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第1页，共15页2020年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合𝐴={𝑥∈𝑍|−2𝑥4}，𝐵={𝑥|𝑥2+2𝑥−30}，则𝐴∩𝐵=()A.(−2,1)B.(−1,3)C.{−1,0}D.{0,1，2}2.i是虚数单位，则复数𝑧=2𝑖𝑖−1在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.记𝑆𝑛为等差数列{𝑎𝑛}的前n项和，已知𝑆5=𝑎3+16，𝑎1=1，则𝑎2+𝑎6=()A.10B.11C.12D.134.剪纸是我国的传统工艺，要剪出如图“双喜”字，需要将一张长方形纸对折两次进行剪裁，下列哪一个图形展开后是如图的“双喜”字．()A.B.C.D.5.记𝑆𝑛为等比数列{𝑎𝑛}的前n项和，若𝑎1=1，𝑆3=7，则𝑎3⋅𝑎5=()A.64B.729C.64或729D.64或2436.公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率𝜋，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候𝜋的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响．按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则𝜋的近似值是()(精确到0.01).(参考数据𝑠𝑖𝑛15°≈0.2588)第2页，共15页A.3.14B.3.11C.3.10D.3.057.已知𝐹1、𝐹2为双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的左、右焦点，点P在双曲线C上，且线段𝑃𝐹1的中点坐标为(0,𝑏)，则双曲线C的离心率为()A.√2B.√3C.√5D.28.前进中学高二学生会体育部共有5人，现需从体育部派遣4人，分别担任拔河比赛活动中的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每个人只能担任其中一项工作，其中体育部的张三不能担任裁判工作，则共有()种派遣方法．A.120B.96C.48D.609.设函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)+cos(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔0,|𝜑|≤𝜋2)的最小正周期为𝜋，且过点(0,√2)，则下列正确的为()①𝑓(𝑥)在(0,𝜋2)单调递减．②𝑓(𝑥)的一条对称轴为𝑥=𝜋2．③𝑓(|𝑥|)的周期为𝜋2．④把函数𝑓(𝑥)的图象向左平移𝜋6个长度单位得到函数𝑔(𝑥)的解析式为𝑔(𝑥)=√2cos(2𝑥+𝜋6)A.①②B.①③C.①②③D.①②④10.下列函数图象中，函数𝑓(𝑥)=𝑥𝛼𝑒|𝑥|(𝛼∈𝑍)的图象不可能的是()A.B.C.D.11.已知𝐴(−√2,0)，𝐵(√2,0)及抛物线方程为𝑥2=8(𝑦−1)，点P在抛物线上，则使得△𝐴𝐵𝑃为直角三角形的点P个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个12.已知函数𝑓(𝑥)={𝑎𝑥2−𝑎𝑥+1,𝑥≤1𝑥−𝑎𝑙𝑛𝑥,𝑥1(𝑎∈𝑅)，若函数𝑓(𝑥)有四个零点，则a的取值范围是()A.(−∞,0)B.(𝑒,+∞)C.(4,+∞)D.(4,𝑒2)二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知实数x，y满足{𝑥−𝑦≤52𝑥+𝑦−1≥0𝑥+2𝑦−2≤0，则𝑧=3𝑥+𝑦的最小值为______．14.在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=∠𝐶=60°，𝐴𝐵=2，且点M满足𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=______．第3页，共15页15.点P为曲线𝑦=2𝑥2+ln(4𝑥+1)(𝑥−14)图象上的一个动点，𝛼为曲线在点P处的切线的倾斜角，则当𝛼取最小值时x的值为______．16.如图，网格纸上小正方形的边长为0.5，某多面体的正视图、左视图、俯视图为同一图形，粗实线画出如图所示，则该多面体外接球的体积等于______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵+𝑎(𝑠𝑖𝑛𝐴−𝑠𝑖𝑛𝐵)=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)求𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑠𝑖𝑛𝐵的取值范围．18.如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐴1⊥平面ABC，D是AB的中点，𝐵𝐶=𝐴𝐶，𝐴𝐵=2𝐷𝐶=2√2，𝐴𝐴1=4．(Ⅰ)求证：𝐵𝐶1//平面𝐴1𝐶𝐷；(Ⅱ)求平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1与平面𝐴1𝐶𝐷所成锐二面角的平面角的余弦值．19.当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．某地区2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如表：第4页，共15页每分钟跳绳个数[165,175)[175,185)[185,195)[195,205)[205,215)得分1617181920(Ⅰ)现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于33分的概率；(Ⅱ)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布𝑁(𝜇,𝜎2)，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差(结果四舍五入到整数)，已知样本方差𝑆2≈77.8(各组数据用中点值代替).