuuuuuuEEEEEEEE∂∂+=∂∂+∂∂ρρρρµµµµ边界层方程：9北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第三讲大雷诺数流体力学问题的求解4444、大雷诺数问题解决步骤（1111）求解无边界层的欧拉方程，得到边界层外整个流场的速度分布、压强分布；（2222）确定物体所受的升力值，及（3333）壁面上的速度值和压强值；（4444）计算边界层内的速度分布；（5555）确定边界层厚度（可用于对欧拉计算的边界修整），（6666）结算壁面剪应力分布，计算壁面的阻力值。10北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第三讲大雷诺数流体力学问题的求解二、欧拉方程的求解————势流理论1111、基本方程与定界条件重力场中的恒定的平面流动：0,0,=∂∂≡∂∂−=zzzzttttkkkkggggffffrr0=∂∂+∂∂yyyyvvvvxxxxuuuuxxxxppppyyyyuuuuvvvvxxxxuuuuuuuu∂∂−=∂∂+∂∂ρρρρ1yyyyppppyyyyvvvvvvvvxxxxvvvvuuuu∂∂−=∂∂+∂∂ρρρρ1基本方程：∞∞==ppppppppUUUU,vrr在无穷远处：在物面上：),(vvyyyyxxxxnnnnnnnn(n)(n)(n)(n)BBBB=⋅∂∂r当物体静止时：0v=⋅∂∂nnnnnnnnr定解条件：11北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第三讲大雷诺数流体力学问题的求解2222、势函数φφφφ(x,y)(x,y)(x,y)(x,y)当流动无旋时，有：当流动无旋时，有：当流动无旋时，有：当流动无旋时，有：上式称为上式称为上式称为上式称为Laplace方程，为线性方程，解可叠加。方程，为线性方程，解可叠加。方程，为线性方程，解可叠加。方程，为线性方程，解可叠加。对无旋流动的空间问题，也存在势函数对无旋流动的空间问题，也存在势函数对无旋流动的空间问题，也存在势函数对无旋流动的空间问题，也存在势函数φφφφ(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)，满足，满足，满足，满足LaplaceLaplaceLaplaceLaplace方程。方程。方程。方程。0=×∇=vvvvvvvvrotrotrotrotrr对平面问题：0=∂∂−∂∂yyyyuuuuxxxxvvvv),(yyyyxxxxϕϕϕϕ令满足0,,=∂∂=∂∂=∇=yyyyvvvvxxxxuuuuvvvvϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕr),(yyyyxxxxϕϕϕϕ必满足无旋条件（有势必无旋）代入连续方程02222=∂∂+∂∂yyyyxxxxϕϕϕϕϕϕϕϕ12北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第三讲大雷诺数流体力学问题的求解3333、拉格朗日与伯努利方程（积分）（1111）兰姆————————葛罗米柯（Lamb-Lamb-Lamb-Lamb-ΓΓΓΓpombikopombikopombikopombiko）方程（2222）力势函数与压力势函数对重力场和不可压流体：ppppffffvvvvvvvvttttvvvv∇−=∇⋅+∂∂ρρρρ1rrrr对欧拉方程：)(22vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvrrrr×∇×−∇=∇⋅由矢量恒等式可得兰姆——葛罗米柯型方程ppppffffvvvvvvvvvvvvttttvvvv∇−=×∇×−∇+∂∂ρρρρ1)(22rrrrppppffff∇=Ρ∇Π−∇=ρρρρ1,rρρρρppppgzgzgzgz=Ρ=Π,13北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第三讲大雷诺数流体力学问题的求解（3333）拉格朗日方程将：在恒定流条件下，有：拉格朗日方程适用条件：运动无旋。常数常数常数常数cccc适用于整个流场适用于整个流场适用于整个流场适用于整个流场。Ρ∇−Π−∇=×∇×−∇+∂∇∂)(2)(2vvvvvvvvvvvvttttrrϕϕϕϕ代入兰姆方程：ϕϕϕϕ∇=vvvvr)(2,0)2(22ttttccccppppgzgzgzgzvvvvttttvvvvtttt=+++∂∂=Ρ+Π++∂∂∇ρρρρϕϕϕϕϕϕϕϕ得拉格朗日方程：ccccppppgzgzgzgzvvvv=++ρρρρ2214北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第三讲大雷诺数流体力学问题的求解（4444）伯努利方程在运动为恒定条件下，兰姆方程为：伯努利方程的适用条件：定常流动伯努利方程的适用条件：定常流动伯努利方程的适用条件：定常流动伯努利方程的适用条件：定常流动。由此可知，可将求解欧拉方程问题转化为：1）由Laplace方程求出φφφφ；；；；2）由势函数求速度场）由势函数求速度场）由势函数求速度场）由势函数求速度场u、、、、v、、、、w；；；；3）由拉格朗日或伯努利方程求压强场。）由拉格朗日或伯努利方程求压强场。）由拉格朗日或伯努利方程求压强场。）由拉格朗日或伯努利方程求压强场。Ρ∇−Π−∇=×∇×−∇)(22vvvvvvvvvvvvrr沿流线积分，得伯努利方程：)(22φφφφρρρρccccppppgzgzgzgzvvvv=++15北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第三讲大雷诺数流体力学问题的求解4444、流函数ψ(x,y)0=∂∂+∂∂yyyyvvvvxxx