11-2正项级数及其审敛法

二、比较审敛法三、比值审敛法和根值审敛法第二节一、正项级数收敛的充分必要条件正项级数及其审敛法第十一章一、正项级数收敛的充分必要条件）（0nu1nnu正项级数收敛的充要条件是:部分和数列有上界.设收敛,有上界,故又知故有界.正项级数：单调递增,收敛,也收敛.证1.定义2.定理11.1()()问题：正项级数收敛的条件?二、比较审敛法1.引例例1判定正项级数的敛散性.1e31nn分析：欲寻找能控制该级数部分和Sn的新收敛级数解由于,31e31nn部分和e31e31e312nnSnn3131312,23311收敛由nn有上界，知σσn有上界，从而σσSnn故级数1e31nn收敛.定理11.2(比较审敛法)(1)若则(2)若则证收敛,也收敛;发散,也发散.设正项级数部分和满足：nnuuuS210σσvvvnn21有上界n有界，故nS收敛.用反证法：)2(收敛,矛盾!由(1)(1)有限项不影响级数的敛散性同敛散.)0(c11)2(nnnncuu与推论(比较审敛法)(ⅰ)若则(ⅱ)若则收敛,也收敛;发散,也发散.设正项级数c),(Nnc),(Nn比较法的使用思路：欲证收敛(发散)，则放大(缩小).)1(21的敛散性判断正项级数nnn，1212nnn例2解发散且111nn.所给级数发散例3讨论p-级数pppn131211(常数p0).解,1)1时p，n1发散.而11nn发散,,1)2时当p，ppxn11敛散小p?猜：),2,1(11,nnnnnpp分析：发散11nn.11发散npn?nnpnnpxxxn11d1d1),3,2(n大的敛散性级数的部分和ppn1),3,2(nnnpnnpxxxn11d1d1oyx)1(1pxyp11nn2pppnnS131211nnpppxxxxxx13221ddd1xxnpd111)11(1111pnp),3,2(111npp-级数部分和Sn有上界，,1时故当pp-级数收敛.结论p-级数：1p1p收敛，注调和级数与p-级数.常用的比较级数:等比级数,发散.例4解.)1(112的敛散性判断正项级数nnnnnvnnnu23111211,123nnnnv收敛而.)1(112收敛nnn定理11.3(极限形式的比较审敛法)lvunnnlim则有两级数同敛散;(2)当l=0(3)当l=+∞设正项级数满足(1)当0l+∞时,),0(l证)(llvunnnlim由nnnvεluvεl)()()(Nn由定理11.2知1nnv同敛散;(1)当0l+∞时,(3)当l=+∞时,nnvu由定理11.2知,1nnv发散时(2)l=0情形,请自证;极限形式的比较审敛法使用思路：lvunnnlim),0(l寻找un的同阶无穷小,limnnnvu由3.11由定理例5:判定级数的敛散性解时当0x于是,~)1ln(xx,12)21ln(lim33nnn级数而p13.)21ln(,nn发散级数知.)21ln(13nn分析寻找的同阶无穷小.)21ln(3nun,)131(113发散npn)1(3/1nOunnnnu231由于,31~nnu即nnnn31231lim1.231nnn收敛.2311nnn例6:判定级数的敛散性解分析寻找的等价无穷小.nnnu231nn)32(1131,31~nn3n起主要作用则故取,31nnvnnnvulim.1)(11lim32nn131nn收敛，而知，由定理3.11有因取,12nvnnnnvulim).(nvunn的高阶无穷小是.ln13收敛nnn,0lnlimnnn由13.lnnnn例7:判定级数的敛散性解231lnlnnnnnnun得231lnlimnnnn0lnlimnnn1211nnnnv收敛，而知，由定理3.11)1(2no三、比值审敛法和根值审敛法设正项级数ρuunnn1lim则(1)当1ρ(2)当1ρ时,级数收敛;或时,级数发散.1.比值审敛法),0(ρ定理11.4(达朗贝尔审敛法)(3)当1时,比值审敛法失效.证(1),1时当ρ11ερuunn,ZN有,时当Nn由比较法，,1时或,ZN有,0limNnnuu因此所以级数发散.