重庆大学《数值分析》期末考试真题及答案

一.填空题:1．若求积公式对任意不超过m次的多项式精确成立,而对m+1次多项式不成立,则称此公式的代数精度为m次.2．高斯消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生计算中断;.主元素的绝对值太小会发生误差增大.3．当A具有对角线优势且不可约时，线性方程组Ax=b用简单迭代法和塞德尔迭代法均收敛.4．求解常微分方程初值问题的欧拉方法是1阶格式;标准龙格库塔法是4阶格式.5．一个n阶牛顿-柯特斯公式至少有n次代数精度,当n偶数时,此公式可以有n+1次代数精度.6．相近数相减会扩大相对误差,有效数字越多,相对误差越大.二计算题:1.线性方程组:5.1526235.333321321321xxxxxxxxx1)对系数阵作LU分解,写出L阵和U阵；79/123/5413314/33/113/11UL2)求出此方程组的解.)5.0,1,2(x2.线性方程组:332212325223321321321xxxxxxxxx1)对系数阵作LU分解,写出L阵和U阵；573235223152321321//////UL2)求出此方程组的解.),,(133x3)此方程组能否用用简单迭代法和高斯塞德尔迭代法求解.0732223222305322303,,A对称正定,用高斯-塞德尔迭代法收敛;..,.,//////)(,6667033331027163432323232323232131JJBIULDB用简单迭代法不收敛3.设f(x)=x4,以-1,0,1,2为插值节点,1)试写出f(x)的三次拉格朗日插值多项式P3(x)及其插值余项R3(x);x-1012y101166)2)(1())()(())()(()(3020103210xxxxxxxxxxxxxxxxl2)2)(1)(1())()(())()(()(3121013201xxxxxxxxxxxxxxxxl2)2)(1())()(())()(()(3212023102xxxxxxxxxxxxxxxxl6)1)(1())()(())()(()(2313032103xxxxxxxxxxxxxxxxl)(8)()()(3203xlxlxlxP)2)(1)(1()2)(1()1(!4)()4(43xxxxxxxxxxR2)求出f(1.5)的近似值,并估计误差.0625.55.1)5.1(4f-0.93755.05.05.25.1)2)(1)(1()5.1(3xxxxR6)9375.0(0625.5)5.1(3P或:0.3125610.93750625.0)5.1(8)5.1()5.1()5.1(3203lllP=6-0.937560625.5)5.1()5.1()5.1(33PfR4设xxfln)(,以1,2,3为插值节点,1)试写出f(x)的二次拉格朗日插值多项式P2(x)及其插值余项R2(x);x123y00.60311.09862322010210))(())(())(()(xxxxxxxxxxxl))(())(())(()(312101201xxxxxxxxxxxl2211202102))(())(())(()(xxxxxxxxxxxl98080124711438009861693102212...)(.)(.)(xxxlxlxP23112312333ln()()()()()()()!Rxxxxxxx2)求出)(lnepe2的近似值,与精确值1比较,并用误差公式估计误差限.0135010135122.,ln,.)(Reep231123123331171830718302817011593ln()()()()()()()!..(.).Reeeeeee5有积分公式2)0(2)(33fcfbfadxxf，cba,,是待定参数，试确定cba,,，使得上述公式有尽可能高的代数精度,并确定代数精度为多少.332333318)(40)(2612,1,0,)(dxxbaxdxbadxcbakxxfk)]()()([)(/,/33023343234933fffdxxfcba至少有2次代数精度.10872072435486,024024430,)(33433343dxxdxxxxxf此公式代数精度为3.6有积分公式)]2(3)0(2)2(3[43)(33fffdxxf1)试确定代数精度为多少;2)用它计算33dxex,精确到2位小数,与3333eedxex作比较.10872072435486,02402443012012431860643032343614,3,2,1,0,)(3343333323333dxxdxxdxxxdxdxkxxfk代数精度为3.04.2043.18]323[43333320332eedxeeeedxexx7.某企业产值与供电负荷增长情况如下表：年份2000年2001年2002年2003年2004年企业产值x（万元）79121519用电量y（万千瓦时）1.21.62.22.93.3拟合值y1（万千瓦时）1.261.622.172.713.431)试用一次多项式拟合出经验公式bxay；kxkykxk2xkyk171.2498.4291.68114.43122.214426.44152.922543.55193.336162.7合计6211.2860155.4正规方程组:415521186062625..ba解之:0006101811.,.ab0061018110..xy8.测试某型号水泵得到扬程(米)和出水量(立米/小时)的对照表如下:扬程x(米)23456出水量y(立米/小时)25171085拟合值y1(立米/小时)25.5915.6010.607.605.611)试用一次多项式拟合出经验公式xbay；bXayxX,/1kxkykXkXk2Xkyk12250.50000.250012.500023170.33330.11115.666734100.25000.06252.50004580.20000.04001.60005650.16670.02780.8333合计651.450.491423.1正规方程组:12365491404514515....ba解之:59953043864.,.ba38644953059./.xy2)计算拟合值填入上表的空格，看是否与实际值基本吻合；3)某用户使用此型号水泵时扬程为2.6米,试估计此时出水量?67183864462953059.../.y9方程01xxex有一个实根：1)用区间对分法搜索确定根所在的区间(a,b)，使b-a≤0.2;(0.6,0.8)1)用某种迭代法求出此正根,精确到5位有效数字65905.0*x10方程xex1)证明它在(0,1)区间有且只有一个实根；2)证明,,,101kexkxk，在(0,1)区间内收敛；3)用牛顿迭代法求出此根,精确到5位有效数字1),.)(,)(,)(063201100ffexxfx(0,1)区间有一个实根；)(,)(xfexfx011是严格增函数，只有一个实根。2)),(,)(,)(101xeexexxxxx),(),()(1011ex迭代收敛；3),,kkxxkkkxeexxxex101取500.x567105671056630503210.,.,.,.xxxx11.用欧拉方法求解常微分方程初值问题，取h=0.2，计算精确到4位小数．0021122)(yyxy0212012012341,,,,,kkkkyyyhykxxkyk000.20.20000.40.37630.60.49210.80.54231.00.546612微分方程初值问题102)(yyy，用改进的欧拉方法求).(),.(4020yy的近似值，（即h=0.2，计算二步）,并与准确解:211xy比较．计算精确到4位小数．,,,...,)()(101020201220112010kyyyyyyyhykkkkkkkxkykY(xk)0１1.00000.20.83600.83330.40.71760.7143其他13若钢珠的的直径d的相对误差为1.0%,则它的体积V的相对误差将为多少。（假定钢珠为标准的球形）解：323336200120010033026,(),()()()()().,()()...%rddVVdddVVddVdddVddVV14一个园柱体的工件,直径d为10.250.25mm,高h为40.001.00mm,则它的体积V的近似值、误差和相对误差为多少。解：222222224314210254000400033006422102540000251025100243644433006243624360073873833006,.....;()()()......,..().()..%.rdhVdhVmmdhVdhddhVmmVVV