一元二次方程基础知识

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。梳理为什么？例题讲解将方程（3x-2）(x+1)=8x-3化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项。解：去括号，得3x2+3x-2x-2=8x-3移项，合并同类项得3x2-7x+1=0下列方程中哪些是一元二次方程？05212xx)(013422yx)(032cbxax)(0214)()(xx0152aa)(1262))((m是一元二次方程的有：)(1例题1)(4)(6例题讲解•方程（2a—4）x2—2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝2，b≠0时是一元一次方程；例题31.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是()A.(2x-1)(x2+3)=2x2-aB.ax2+2x+4=0C.ax2+x=x2-1D.(a2+1)x2=02.当m为何值时,方程是关于x的一元二次方程.0527)1(24mxxmmD一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根。列方程解决实际问题时，解不仅要满足所列方程，还需满足适合实际。探究新知4.（1）下列哪些数是方程260xx的根？从中你能体会根的作用吗？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4活动1（2）若x＝2是方程的一个2450axx根，你能求出a的值吗？根的作用：可以使等号成立.例解方程：(1)x2－３x=0解题过程首页(2)2x2+13x－7=0解题过程巩固练习(1)x2=2x答案。一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)后，如果它的左边的二次三项式能因式分解，那么就可以用因式分解法解这个方程例解方程：(1)x2－３x=0(2)2x2+13x－7=0解题过程巩固练习(1)x2=2x答案解题过程(2)3x2－27=0答案(1)x2－３x=0解:把方程左边分解因式,得x(x－３)=0∴x=0或x－3=0∴原方程的根是x1=0,x2=3首页返回一元二次方程(2)2x2+13x－7=0解:把方程左边分解因式,得(2x-１)(x＋７)=0∴2x-1=0,x=0.5或x+7=0,x=-７∴原方程的根是x1=0.5,x2=-7首页返回一元二次方程第（1）题答案：x2=2xx2－2x=0x(x－2)=0x1=0,x2=2返回一元二次方程第（2）题答案：返回3x2－27=0x2－9=0(x+3)(x－3)=0x1=－3,x2=3x+3=0或x－3=0=第（3）题答案：返回(x+4)(x－3)=0x1=－4,x2=3x+4=0或x－3=0一元二次方程第（4）题答案：返回(3x+1)(2x－1)=0x1=?,x2=?3x+1=0或2x－1=0一元二次方程例解方程：(1)x2－３x=0(2)2x2+13x－7=0解题过程巩固练习(1)x2=2x答案解题过程(2)3x2－27=0答案(3)x2+x－12=0答案一元二次方程例1:用配方法解方程0762xx解:配方得：开平方得：762xx3736222xx43x16)3(2x即7,121xx移项得：∴原方程的解为：心动不如行动例2:你能用配方法解方程吗？0622xx解:配方得：开平方得：3212xx)41(3)41(21222xx4741x范例研讨运用新知1649)41(2x即03212xx移项得：∴原方程的解为：化二次项系数为1得：23,221xx例2:你能用配方法解方程吗？反馈练习巩固新知1、用配方法解下列方程:(1)x2+8x-15=0(2)x2-5x-6=0(3)2x2-5x-6=0(4)x2+px+q=0(p2-4q＞0)配方法小结：（2）移项（3）配方（4）开平方（5）写出方程的解2、用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的步骤：1、配方法：通过配方,将方程的左边化成一个含未知数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直接开平方求出方程的解的方法。(1)化二次项系数为1用配方法解一般形式的一元二次方程20axbxc把方程两边都除以20bcxxaa解:a移项，得2bcxxaa配方，得22222bbcbxxaaaa即222424bbacxaa(a≠0)2422bbacxaa即即222424bbacxaa因为a≠0,所以40a2式子的值有以下三种情况：acb42044,04)1(222abbacac这时此时，方程有两个不等的实数根aacbaacbbxbx242422212422bbacxaa即即222424bbacxaa因为a≠0,所以40a2式子的值有以下三种情况：acb42044,04)2(222abbacac这时此时，方程有两个相等的实数根abxx221＝0即222424bbacxaa因为a≠0,所以40a2式子的值有以下三种情况：acb42044,04)3(222abbacac这时而x取任何实数都不可能使，因此方程无实数根0)2(2abx一般地，式子叫做方程根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△＝acb42acb4220axbxc20axbxc242bbacxa一元二次方程的求根公式(a≠0)当△0时，方程的实根可写为用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。例1解方程：27180xx解：即：1292xx242bbacxa1718abc22474118121bac（）（）0方程有两个不等的实数根242bbacxa211712121)7(用公式法解一元二次方程的一般步骤：242bbacxa3、代入求根公式:2、求出的值，24bac1、把方程化成一般形式，并写出的值。ab、、c4、写出方程的解：12xx、特别注意:当时无解240bac242bbacxa例2解方程：2323xx化简为一般式：22330xx这里1a、b=-23、c=3解：22423413003212bacx（）（-23）23即：123xx1、m取什么值时，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解思考题2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。当a，b，c满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？一元二次方程根与系数的关系(韦达定理）acxxabxxxxacbxax212121200,,,)(则的两根为若方程qxxpxxxxqpxx21212120,,则：，的两根为若方程特别地：推论1一元二次方程根与系数的关系(韦达定理）012121221xxxxxxxx）（）是方程（二次项系数为为根的一元二次以两个数,推论2acxxabxxxxacbxax212121200,,,)(则的两根为若方程3、如果是方程2X2+mX+3=0的一个根，求它的另一个根及m的值.214、已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0的两根的平方和比两根之积的3倍少10，求k的值.1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____。2、设X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则X1+X2=___,X1X2=____，X12+X22=(X1+X2)2-___=___(X1-X2)2=(___)2-4X1X2=___3、判断正误：以2和-3为根的方程是X2－X-6=0（）4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是_____。X1+X22X1X2-3411412×2和-1基础练习（还有其他解法吗？）23精品课件！精品课件！