搜索
第二章检测试题(时间:90分钟满分:120分)【选题明细表】知识点、方法题号通项公式1,2等差数列及其性质4,5,10,16等比数列及其性质3,12,13,14an与Sn的关系8数列求和6,15综合问题7,9,11,17,18,19,20一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.数列,-,,-,…的一个通项公式为(D)(A)an=(-1)n(B)an=(-1)n(C)an=(-1)n+1(D)an=(-1)n+1解析:由已知中数列,-,,-,…可得数列各项的分母为2n,分子为2n+1,又因为数列所有的奇数项为正,偶数项为负,故可用(-1)n+1来控制各项的符号,故数列的一个通项公式为an=(-1)n+1,故选D.2.若数列{an}的前n项和Sn=an-,则数列{an}的通项公式an等于(B)(A)-2n(B)(-2)n(C)-4n(D)(-4)n解析:n≥2时,an=Sn-Sn-1=an--(an-1-),即an=-2an-1.又S1=a1-,所以a1=-2,故{an}是以-2为首项,-2为公比的等比数列,所以an=(-2)n.故选B.3.在等比数列{an}中,若a3a6=9,a2a4a5=27,则a2的值为(B)(A)2(B)3(C)4(D)9解析:因为{an}为等比数列,由等比数列的性质得a3a6=a4a5,又a2a4a5=27,a3a6=9,故a2==3.故选B.4.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11等于(B)(A)58(B)88(C)143(D)176解析:S11====88.故选B.5.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a3=4,a8=14,则S10等于(A)(A)90(B)120(C)150(D)180解析:在等差数列{an}中,由a3=4,a8=14,得d===2,所以a1=a3-2d=4-4=0,所以S10=10×0+×2=90.故选A.6.求和:Sn=+++…+结果为(A)(A)(B)(C)(D)解析:由题意可得Sn=+++…+=[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]=(1-)=.故选A.7.已知各项不为0的等差数列{an},满足2a3-+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8等于(D)(A)2(B)4(C)8(D)16解析:因为2a3-+2a11=0,所以=2(a3+a11)=4a7,又因为a7≠0,所以a7=4,所以在等比数列{bn}中,b6b8===42=16,故选D.8.若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-n,则(B)(A)Sn=2n+1-1(B)an=2n-1(C)Sn=2n+1-2(D)an=2n+1-3解析:由Sn=2an-n,得a1=2a1-1,即a1=1.当n≥2时,有Sn-1=2an-1-(n-1),则an=2an-2an-1-1,即an=2an-1+1,则an+1=2(an-1+1),因为a1+1=2,所以数列{an+1}是以2为首项,以2为公比的等比数列,所以an+1=2n,所以an=2n-1,故选B.9.已知a,b,c成等比数列,a,x,b成等差数列,b,y,c也成等差数列,则+的值为(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:由题意可得,b2=ac,x=,y=,所以+=+===2.故选B.10.设等差数列{an}满足sina4cosa7-cosa4sina7=1,公差d∈(-1,0),当且仅当n=9时,数列{an}的前n项和Sn取得最大值,则该数列首项a1的取值范围为(C)(A)(,)(B)[,](C)(,)(D)[,]解析:因为sina4cosa7-cosa4sina7=1,所以sin(a4-a7)=1,因为a4-a7=-3d∈(0,3),a4-a7=2kπ+,k∈Z,所以-3d=,d=-.因为Sn=na1+d=n2+(a1-)n,当且仅当n=9时,数列{an}的前n项和Sn取得最大值,所以8.5-9.5,化为a1,故选C.11.等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则公比q为(A)(A)-2(B)1(C)-2或1(D)2或-1解析:由题意知q≠1.设首项为a1,则2=+,解得q=-2,故选A.12.函数f(x)=log2,等比数列{an}中,a2·a5·a8=8,f(a1)+f(a2)+…+f(a9)等于(A)(A)-9(B)-8(C)-7(D)-10解析:由a2·a5·a8=8得=8,所以a5=2.又f(x)=log2,所以f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=log2+log2+…+log2=log2=log2(a1a2·…·a9)-9log24=log229-18=9-18=-9.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设等比数列{an}的公比q=,前n项和为Sn,则=.解析:对于S4=,a4=a1q3,所以==15.答案:1514.已知等比数列{an}的公比q=,且a1+a3+…+a199=180,则a2+a4+…+a200=.解析:因为等比数列{an}的公比q=,且a1+a3+…+a199=180,则a2+a4+…+a200=q(a1+a3+…+a199)=×180=60.答案:6015.为了参加5000m长跑比赛,李强给自己制订了10天的训练计划:第1天跑5000m,以后每天比前一天多跑400m.李强10天一共要跑m.解析:将李强每一天跑的路程记为数列{an},则a1=5000m,公差d=400m.所以S10=10a1+×d=10×5000+45×400=68000(m).故李强10天一共要跑的路程为68000m.答案:6800016.《张邱建算经》是我国古代数学著作,大约创作于公元五世纪,书中有如下问题:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月,日织九匹三丈,问日益几何?”该题大意是:一女子擅长织布,一天比一天织得快,而且每天增加的量都一样,已知第一天织了五尺,一个月后,共织布390尺,问该女子每天增加尺.(一月按30天计)解析:设题中等差数列的公差为d,由题意,a1=5,n=30,Sn=390,所以390=30×5+d,所以d=.答案:三、解答题(本大题共4小题,共40分)17.(本小题满分10分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解:(1)设{an}的公比为q.由题设可得解得q=-2,a1=-2.故{an}的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn==-+(-1)n.由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n=2[-+(-1)n]=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.18.(本小题满分10分)(2018·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.19.(本小题满分10分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=3+log4an,设Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|,求Tn.解:(1)由an+Sn=1,得an+1+Sn+1=1,两式相减,得an+1-an+Sn+1-Sn=0.所以2an+1=an,即an+1=an.又n=1时,a1+S1=1,所以a1=.又=,所以数列{an}是首项为,公比为的等比数列.所以an=a1qn-1=·()n-1=()n.(2)由(1)得bn=3+log4()n=3-=.当n≤6时,bn≥0,Tn=b1+b2+…+bn=;当n6时,bn0,Tn=b1+b2+…+b6-(b7+b8+…+bn)=-[(n-6)()+·(-)]=.综上,Tn=20.(本小题满分10分)已知数列{an}的首项a1=1,且an+1=(n∈N*).(1)证明:数列是等比数列;(2)设bn=-,求数列{bn}的前n项和Sn.(1)证明:因为an+1=,所以==+,所以-=-=(-),又a1-≠0,所以数列为以-=为首项,为公比的等比数列.(2)解:由(1)可得=+,所以bn=,所以Sn=+++…+,①所以Sn=++…++,②①-②得,Sn=++…+-=-,解得Sn=2-.