时，当Nn(2)当nnuu11nuNu从而时，即1lim1nnnuu级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数nnnuu1limppnnn1)1(1lim1但,1p级数收敛;,1p级数发散.,1)3(时当例8.!22112的敛散性！！判断级数nnn解nnnuu1lim因为nnnn1limnnn11lim.故级数发散，1e!!111limnnnnnnn小结：通项含n!的级数，适合用比值法判敛散.1)!2(!!2!1nnn.)!2(!!2!1nnun)!2(!)!2(!!!nnnnnnnnv)!2(!)]!1(2[)!1)(1(limlim1nnnnnnvvnnnn而nnnn)12(2)1(lim10解.1故原级数收敛收敛，nnv例9:判定级数的敛散性的敛散性判断122nnnx例10解nnnuuρ1lim因为22221limxxnnn,由比值法知.1,0,xx为常数222121limnxnxnnn1,10,122xxnxnn发散收敛小结:通项含an的级数，适合用比值法判敛散.2.根值审敛法为正项级数,且,limρunnn则如p–级数pnnnnu1)(1n,1p但级数收敛;,1p级数发散.定理11.5(柯西审敛法)证明与比值法类似(3)当1时,根值审敛法失效.例11判别下列级数的收敛性:1)1(2nnn.解(方法1)根值法1)1(122limlimnnnnnnu1.原级数收敛(方法2)比较法1)1()1(222nnnnnu收敛，1121nn.原级数收敛)1(21221nnn81lim2lim122nnnnaa)(limlim1且不存在nnnnnauu故比值法失效.比值法失效！对于,21)1(nnnnnnnnnnuua)1()1()1(1221n)1(212奇数，偶数nn81,2注内容小结1.判断正项级数敛散性的一般程序：否0lim？nnu是或不能肯定比值法limn1nunuρ根值法ρunnnlim（可判）1ρ1比值法limn1nunuρ根值法ρunnnlim（可判）1ρ比值法、根值法失效！部分和极限法比较审敛法或2.级数发散与一般项极限不为零的关系发散1nnu0limnnu0limnnu)(发散，如：调和级数11nn.0limnnu但根值法判定特殊地，若用比值法或发散1nnu：比值法和根值法的关系.3nnnuu1lim)0(limnnnu)(若这表明：)1(nnnuu1lim，则用比值法和根值法判断的结论一致；.)2(用的范围更广比值法适从理论上看，根值法较收敛)0(.41nnnuu1lim1nnnuu备用题例2-1的敛散性判断正项级数1)1(1nnn,2)2(2nnn由解.散由比较法知，原级数发,发散121nn而,2121nnn得214131nlimn例8-1讨论)0(11xxnnn的敛散性.解nnnuu1limnxn)1(1nxnx由定理11.4，,10时当x级数收敛;,1时当x级数发散;,1时当x:判定下列级数的敛散性解nnnuu1lim)1(，由比值法知例8-2.01anann111limnnnanna,1limaannn时，级数收敛；当10a时，级数发散；当1a.1时，为调和级数，发散当a)0(!1annannn常数nnnnnau!!)1()!1(111nannnauunnnnnnnna)11(解nnnuu1limeanann)11(lim例10-1:判定级数的敛散性nnnuu1limeanann)11(lim原级数收敛；时，故当,10ea原级数发散；时，当,1ea,,1比值法失效时，当ea此时，由nnuu1nne)11(1,11euuunn得0limnnu故原级数发散..2)1(21nnn,232)1(2nnnnnvu(方法1)比较法解,2311收敛而nnnnv.2)1(211收敛nnnnnu例11-1:判定级数的敛散性,])21(22[2)1(211nnnnnn(方法3)根值法1122])1(2[limlimnnnnnnu1.原级数收敛小结:通项含an的级数，适合用根值法判敛散.(方法2)利用性质,))1(2(2)1(211nnnnnauu,61lim2nna,23lim12nna).(limlim1且不存在nnnnnauu!2)1(21，比值法失效对于nnn注