二重积分的计算法

第二节二重积分的计算法,Dfxyd一利用直角坐标计算二重积分利用几何意义计算二重积分（求曲顶柱体的体积）。ddxdy面积元素xy积分区域bax012yxDyxybax0xyDxy21y12:,DxyxaxbX-型区域1()xy2()xyyxODdccd1()xy2()xyxOyD12:,DyxycydY-型区域bax012yxDyxycd1()xy2()xyxOyDcd1()xy2()xyxOyD1()xy2()xyyxODdc1()xy2()xyyxODdc(,)zfxy2()yx1()yxxyzab0x0()AxO21()()(,)(,)bxaxDfxydxdydxfxydy12,xyxaxb设D（X型）：201000,xxAxfxydy00,:xabAx取，则有曲边梯形积分后先对xy210,babxaxxxVAxdxfxydydx将换成，得利用平行截面面积已知,求立体体积的方法:若D为（Y型）：12,yxycyd21()()(,)(,)dycyDfxydxdydyfxydx则积分后先对yx求二重积分的方法：将二重积分化为两个定积分（二次积分）来计算21()()(,)(,)()bxaxDfxydxdydxfxydyyx则先后积分12,xyxaxb若D（X型）：若D不是X型（或Y型），则将D分为几个区域，使它们为X型（或Y型），几个区域上的积分之和就是所给二重积分的值。1212,,,DDDfxydfxydfxydDDD1D2D例1计算，其中D是由直线y=1,x=2,及y=x所围区域。Dxyd解法1把D看成X型域，则21123221114221[][]()2229[]848xDxxydxydydxyxxxdxdxxxDxyOyx1yx12:1,12,Dyxx解法2把D看成Y型域，则22122213214221[][]2(2)29[]88yyxydxdyxydyyydyyyDxydDOyx12y2xxy例2计算，其中D是由抛物线及直线所围成的区域。Dxyd2=yx解把D看作Y型域y122xy2xyD2yx2:2,12,Dyxyy(4,2)yOx(1,1)则Dxyd2222222112251463221[][]2((2))14[2]2436558yyyyxxydxdyydyyyydyyyyy2221yydyxydx把D看作X型域由于在[0，1]和[1，4]上下边界的表达式不同，所以要用直线x=1将D分成两个区域和2D1D2:2,Dxyx14x01x1:,DxyxyOx12DDx1(1,1)(4,2)yxyx42yxx14012[][]xxxxxydydxxydydxDxyd12DDxydxyd它们分别用以下不等式表示：例3求221,:,1,1DIyxydDyxxy所围.112213122211112133xIdxyxydyxydxx若Y型:1,11Dxyy122111yIdyyxydxD1110yx:1,11Dxyx解X型则积分较繁。Yxy先后积分，解型:0,01Dxyy22221100001120011122yyyyyyIdyedxexdyyedyedye11yx0D2,:,1,0yDIedDyxyx例4求所围成。2110yxIdxedyyx分析若先后积分，则无法积分。例5交换二次积分的顺序1220010(,)(,)xxdxfxydydxfxydy分析要将按X型域确定积分限改为按Y型域确定积分限。为此，应根据定限的方法先将题中所给的积分限还原成平面区域D，然后再按Y型域重新确立积分限，得到二次积分。1220010120(,)(,)(,)xxyydxfxydydxfxydydyfxydx解将所给积分限还原成D的图形，由12DDD2012DD11xy知D是由y=x，y=2－x，y=0三条直线所围成，:2,01Dyxyy于是按Y型域定限1:0,01Dyxx，2:02,12Dyxx其中例6交换二次积分的顺序1110001,;2,xyydxfxydydyfxydx故D是由所围成的，于是0,1,0,1xxyyxY:01,01,Dxyy型11110000,,xydxfxydydyfxydxx110y1xy1:01,01,Dyxx由二次积分限，有X型解2:,01,Dxyxx21100,,yxyxdyfxydxdxfxydyx11,10y2yxyx0,1,,yyxyxy故D是由所围成的，于是:,01,DyxyyY型102,yydyfxydx由的积分限，有000()()()cycdyfxdxcxfxdx0,7fxc设在上连例续，证明证由等式左边，得:0,0Dxyyc改变积分顺序，得:,0Dxycxc左边右边00()()()cccxdxfxdycxfxdx所以，左边右边00()()()cccxdxfxdycxfxdx所以，二极坐标计算二重积分极坐标是由极点和极轴组成，坐标，其中r为点p到极点o的距离，为or到op的夹角。r=常数；（从o出发的同心圆）=常数；（射线）Or(,)pr,r0,02rcossinxryr直角坐标与极坐标的关系为：面积元素为（矩形）(,)(,)DDfxydFrrdrd由直角坐标和极坐标的对应关系，得到二重积分在极坐标下的形式,cos,sinFrfrr其中,Dfxyddrddr底高rd弧长于是得到极坐标下，二重积分化为二次积分的公式：21()()(,)[(,)]DFrrdrdFrrdrd12()(),rAO1()r2()rDAOD2()r1()r若积分区域D：21()()(,)(,)DFrrdrddFrrdr或写作若极点在D的内部则D可以用不等式，表示，这时有0210()r2()00(,)(,)DFrrdrddFrrdrAOD()r解利用把积分区域的边界曲线化为极坐标形式：2,,:11,081DfxydDxyxx将化为极坐标例下的二次积分.cossinxryr11,sincosrr圆：直线：1210sincos1:1,0sincos2,cos,sinDDrfxyddfrrrdr1r1sincosrxy11于是例9计算，其中D是以原点为圆心，半径为的圆域。dxdyeDyx22解D可以表示成0,02ra2222222220000201[]21(1)(1)2xyrDDarraaaedxdyerdrdderdrededea问题•本题为何不用直角坐标计算？•如何计算广义积分20?xedx解用极坐标，222222sin,:1,,00014DxydDxyxyxy计例算:12,2Dr2122122sinsin21rdrdrrdrdrd原积分0x21y例11计算其中D为和x轴所围成的区域，并说明该积分的几何意义。2224Daxydxdy，222(0)xyaxy解将化为，可见D是一个半圆域。222()xaya222xyaxx02cosrayaD2a02cos2ra，0所以D可表示为2cosra圆的方程表示成极坐标形式：于是，利用极坐标得：222222cos2220033320444882(1sin)3323DDaaxydxdyarrdrddarrdrada＝＝＝＝（－）•几何意义是球面,圆柱面2224zaxy22,0yaxxxzxoy面及面所围成的立体的体积。Dy0xz2a练习1Dyxy由和围成.22222.:3.DxydxdyDxy求，2111.,.xxdxfxydy改换积分顺序23.(2cos)Dxyxydxdy求，2330012.23233Idrrdr21212211122211121.,,,xxyydxfxydydyfxydxdyfxydx332001423233Idrrdr或由对称性1112211203.(2cos)2202122222215DDDxxyxydxdydxdyxydxdydxxydy小结1.如何选择合适的坐标系计算二重积分？2.利用对称性计算二重积分时，应该注意什么？