数学模型-种群的相互竞争

种群的相互竞争•一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。•当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。•建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。221122221)(NxNxxrtx)1()(11111Nxxrtx111111)(Nxxrtx模型假设•有甲乙两个种群，它们独自生存时数量变化均服从Logistic规律;)1()(22222Nxxrtx•两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比;甲对乙有同样的作用。对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的1倍。11对甲增长的阻滞作用，乙大于甲乙的竞争力强模型221Nx模型分析221111111)(NxNxxrtx221122221)(NxNxxrtx的趋向时)(),(21txtxt(平衡点及其稳定性)(二阶)非线性(自治)方程),()(),()(212211xxgtxxxftx的平衡点及其稳定性平衡点P0(x10,x20)~代数方程0),(0),(2121xxgxxf的根若从P0某邻域的任一初值出发，都有,)(lim011xtxt称P0是微分方程的稳定平衡点,)(lim022xtxt模型判断P0(x10,x20)稳定性的方法——直接法(1)的近似线性方程)1(),()(),()(212211xxgtxxxftx)2())(,())(,()())(,())(,()(0220201011020120220201011020112121xxxxgxxxxgtxxxxxfxxxxftxxxxx02121PxxxxggffAAqgfpqpPxxdet)(00212平衡点P0稳定(对2,1)p0且q0平衡点P0不稳定(对2,1)p0或q0),,0(),0,(2211NPNP平衡点：01),(01),(221122221221111121NxNxxrxxgNxNxxrxxf221111111)(NxNxxrtx221122221)(NxNxxrtx仅当1,21或1,21时，P3才有意义模型)0,0(,1)1(,1)1(4212221113PNNP2211221222211122111121212121NxNxrNxrNxrNxNxrggffAxxxx平衡点稳定性分析4,3,2,1,det,)(21iAqgfpipipxx2211222212211111211),(1),(NxNxxrxxgNxNxxrxxf平衡点Pi稳定条件：p0且q0种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定平衡点)0,(11Np)1(221rrpq)1(221rr),0(22Np211)1(rr)1(121rr2122211131)1(,1)1(NNp2121211)1)(1(rr)0,0(4p)(21rr21rr2122111)1()1(rr21,11,P1,P2是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3是两种群共存的平衡点11,21P1稳定的条件11?1121稳定条件221122122111211),(1),(NxNxxxNxNxxx12/N21/N1N2N1P1x2x000S1S2S3平衡点稳定性的相轨线分析221111111)(NxNxxrtx221122221)(NxNxxrtx0,0:1S从任意点出发(t=0)的相轨线都趋向P1(N1,0)(t)P1(N1,0)是稳定平衡点0,0:212xxS0,0:211xxS(1)21,11tx1,x20,0:213xxStx1,x2tx1,x2P1P2有相轨线趋向P1有相轨线趋向P2P1稳定的条件：直接法21P1,P2都不(局部)稳定1x2x12/N21/N1N2N03P00(3)11,2112/N21/N1N2N2P1x2x000(2)11,211x2x12/N21/N1N2N03P00(4)11,21加上与(4)相区别的11P2稳定P3稳定P1全局稳定结果解释对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的1倍。11对甲增长的阻滞作用，乙小于甲乙的竞争力弱•P1稳定的条件：11,2121甲的竞争力强甲达到最大容量，乙灭绝•P2稳定的条件：11,21•P3稳定的条件：11,21通常11/2，P3稳定条件不满足