空间立体几何体的表面积和体积

天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！本卷第1页（共15页）第二节空间几何体的表面积和体积[备考方向要明了]考什么怎么考了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).1.多以选择题或填空题的形式考查，有时也以解答题形式考查．2.常以三视图为载体考查几何体的表面积或体积，如2012年安徽T12，广东T6，浙江T11等．也可以给出几何体的棱、面满足的条件来计算表面积或体积，如2012年江苏T7，山东T13.解答题(其中的一问)一般给出相关条件来判断几何体形状特征(特别是几何体的高)并计算体积或表面积，如2012年湖南T18(2)，湖北T19(2)等.[归纳·知识整合]1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r＋r′)l2.空间几何体的表面积和体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR3天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！本卷第2页（共15页）[探究]1.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么联系？提示：2．如何求不规则几何体的体积？提示：常用方法：分割法、补体法、转化法．通过计算转化得到基本几何体的体积来实现．[自测·牛刀小试]1．棱长为2的正四面体的表面积是()A.3B．4C．43D．16解析：选C正四面体的各面为全等的正三角形，故其表面积S＝4×34×22＝43.2．(2012·上海高考)一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．解析：由已知条件得圆柱的底面半径为1，所以S表＝S侧＋2S底＝cl＋2πr2＝2π×2＋2π＝6π.答案：6π3．(教材习题改编)一个球的半径扩大为原来的3倍，则表面积扩大为原来的______倍；体积扩大为原来的______倍．解析：设原球的半径为1，则半径扩大后半径为3，则S1＝4π，S2＝4π×32＝36π，即S2S1＝9，所以表面积扩大为原来的9倍．由V1＝43π，V2＝43π×33＝12π，即V2V1＝27，所以体积扩大为原来的27倍．答案：9274．(2012·辽宁高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！本卷第3页（共15页）解析：由三视图可知该组合体的上方是一个高为1，底面直径为2的圆柱，下方是一个长、宽、高分别为4、3、1的长方体，如图所示，它的体积V＝1×π＋4×3×1＝12＋π.答案：12＋π5．(教材习题改编)如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是________．解析：由于半圆的圆弧长等于圆锥底面圆的周长，若设圆锥底面圆半径为r，则得2π＝2πr，解得r＝1，又圆锥的母线长为2，所以高为3，所以这个圆锥筒的容积为13π×12×3＝33π.答案：33π几何体的表面积[例1](2012·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A．28＋65B．30＋65C．56＋125D．60＋125[自主解答]该三棱锥的直观图如图所示．据俯视图知，顶点P在底面上的投影D在棱AB上，且∠ABC＝90°，据正视图知，AD＝2，BD＝3，PD＝4，据侧视图知，BC＝4.综上所述，BC⊥平面PAB，PB＝PD2＋BD2＝5，天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！本卷第4页（共15页）PC＝BC2＋PB2＝16＋25＝41，AC＝AB2＋BC2＝41，PA＝PD2＋AD2＝25.∵PC＝AC＝41，∴△PAC的边AP上的高为h＝PC2－AP22＝6.∴S△PAB＝12AB·PD＝10，S△ABC＝12AB·BC＝10，S△PBC＝12PB·BC＝10，S△APC＝12AP·h＝65.故三棱锥的表面积为S△PAB＋S△ABC＋S△PBC＋S△APC＝30＋65.[答案]B———————————————————由三视图求几何体表面积的方法步骤根据三视图画出直观图―→确定几何体的结构特征―→利用有关公式计算1．(2013·马鞍山模拟)如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为()A．4πB.15π4C．5πD.17π4解析：选D由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了18部分得到的几何体，故表面积为78·4π·12＋3·14·π·12＝174π.几何体的体积[例2](1)(2012·湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！本卷第5页（共15页）()A.8π3B．3πC.10π3D．6π(2)(2012·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是________．[自主解答](1)由三视图可知，该组合体上端为一圆柱的一半，下端为圆柱．其体积V＝π×12×2＋12×π×12×2＝3π.(2)据三视图可知，该几何体是一个直四棱柱，其底面是直角梯形(两底边长分别为2、5，直腰长为4，即梯形的高为4)，高为4.∴该几何体的体积为V＝2＋52×4×4＝56.[答案](1)B(2)56———————————————————由三视图求解几何体体积的解题策略以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．2．(2012·新课标全国卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！