重庆大学数理统计试题2

一、假设129,,XXX…，是来自总体2~,XN的简单随机样本，X是样本均值，2S是样本方差，求下列常数a的值。（1）0.78PXa；（2）922113.49()15.51iiPXXa；（3）0.05XPaS。解：（1）22~(,),~(0,1)xxNNNn220.78{}xpann即2{2.34},(2.34),0.99xpaaan。（2）222(1)~(1)nsn992222119221221:()(1)()11{3.49()15.51}(1){3.4915.51}(15.51)(3.49)10.950.10.85iiiiiisxxnsxxnpxxanspaaaa（3）2222(1)~(0,1),~(1)XnsNnn222()/~(1),(1)/(1)Xntnnsn即()~(1)3(){}0.053()1{}0.053(){}0.951.86nXtnsXpasXpasXpasa二、设总体X的密度函数2,0()00,0xxexfxx其一个样本为12,,nXXX…，（1）求1g的最大似然估计量T；（2）验证T是否为1g的有效估计量，若是，写出信息量I；（3）验证T是否为1g的相合估计量。解：（1）122111()(,)()()niiinnnxxniiiIIiLfxxexe1111ln()2lnln2ln()01112212nniiiiniiniiLnxxdnLxdxxnTX（2）由（1）121220211ln(,,,)2()21,()221111()()222nniixdnLXXXXnXdTXcnETEXEXxedxT是1得无偏估计量因而T是1的有偏估计量。信息量2()()2()cgIn（3.）2()10()()2gDTncn故T是1得相合估计。三、为了检验一种杂交物的两种新处理方案，在同一地区随机地选择8块地段，在各实验地段，按两种方案处理作物，这8块地段的单位面积产品是（单位：公斤）一号方案产量8687569384937579二号方案产量8079589177827466假设这两种产量都服从正态分布，分别为2212,,,NN，2未知，求12的置信度为95%的置信区间。解：由给定的两组样本值，有：22112228,81.625,145.696,8,75.875,102.1257145.6967102.125123.91014nXSnYSS置信度为95%，则0.05120.97512121122(2)142.14581.62575.8755.751111(2)2.145123.91011.9488tnntXYtnnSnn所以，12的95%的置信区间为,5.7511.94,5.7511.946.19,17.69XYXY。四、设总体~,1XNa，其一个样本为12,,nXXX…，；对于假设01:1,:2HaHa（1）取检验水平为，写出检验0H的统计量和拒绝域；（2）若拒绝域为Xc且犯两类错误的概率均不大于0.05。求样本容量n和常数c。解：（1）统计量~0,1nXaN拒绝域10:1uKxn（2）1(1)(1)10.05PXcaPnXnca0.950.05(1)1.6452(2)(2)20.05(2)1.64510.824ncuPXcaPnXncancun故11,1.5nc。五、测量上海市1~3岁男孩的平均体重，得到数据如下：年龄ix（岁）1.01.52.02.53.0体重iy（岁）9.7510.8112.0712.8813.74设201,~0,,1,2,iiiiyxNi…，5，125，，…，相互独立，求：（1）01，的最小二乘估计01ˆˆ，；（2）残差平方和1eSS估计的标准差ˆ，样本相关系数r。解：5,2,2.5,11.85,10.173xxyynXlYl112.5255211.85nxyiiilxynXY(1)15.025ˆ2.012.5xyxxll01ˆˆ11.852.0127.83YX所以，回归方程为01ˆˆˆ7.832.01yxx（2）11ˆ10.1732.015.0250.07275eyyxySSll10.07275ˆ0.15572525.0250.99642.510.173exyxxyySSnlrll六、为了研究吸烟与肺炎的关系，调查了385人，统计如下表：吸烟量类型1包以上/天10支左右/天不吸烟和患者人数407322135健康者人数5211286250和92185108385试问吸烟量与肺炎是否有关系（0.05）？解：0:H吸烟量与肺炎独立，1:H吸烟量与肺炎不独立232220.9511()14.67(2)5.99ijijjiijnnnnnnn故属于拒绝域认为吸烟量与肺炎不独立，是又关的。2222179913.55,227249.98ETARSSSS方差分析表：方差来源DF(自由度)2SF值P值因素A347336.4315778.81随机误差E22179913.558177.89总和25227249.98F值为0.951.93(3,22)3.05F所以接受0H认为这四种灯丝的寿命没有差别。