高等流体力学-第六讲

1北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散本讲主要内容本讲主要内容本讲主要内容本讲主要内容一、描述离散的基本方程二、圆管流中的离散三、宽矩形断面明槽流动中的离散四、非定常剪切流中的离散五、平面二维流动中的离散六、浓度矩法简介2北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散一、描述离散的基本方程一、描述离散的基本方程一、描述离散的基本方程一、描述离散的基本方程1111、离散概念、离散概念、离散概念、离散概念离散（弥散DispersionDispersionDispersionDispersion）：由剪切流中流速分布（对紊流指时均速度分布）不均产生含有物质随流散开的作用。2222、离散发展过程、离散发展过程、离散发展过程、离散发展过程3333、离散过程参数表示、离散过程参数表示、离散过程参数表示、离散过程参数表示uuuuuuuuVVVVuuuuuuuuuuuuaaaa′++=′+=ˆ离散初始阶段离散发展稳定过程（1111）速度：（2222）浓度：其中：速度时均值∫=TTTTudtudtudtudtTTTTuuuu01断面平均值：∫=AAAAaaaadAdAdAdAuuuuAAAAVVVV1断面平均偏离值：aaaaVVVVuuuuuuuu−=ˆ紊流脉动值：uuuuuuuuuuuu−=′CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCaaaa′++=′+=ˆ平均值与偏差值3北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散4444、移流离散、分子扩散与紊动扩散作用大小比较、移流离散、分子扩散与紊动扩散作用大小比较、移流离散、分子扩散与紊动扩散作用大小比较、移流离散、分子扩散与紊动扩散作用大小比较（1111）两质点的移流离散管流：一质点在管中心，一质点在管壁处。（2222）沿横断面的分子扩散随机运动，格态遍历特性。（3333）作用大小移流作用紊动扩散分子扩散。（4444）径向分子扩散与纵向移流离散的平衡在扩散初期，纵向离散的作用很强，远大于分子扩散和紊动扩散；随着扩散纵向浓度梯度的减小，纵向离散作用不断减弱，而分子径向扩散作用却始终保持着。这是因为纵向离散维持着径向浓度梯度之故。当扩散时间增大到某一程度，两种作用将保持平衡。达到平衡所需时间是多少？（ChatwinChatwinChatwinChatwin1970197019701970）纵径扩散平衡图4北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散5555、一维纵向移流平均浓度扩散方程、一维纵向移流平均浓度扩散方程、一维纵向移流平均浓度扩散方程、一维纵向移流平均浓度扩散方程CCCCuuuuCCCCCCCCuuuuVVVVCCCCCCCCCCCCuuuuuuuuVVVVuCuCuCuCaaaaaaaaaaaaaaaa′′+++=′++′++=)ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ(′′++=′′+++=∫∫CCCCuuuuCCCCuuuuCCCCVVVVdAdAdAdACCCCuuuuCCCCCCCCuuuuVVVVAAAAdAdAdAdAuCuCuCuCAAAAAAAAaaaaAAAAaaaaaaaaAAAAˆˆ])ˆ)(ˆ[(11dAdAdAdACCCCuuuuAAAACCCCuuuuAAAA∫=ˆˆ1ˆˆdAdAdAdACCCCuuuuAAAACCCCuuuuAAAA∫′′=′′1；0ˆˆ;;====CCCCuuuuCCCCCCCCVVVVVVVVaaaaaaaaaaaaaaaa式中：（2）速度浓度乘积时均值的断面平均值（1）速度浓度乘积时均值5北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散;)()(dxdtdxdtdxdtdxdtxxxxAVAVAVAVdtdtdtdtttttAdxAdxAdxAdxaaaa∂∂−=∂∂)(xxxxAVAVAVAVttttAAAAaaaa∂∂−=∂∂体积变化图示质量守恒图示][)(dxdtdxdtdxdtdxdtdAdAdAdAuCuCuCuCxxxxdtdtdtdtttttAdxAdxAdxAdxCCCCAAAAaaaa∫∂∂−=∂∂)]ˆˆ([)(′′++∂∂−=∂∂CCCCuuuuCCCCuuuuAAAACCCCAVAVAVAVxxxxttttAAAACCCCaaaaaaaaaaaa)]ˆˆ([1′′+∂∂−=∂∂+∂∂CCCCuuuuCCCCuuuuAAAAxxxxAAAAxxxxCCCCVVVVttttCCCCaaaaaaaaaaaa（4）断面平均浓度离散方程（3）体积变化关系6北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散速度与浓度乘积的断面偏差及紊动时均的断面平均进行模式化处理，有：其中：DDDDtttt为紊动扩散系数；DDDDLLLL为纵向移流离散系数（LongitudinalLongitudinalLongitudinalLongitudinaladvertionadvertionadvertionadvertiondispertiondispertiondispertiondispertioncoefficientcoefficientcoefficientcoefficient）。代入后可得：当面积AAAA为常数，令K=K=K=K=DDDDLLLL+D+D+D+Dtttt，称为综合扩散系数（MixingCoefficientMixingCoefficientMixingCoefficientMixingCoefficient）得面积平均浓度离散方程：1xxxxCCCCDDDDdAdAdAdACCCCuuuuAAAACCCCuuuuaaaattttAAAA∂∂−=′′=′′∫ˆˆ1ˆˆxxxxCCCCDDDDdAdAdAdACCCCuuuuAAAACCCCuuuuaaaaLLLLAAAA∂∂−==∫])([1xxxxCCCCDDDDDDDDAAAAxxxxAAAAxxxxCCCCVVVVttttCCCCaaaattttLLLLaaaaaaaaaaaa∂∂+∂∂=∂∂+∂∂22xxxxCCCCKKKKxxxxCCCCVVVVttttCCCCaaaaaaaaaaaaaaaa∂∂=∂∂+∂∂7北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散6666、浓度偏差方程（平面层流）、浓度偏差方程（平面层流）、浓度偏差方程（平面层流）、浓度偏差方程（平面层流）][2222yyyyCCCCxxxxCCCCDDDDxxxxCCCCuuuuttttCCCCmmmm∂∂+∂∂=∂∂+∂∂速度及平均速度偏差分布图uuuuVVVVuuuuaaaaˆ+=CCCCCCCCCCCCaaaaˆ+=ttttttttVVVVxxxxaaaa=−=ττττξξξξ;]ˆ)ˆ([)ˆ(ˆ)ˆ(2222yyyyCCCCCCCCCCCCDDDDCCCCCCCCuuuuCCCCCCCCaaaammmmaaaaaaaa∂∂+∂+∂=∂+∂+∂+∂ξξξξξξξξττττ（1111）ˆˆˆˆˆ22yyyyCCCCDDDDCCCCuuuuCCCCuuuuCCCCCCCCmmmmaaaaaaaa∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ξξξξξξξξττττττττ（2222）经量级比较，略去小量，展开上式，可得：可得：代入上式，且作变换：将速度分布如图，对扩散方程8北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散0ˆˆ=∂∂+∂∂ξξξξττττCCCCuuuuCCCCaaaa（3）ˆˆˆˆˆˆˆ22yyyyCCCCDDDDCCCCuuuuCCCCuuuuCCCCuuuuCCCCmmmmaaaa∂∂=∂∂−∂∂+∂∂+∂∂ξξξξξξξξξξξξττττCCCCCCCCaaaaˆ、考虑变化平稳，且CCCCCCCCaaaaˆ条件下，有0ˆˆˆˆ=∂∂−∂∂ξξξξξξξξCCCCuuuuCCCCuuuuξξξξττττ∂∂=∂∂−∂∂aaaammmmCCCCuuuuyyyyCCCCDDDDCCCCˆ-ˆˆ22，即：ˆˆ22yyyyCCCCDDDDCCCCuuuummmmaaaa∂∂=∂∂ξξξξ边界条件：0ˆ;0=∂∂==yyyyCCCChhhh,y,y,y,yyyyy由此得到泰勒对浓面积平均偏差值的方程（恒定流动）：用（1）式减（3）式，得：对（2）式作断面平均运算，得：简化运算9北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散dydydydyCCCCdydydydydydydydyuuuuuuuuξξξξCCCCDDDDdAdAdAdACCCCuuuuQQQQhhhhyyyyyyyyaaaammmmAAAA∫∫∫∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂==000)0(ˆˆˆ1ˆˆCdydyuξCDyCyyam))))((((ˆˆˆˆˆˆˆˆ))))((((ˆˆˆˆ0100+∂∂=∫∫ˆˆ1ˆˆxxxxCCCCDDDDdAdAdAdACCCCuuuuAAAACCCCuuuuaaaaLLLLAAAA∂∂−==∫dydydydydydydydydydydydyuuuuuuuuhDhDhDhDdAdAdAdACCCCuuuuxxxxCCCCAAAADDDDyyyyyyyyhhhhmmmmAAAAaaaaLLLL∫∫∫∫−=∂∂−=000ˆˆ1ˆˆ1得纵向离散系数：有模式关系：通过断面流入的扩散质的质量为：积分浓度面积平均差值方程，可求出：7777、纵向离散系数、纵向离散系数、纵向离散系数、纵向离散系数DDDDLLLL（或（或（或（或KKKK）的确定方法）的确定方法）的确定方法）的确定方法10北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散dAdAdAdACCCCuuuuxxxxCCCCAAAAKKKKDDDDAAAAaaaaLLLLˆˆ1∫∂∂−=≈ξξξξ∂∂=∂∂aaaammmmCCCCuuuuyyyyCCCCDDDDˆˆ22边界条件：hhhhyyyy,,,,yyyyyyyyCCCC===∂∂00,ˆ及xxxxCCCCKKKKCCCCuuuuCCCCuuuuAAAAxxxxAAAAxxxxCCCCVVVVttttCCCCaaaaaaaaaaaaaaaa22)]ˆˆ([1∂∂=′′+∂∂−=∂∂+∂∂1xxxxCCCCDDDDdAdAdAdACCCCuuuuAAAACCCCuuuuaaaattttAAAA∂∂−=′′=′′∫ˆˆ1ˆˆxxxxCCCCDDDDdAdAdAdACCCCuuuuAAAACCCCuuuuaaaaLLLLAAAA∂∂−==∫；8888、基本公式小结、基本公式小结、基本公式小结、基本公式小结（1）浓度断面平均值扩散方程（3）浓度断面平均差值方程（4）纵向离散（或混合系数）系数计算公式（2）离散系数定义11北京工业大学市政学科部——马长明高等流体(水）力学讲稿第六讲剪切流中的离散二、圆管中的离散二、圆管中的离散二、圆管中的离散二、圆管中的离散)/2/1(2/)/1()(22maxmax22maxaaaarrrruuuuuuuuaaaarrrruuuurrrruuuu−+=−=)ˆ()]ˆ(ˆ1)ˆ([ˆ22rrrrCCCCrrrrrrrrrrrrDDDDxxxxCCCCrrrrxxxxCCCCrrrrrrrrCCCCrrrrrrrrrrrrDDDDxxxxCCCCuuuummmmmmmmaaaa∂∂∂∂=∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθθθ)ˆ()2/1(22maxzzzzCCCCzzzzzzzzxxxxCCCCzzzzzzzzDDDDaaaauuuuaaaammmm∂∂∂∂=∂∂−令：z=r/a，有：以柱坐标形式表示（2）浓度偏差值1、圆管层流中的离散（1）速度分布其中：a—圆管半径。)/2/1()