本卷第6页（共15页）A．6B．9C．12D．18解析：选B由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形高为3的三棱锥，其体积为13×12×6×3×3＝9.3．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()A．8－2π3B．8－π3C．8－2πD.2π3解析：选A圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V＝23－13×π×12×2＝8－23π.与球有关的切、接问题[例3](2012·新课标全国卷)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.26B.36C.23D.22[自主解答]△ABC的外接圆的半径r＝33，点O到平面ABC的距离d＝R2－r2＝63.SC为球O的直径，故点S到平面ABC的距离为2d＝263，故棱锥的体积为V＝13S△ABC×2d天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！本卷第7页（共15页）＝13×34×263＝26.[答案]A———————————————————与球有关的切、接问题的解题策略解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．4．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为()A．12πB．36πC．72πD．108π解析：选B依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为322－12×62＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π.3个步骤——求解与三视图有关的几何体的表面积、体积的解题步骤3种方法——求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．1种数学思想——求旋转体侧面积中的转化与化归的数学思想方法计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！本卷第8页（共15页）创新交汇——空间几何体中体积的最值问题1．求空间几何体的体积一直是高考考查的重点，几乎每年都考查，既可以与三视图结合考查，又可以单独考查．而求空间几何体体积的最值问题，又常与函数、导数、不等式等知识交汇考查．2．求解空间几何体最值问题，可分为二步：第一步引入变量，建立关于体积的表达式；第二步以导数或基本不等式为工具求最值．[典例](2012·湖北高考(节选))如图1，∠ACB＝45°，BC＝3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°(如图2所示)．当BD的长为多少时，三棱锥A－BCD的体积最大？[解]如图1所示的△ABC中，设BD＝x(0x3)，则CD＝3－x.由AD⊥BC，∠ACB＝45°知△ADC为等腰直角三角形，所以AD＝CD＝3－x.由折起前AD⊥BC知，折起后(如图2)，AD⊥DC，AD⊥DC，且BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC，∠BDC＝90°，所以S△BCD＝12BD·CD＝12x(3－x)．于是VA－BCD＝13AD·S△BCD＝13(3－x)·12x(3－x)．法一：VA－BCD＝16(x3－6x2＋9x)．令f(x)＝16(x3－6x2＋9x)．由f′(x)＝12(x－1)(x－3)＝0，且0x3，解得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)0；当x∈(1,3)时，f′(x)0，所以当x＝1时，f(x)取得最大值，即BD＝1时，三棱锥A－BCD的体积最大．法二：VA－BCD＝112·2x(3－x)(3－x)≤112·2x＋3－x＋3－x33＝23，当且仅当2x＝3－x，即x＝1时，取“＝”．故当BD＝1时，三棱锥A－BCD的体积最大．[名师点评]天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！本卷第9页（共15页）解答此题的关键是恰当引入变量x，即令BD＝x，结合位置关系列出体积的表达式，将求体积的最值问题转化为求函数的最值问题．[变式训练]如图，动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N.设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是()解析：选B显然，只有当P移动到中心O时，MN有唯一的最大值，淘汏选项A、C；P点移动时，取AA1的中点E，CC1的中点Q，平面D1EBQ垂直于平面BB1D1D，且M、N两点在菱形D1EBQ的边界上运动，故x与y的关系应该是线性的，淘汰选项D，选B.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A．7B．6C．5D．3解析：选A设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.2．(2013·长春模拟)一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为()A.32πB．2πC．3πD．4π解析：选A依题意知，该几何体是一个底面半径为12、高为1的圆柱，则其全面积为天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！本卷第10页（共15页）2π×122＋2π×12×1＝32π.3．(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它