根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，利用现所得正态分布模型：(ⅰ)预估全年级恰好有1000名学生，正式测试时每分钟跳193个以上的人数．(结果四舍五入到整数)(ⅰ)若在该地区2020年所有初三毕业生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳202个以上的人数为𝜉，求随机变量𝜉的分布列和期望．附：若随机变量X服从正态分布𝑁(𝜇,𝜎2)，𝜎=√77.8≈9，则𝑃(𝜇−𝜎𝑋𝜇+𝜎)=0.6826，𝑃(𝜇−2𝜎𝑋𝜇+2𝜎)=0.9544，𝑃(𝜇−3𝜎𝑋𝜇+3𝜎)=0.997420.设函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑚𝑥+𝑛，曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(𝑙𝑛2,𝑓(𝑙𝑛2))处的切线方程为𝑥−𝑦−2𝑙𝑛2=0．(Ⅰ)求m，n的值；(Ⅱ)当𝑥0时，若k为整数，且𝑥+1(𝑘−𝑥)[𝑓(𝑥)+𝑥+1]，求k的最大值．21.在圆𝑥2+𝑦2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，点M在线段PD上，且𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗，点M的轨迹为曲线𝐶1．第5页，共15页(1)求曲线𝐶1的方程；(2)过抛物线𝐶2：𝑦2=8𝑥的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交曲线𝐶1于另一点C，求△𝐴𝐵𝐶面积的最小值，以及取得最小值时直线l的方程．22.设A为椭圆𝐶1：𝑥24+𝑦224=1上任意一点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线𝐶2的极坐标方程为𝜌2−10𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃+24=0，B为𝐶2上任意一点．(1)写出𝐶1参数方程和𝐶2普通方程；(2)求|𝐴𝐵|最大值和最小值．23.已知函数𝑓(𝑥)=|2𝑥−2𝑎|(𝑎∈𝑅)，对∀𝑥∈𝑅，𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥)=𝑓(2−𝑥)．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)若∃𝑥∈𝑅，使不等式12𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥+2)≥𝑚2+𝑚，求实数m的取值范围．第6页，共15页答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵𝐴={−1,0，1，2，3}，𝐵={𝑥|−3𝑥1}，∴𝐴∩𝐵={−1,0}．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：∵𝑧=2𝑖𝑖−1=2𝑖(𝑖+1)(𝑖−1)(𝑖+1)=1−𝑖，∴在复平面内对应的点为(1,−1)，故选：D．由题意分子分母同乘以1+𝑖，再进行化简求出实部和虚部即可．本题考查了复数的除法运算，关键利用共轭复数对分母实数化．3.【答案】B【解析】解：设等差数列{𝑎𝑛}的公差为d，∵𝑆5=𝑎3+16，𝑎1=1，∴5+5×42𝑑=1+2𝑑+16，解得𝑑=32．则𝑎2+𝑎6=2+6×32=11．故选：B．利用等差数列通项公式求和公式即可得出．本题考查了等差数列通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：如图“双喜”字，第一次对折后为；第二次对折后为；故选：D．把剪出“双喜”字对折两次即可得出结论．本题考查了轴对称的应用问题，是基础题．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{𝑎𝑛}的公比为𝑞≠1，∵𝑎1=1，𝑆3=7，∴1+𝑞+𝑞2=7，解得𝑞=2，或−3．则𝑎3⋅𝑎5=𝑞6=64或729．故选：C．第7页，共15页利用等比数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：连接圆心与正二十四边形的各个顶点，正二十四边形被分成了24个面积相等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长为1，顶角为360°24=15°，所以每个等腰三角形的面积𝑠=12×1×1×sin360°24=12×sin15°，所以正二十四边形的面积为24𝑠=12×𝑠𝑖𝑛15°≈12×0.2588≈3.11，故选：B．连接圆心与正二十四边形的各个顶点，正二十四边形被分成了24个面积相等的等腰三角形，可以计算出每个等腰三角形的面积，再算出正二十四边形的面积，即可求出𝜋的近似值．本题主要考查了类比推理，是中档题．7.【答案】C【解析】解：𝐹1、𝐹2为双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的左、右焦点，点P在双曲线C上，且线段𝑃𝐹1的中点坐标为(0,𝑏)，可得：2𝑏=𝑏2𝑎，可得2𝑎=𝑏，所以双曲线的离心率为：𝑒=𝑐𝑎=√𝑎2+𝑏2𝑎2=√5．故选：C．利用双曲线的通径的一半为2b，列出方程，转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，抓住通径与已知条件的转化是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：根据题意，需要先在5人中选出4人，分2种情况讨论：①，选出的4人中没有张三，此时将选出的4人全排列，对应4项工作即可，此时有𝐴44=24种情况，②，选出的4人中没有张三，需要在其他4人中选出3人，再让选出4人担任4项工作，张三不担任裁判工作，有𝐶43×3×𝐴33=72种情况，则一共有24+72=96种安排方法；故选：B．根据题意，分2种情况讨论：①，选出的4人中没有张三，此时将选出的4人全排列，对应4项工作即可，②，选出的4人中没有张三，需要在其他4人中选出3人，再让选出4人担任4项工作，张三不担任裁判工作，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：函数𝑓(𝑥)=sin